Plný úhel

Plný úhel Plný úhel je poměr mezi oblastí koule zachycené kuželem (růžově) a čtvercem jejího poloměru. Klíčové údaje

SI jednotky	steradián ( sr )
Dimenze	$1$
Příroda	Velikost skalární rozsáhlá
Obvyklý symbol	$\ Omega$

V matematice , geometrii a fyzice je tělesný úhel trojrozměrný analog rovinného nebo dvourozměrného úhlu . Nejprve označuje část prostoru ohraničenou kuželem, který nemusí být nutně kruhový. V horní části kužele je vrchol objemového úhlu. Plný úhel také označuje ve svém nejběžnějším smyslu míru této části prostoru. Jeho jednotkou je steradická , poznamenaná sr, jednotka odvozená z Mezinárodního systému jednotek .

Definice

Rovina úhel je definován, ve dvourozměrném prostoru, jako poměr mezi délkou na zachycené oblouku a poloměru kruhu.

Objemový úhel v trojrozměrném prostoru je definován analogicky jako poměr plochy zachycené sférické čepičky a poloměru koule na druhou.

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ mathrm {S}} {\ mathrm {R} ^ {2}}}}

$\ Omega$ : plný úhel ve steradiánech (sr);
$S$ : plocha části koule zachycená v metrech čtverečních ( m 2 );
$R$ : poloměr koule v metrech (m).

Elementární plný úhel

Elementární objemový úhel odpovídající nekonečně malé ploše je vyjádřen: ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega = {\ frac {{\ overrightarrow {u}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} ^ {2} S}}} {r ^ {2 }}} = {\ frac {{\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {n}}} {r ^ {3}}} \, \ mathrm {d} ^ {2} S}

nebo:

${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega}$ je elementární plný úhel;
${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {d} ^ {2} S}}}$ je kolmý na povrchový prvek a normu ; ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S}$
${\ displaystyle {\ overrightarrow {n}}}$ je jednotkový vektor udávající směr plošného prvku;
$r$ je vzdálenost mezi vrcholem elementárního objemového úhlu a povrchovým prvkem; . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = r \ {\ overrightarrow {u}}}$

Integrální forma

Pevný úhel, pod kterým vidíme povrch z bodu, je dán integrálem povrchu : $S$ $Ó$

{\ displaystyle \ Omega = \ int \! \! \! \! \! \ int _ {S} {\ frac {\ overrightarrow {u}} {r ^ {2}}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} ^ {2} S}} = \ int \! \! \! \! \! \ int _ {S} {\ frac {{\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {n}}} {r ^ {3}}} \ {\ mathrm {d} ^ {2} S}}

Jinými slovy, plný úhel se rovná toku pole přes uvažovaný povrch. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} / r ^ {3}}$

Plný úhel ve sférických souřadnicích

Vzhledem k tomu, že plný úhel je spojen s vrcholem, je často nejvhodnější studium ve sférických souřadnicích .

Elementární plný úhel

Pro kouli o poloměru je elementární objemový úhel definován pro elementární povrchový prvek , což odpovídá nekonečně malým úhlovým variacím nadmořské výšky a azimutu (v rámci diferenciálního výpočtu je elementární povrch asimilován na rovinu): $r$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S}$ $\ theta$ $\ phi$

{\ displaystyle \ mathrm {d ^ {2} S} = r \ cdot \ mathrm {d} \ theta \ cdot r \ sin \ theta \ cdot \ mathrm {d} \ phi = r ^ {2} \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ mathrm {d} \ phi \ cdot \ mathrm {d} \ theta}

odkud :

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega = \ sin \ theta \ cdot \ mathrm {d} \ phi \ cdot \ mathrm {d} \ theta}

Plný úhel kuželu otáčení

V případě rotačního kužele polovičního úhlu nahoře se plný úhel vypočítá integrací na kouli v úhlových doménách sférických souřadnic: $\ alfa$

{\ displaystyle \ Omega = \ int \! \! \! \! \! \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ phi \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ sin \ theta \ \ mathrm {d} \ theta \ = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ sin \ theta \ \ mathrm {d} \ theta = 2 \ pi \ left [- \ cos \ theta \ right] _ {0} ^ {\ alpha} \}

{\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ doleva (1- \ cos \ alfa \ doprava)}

Nějaké příklady

Pevný úhel, který protíná celou kouli, je 4π sr. Polokoule tedy odpovídá úhlu o 2n sr.
Pevné úhly, ve kterých vidíme minci jednoho centu ve vzdálenosti 1,80 m , Měsíc a Slunce , jsou si velmi blízké: 6 × 10 −5 sr .
Nechť ABC je pravý trojúhelník v C, bod O na kolmici v B k rovině trojúhelníku, ve vzdálenosti h od B, pak plný úhel, pod kterým vidíme trojúhelník z O, se rovná ${\ displaystyle \ alpha - \ arcsin {\ frac {h \ sin \ alpha} {\ sqrt {a ^ {2} + h ^ {2}}}}}$ kde a . Můžeme odvodit plný úhel, pod kterým vidíme libovolný mnohoúhelník . ${\ displaystyle a = BC}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ widehat {CBA}}}$

Poznámky a odkazy

José-Philippe Pérez a Olivier Pujol , Mechanika: Základy a aplikace - 7. vydání: S 320 cvičeními a vyřešenými problémy , Dunod,3. září 2014, 800 s. ( ISBN 978-2-10-072189-4 , online prezentace )
Přímý výpočet v případě obdélníku při pohledu z bodu kolmého na jeho rovinu zvednutou ze středu .

Související články

externí odkazy

„Ibn Al-Haytham: pevný úhel velikosti“ v Roshdi Rashed , Angles and Greatness: Od Euklida po Kamal al-Din al-Farisi , Walter de Gruyter GmbH & Co KG,19. května 2015( ISBN 978-1-5015-0238-5 , číst online )