Eulerovy úhly
V mechanice a matematiky , Eulerovy úhly jsou úhly zavedené Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) pro popis orientace pevné látky nebo jako u referenčního rámce s ohledem na karteziánské trojhran odkazu. V počtu tří, nazývají se úhel precese , z nutace a správného otáčení , z nichž první dva může být viděn jako zobecnění dvou úhlů sférických souřadnic .
Pohyb tělesa vzhledem k referenčnímu rámci (letadlo ve vzduchu, ponorka ve vodě, lyže na svahu atd.) Zahrnuje šest parametrů, kterými jsou například tři souřadnice popisující polohu jeho těžiště (nebo kteréhokoli bodu tělesa) a tři Eulerovy úhly, srov. níže uvedená schémata.
Eulerovy úhly lze také použít k reprezentaci orientace tělesa vzhledem k referenční značce ( v astronautice se také nazývá postoj ).
Zápisy a etymologie
Tři Eulerovy úhly, precese, nutace a správná rotace (nebo gyrace), se běžně označují ψ , θ a φ .
Slovo precese pochází z latinského praecessio („akce předchozího“); toto pochází z jeho použití v astronomii ve výrazu „ precese rovnodenností “.
Slovo nutace pochází z latiny nutatio („akce naklonění hlavy“) a také se v botanice používá k označení zvyku, který mají určité rostliny naklánět své květiny.
Slovo rotace pochází z latinského rotatio se stejným významem a slovo gyration pochází z latinského gyratum , samo o sobě z řeckého gûros („kruh“).
Příklad káča
V příkladu pohybu rotujícího vršku naproti, úhel nutace θ měří šikmost osy vzhledem k vertikále, úhel precese ψ měří rotaci vřetena vřetena kolem Oz a správný úhel rotace φ je dobrým měřítkem rotace horní části na sobě.
V tomto příkladu vidíme, že precesní úhel ψ se rovná zeměpisné délce zvětšené o pravý úhel a úhel nutace θ se rovná souměrovosti ve sférických souřadnicích osy Oz ' v Oxyz .
Eulerovy rotace
Změna úložiště
Tři rotace získané úpravou jednoho ze tří Eulerových úhlů a udržením dalších dvou konstant jsou precese , nutace a správná rotace. Půjdeme z pevného referenčního rámce Oxyz do referenčního rámce spojeného s pevným Ox'y'z ' třemi po sobě následujícími rotacemi:
- Precese , úhlové ln kolem Oz osy , která prochází od Oxyz na Ouvz rámu z odkazu (modře v levém obrázku výše).
- Nutace , z úhlu t Vstup kolem osy Or (nebo linii uzlů), což činí přechod z Ouvz do Ouwz " (zeleně).
- Správný směr otáčení, nebo otáčení , o úhel cp kolem osy Oz ‚což umožňuje průchod z Ouwz‘ do referenční rámec spojen s pevným Ox'y'z " (červeně).
Pozn. Osa Ou je nesena průsečíkem rovin Oxy a Ox'y ' .
Souřadnice ( x ' , y' , z ' ) bodu v mobilním referenčním rámci Ox'y'z' jsou spojeny se souřadnicemi ( x , y , z ) stejného bodu v pevném referenčním rámci Oxyz následujícím vztahem:
(Xyz)ÓXyz=NA(X′y′z′)ÓX′y′z′{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} _ {Oxyz} = A {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} _ {Ox'y'z '}}
s průchodovou maticí NA=(cosψcosφ-hříchψcosθhříchφ-cosψhříchφ-hříchψcosθcosφhříchψhříchθhříchψcosφ+cosψcosθhříchφ-hříchψhříchφ+cosψcosθcosφ-cosψhříchθhříchθhříchφhříchθcosφcosθ){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ cos \ psi \ cos \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & \ sin \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ psi \ cos \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ sin \ psi \ sin \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} }![{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ cos \ psi \ cos \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & \ sin \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ psi \ cos \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ sin \ psi \ sin \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9ca04832d68403adbd4975371db6149e52a2d1)
Připomeňme si, že tato matice také svisle udává souřadnice jednotkových vektorů v základně .X′→,y′→z′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x '}}, {\ overrightarrow {y'}} {\ overrightarrow {z '}}}
(X→,y→z→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {x}}, {\ overrightarrow {y}} {\ overrightarrow {z}})}![{\ displaystyle ({\ overrightarrow {x}}, {\ overrightarrow {y}} {\ overrightarrow {z}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c8eeae92e3e9c2e3972c85d9ab939885acbd17)
Demonstrace
Jeden prochází z úložiště Oxyz do úložiště Ouvz , otočným úhlem ψ kolem třetí osy, tedy přechodová matice je .
B=(cosψ-hříchψ0hříchψcosψ0001){\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} \ cos \ psi & - \ sin \ psi & 0 \\\ sin \ psi & \ cos \ psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} \ cos \ psi & - \ sin \ psi & 0 \\\ sin \ psi & \ cos \ psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0e58267603fe0dd741a6996de3e3a130b80792)
Jeden prochází z úložiště Ouvz úložiště Ouwz ' úhel rotace θ kolem první osy, takže přechodová matice je .
VS=(1000cosθ-hříchθ0hříchθcosθ){\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c686f4661ae2ebba33d069b1e3c28e5b5c78c2)
Jeden prochází z úložiště Ouwz ' do úložiště Ox'y'z' o úhel otáčení φ kolem třetí osy, tedy přechodová matice je .
D=(cosφ-hříchφ0hříchφcosφ0001){\ displaystyle D = {\ start {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle D = {\ start {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e270901873a1486b5baf674a5d22b12813afc42e)
Tak A = BCD je matice přechodu z Oxyz referenčního rámce na na Ox'y'z " referenční rámec . Provedením součinu tří matic člověk získá skutečně oznámený výsledek.
Všimněte si, že je napsána zpětná pasáž , kde A T je transpozice A , přičemž druhá je ortogonální .
(X′y′z′)ÓX′y′z′=NAT(Xyz)ÓXyz{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} _ {Ox'y'z'} = A ^ {T} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} _ {Oxyz}}![{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} _ {Ox'y'z'} = A ^ {T} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} _ {Oxyz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb11cbf1a25826cfc5c0212e2e25c1ff7cd8da4)
Interpretace složená z rotací
Matice A je také maticí v pevném referenčním rámci Oxyz rotace r transformující tento referenční rámec do Ox'y'z ' . Rozklad matic A = BCD ukazuje, že tato rotace je složená kde
r=r3∘r2∘r1{\ displaystyle r = r_ {3} \ circ r_ {2} \ circle r_ {1}}![{\ displaystyle r = r_ {3} \ circ r_ {2} \ circle r_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95efbc78f594eb13964d1bfd3fe1c7d1e2f86fff)
-
r 1 je rotace úhlu ϕ kolem Oz ,
-
r 2 je rotace úhlu θ kolem Ox ,
-
r 3 je rotace úhlu ψ kolem Oz .
Obecnost rozkladu
Data dvou referenčních rámců Oxyz a Ox'y'z ' umožňují znát Eulerovy úhly. Nutice θ je úhel mezi Oz a Oz ' , osa Or se získá jako společná kolmá na Oz a Oz' , a získáme ψ a ϕ jako úhly mezi Ox a Ou a mezi Ou a Ox ' .
Matice výše je tedy obecně matice otáčení, a rozkladu dokazuje, že skupina otáček osy procházející O je generován rotací os jednoho ze dvou uvedených ortogonálních os procházejících O .
r=r3∘r2∘r1{\ displaystyle r = r_ {3} \ circ r_ {2} \ circle r_ {1}}![{\ displaystyle r = r_ {3} \ circ r_ {2} \ circle r_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95efbc78f594eb13964d1bfd3fe1c7d1e2f86fff)
Z leteckého hlediska to znamená, že člověk získá jakoukoli orientaci letounu pomocí dvou ze tří rotací: například role (osy kabiny), rozteče (osy křídel) a vybočení (osy svisle), například hodit a poté hodit a pak hodit.
Další důsledek: při manipulaci s objektem zobrazeným na obrazovce myší (nahoru: rotace kolem horizontály, doprava: rotace kolem vertikály) získáme všechny možné orientace objektu.
Poznámka: r je rotace úhlu α kolem místa
ne→{\ displaystyle {\ overrightarrow {n}}}![\ overrightarrow {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589d8abc2a0543f71bed700b758615e5fea08c06)
cosα=cos2(φ+ψ2)cosθ-hřích2(φ+ψ2),cosα2=cosθ2cosφ+ψ2{\ displaystyle \ cos \ alpha = \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ varphi + \ psi} {2}} \ right) \ cos \ theta - \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ varphi + \ psi} {2}} \ vpravo), \, \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} = \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ varphi + \ psi} {2}}}![{\ displaystyle \ cos \ alpha = \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ varphi + \ psi} {2}} \ right) \ cos \ theta - \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ varphi + \ psi} {2}} \ vpravo), \, \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} = \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ varphi + \ psi} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2d306aeb59e732b11c85eb649cb3bb5222b22c)
,
a má souřadnice .
hříchα2ne→{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} {\ overrightarrow {n}}}
(cos(ψ-φ2)hříchθ2,hřích(ψ-φ2)hříchθ2,hřích(ψ+φ2)cosθ2){\ displaystyle \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ psi - \ varphi} {2}} \ right) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, \ sin \ left ({\ frac {\ psi - \ varphi} {2}} \ vpravo) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, \ sin \ vlevo ({\ frac {\ psi + \ varphi} {2}} \ vpravo) \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ vpravo)}![{\ displaystyle \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ psi - \ varphi} {2}} \ right) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, \ sin \ left ({\ frac {\ psi - \ varphi} {2}} \ vpravo) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, \ sin \ vlevo ({\ frac {\ psi + \ varphi} {2}} \ vpravo) \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ vpravo)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95930c557f65da49a8b9db421bef0a0162f4e10d)
První vztah získáme zápisem, že stopa A se rovná 1 + 2 cos α .
Druhý a třetí druhá se snadno získat psát matice Euler-Rodrigues z a prováděním jejich produkt.
r3,r2,r1{\ displaystyle r_ {3}, r_ {2}, r_ {1}}![{\ displaystyle r_ {3}, r_ {2}, r_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2610013d35c2119ed9a8adb689feaea22984096)
Příklad: rotace třetiny otočení (1, 1, 1) matice má Eulerovy úhly .
NA=(001100010){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}}
(φ,θ,ψ)=(π,-π2,-π2){\ displaystyle (\ varphi, \ theta, \ psi) = \ left (\ pi, - {\ pi \ nad 2}, - {\ pi \ nad 2} \ vpravo)}![{\ displaystyle (\ varphi, \ theta, \ psi) = \ left (\ pi, - {\ pi \ nad 2}, - {\ pi \ nad 2} \ vpravo)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c0e5dbb5c46c6aa03930cd734587d5eaf10f83)
Mechanika těles
Jeden by se zajímal pouze zde o popis pohybu tělesa v nespecifikované rotaci kolem bodu O, což může být pevný bod tělesa v referenčním rámci nebo těžišti. Eulerovy úhly jsou zvoleny tak, aby umožňovaly jednoduché zapamatování konstrukce okamžitého rotačního vektoru tělesa, nezbytného pro studium kinematiky tělesa . Okamžitý vektor rotace tělesa je skutečně dán jednoduchým součtem:
ÓXyz{\ displaystyle Oxyz}![{\ displaystyle Oxyz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be27c2ad2be5d640cfc2a530df87d9b7b4ebf615)
Ω→=ψ˙z→+θ˙u→+φ˙z′→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ dot {\ psi}} \, {\ vec {z}} + {\ dot {\ theta}} \, {\ vec {u}} + {\ tečka {\ varphi}} \, {\ vec {z '}}}![{\ vec {\ Omega}} = {\ dot {\ psi}} \, {\ vec {z}} + {\ dot {\ theta}} \, {\ vec {u}} + {\ dot {\ varphi}} \, {\ vec {z '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be028eda4c4801b72a38e9ce6efd6c2b1d980261)
,
kde vektory, které se objevují na pravé straně, jsou jednotkové vektory odpovídajících os a výrazy jsou úhlové rychlosti precese, nutace a správné rotace. Všimněte si, že předchozí jednoduchý výraz používá neortogonální základ.
ψ˙,θ˙,φ˙{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}, \, {\ dot {\ theta}}, \, {\ dot {\ varphi}}}![{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}, \, {\ dot {\ theta}}, \, {\ dot {\ varphi}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055b4d38b096ad2ab64754f86203ef5bdf7a1865)
Použití Eulerových úhlů je v mechanice a astronomii velmi obecné, například k popisu pohybu gyroskopu : v protější animaci jsou rychlosti precese a správné rotace konstantní a rychlost nutace je nulová, úhel nutace zůstává konstantní.
ψ˙{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}
φ˙{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}}}
θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}![{\ dot {\ theta}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78124b2aea53527d3e053cbbdd9c7ded2c8f05f)
Krystalická orientace
Ve vědě o materiálech se Eulerovy úhly používají k popisu orientace krystalů (orientace krystalitu vzhledem k osám vzorku), zejména v oblasti textury (preferenční orientace). Úhly jsou pak obecně označeny ( ) pomocí:
φ1,Φ,φ2{\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ Phi, \ varphi _ {2}}![{\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ Phi, \ varphi _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2549abc1fe8a806b09d710e7b611addc9a2c15)
-
φ1=ψ{\ displaystyle \ varphi _ {1} = \ psi}
;
-
Φ=θ{\ displaystyle \ Phi = \ theta}
;
-
φ2=φ{\ displaystyle \ varphi _ {2} = \ varphi}
.
Někdy se používá jiná varianta, ve které druhá rotace ( nutace ) probíhá podél osy O v namísto O u ; úhly jsou poté zaznamenány ( ), aniž by to mělo vztah k notacím mechaniky, což není bez rizika záměny.
Φ,Θ,Ψ{\ displaystyle \ Phi, \ Theta, \ Psi}![{\ displaystyle \ Phi, \ Theta, \ Psi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671a205fb03e77437471c137b80fcd2909b7cbef)
Poznámky a odkazy
-
Taillet, Villain a Febvre 2018 , sv úhly Euler, str. 30.
-
Pérez 2014 , s. xxi a 275.
-
„ Výživa “ , na Wikislovníku
-
„ Eulerovy úhly “ , Fyzika a numerické simulace, Fakulta přesných a přírodních věd, University of Maine
-
(La) Leonhard Euler, „ Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile “ , komentář 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 15 ,1770„matice“ je na straně 83 ( číst online )
-
Liss KD, Bartels A, Schreyer A, Clemens H, „ Vysokoenergetické rentgenové paprsky: nástroj pro pokročilé hromadné vyšetřování v materiálové vědě a fyzice “, Textures Microstruct. , sv. 35, n os 3/4,2003, str. 219–52 ( DOI 10.1080 / 07303300310001634952 )
-
Toto je notace, kterou převzal Bunge ve své knize Analýza textur ve vědě o materiálech , reference v této oblasti
Podívejte se také
Bibliografie
-
[Lehning 2007] H. Lehning , „Les angles d'Euler“ , H. Lehning ( ed. ), Leonhard Euler: un genius des Lumières , Paříž, Pôle, kol. " Knihovna. Tangens „( n o 29),Květen 2007, 1 st ed. , 1 obj. , 154 s. , nemocný. a portr. , 17 x otevřená 24 cm ( ISBN 978-2-8488-4066-6 , EAN 9782848840666 , OCLC 470945066 , oznámení BNF n o FRBNF41041045 , SUDOC 11449309X ) , soubor n o 2, čl. n o 8, str. 64-65.
-
[Pérez 2014] José-Philippe Pérez (ve spolupráci s Olivierem Pujolem), Mechanika: základy a aplikace , Paříž, Dunod , kromě kol. ,září 2014, 7 th ed. ( 1 st ed. 1984), 1 obj. , XXVI -801 s. , 17,5 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-071232-8 , EAN 9782100712328 , OCLC 892897104 , upozornění BnF n o FRBNF43887529 , SUDOC 180751727 , online prezentace , číst online ).
-
[Taillet, Villain and Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain a P. Febvre , slovník fyziky , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , kromě kol. ,Ledna 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Květen 2008), 1 obj. , X -956 str. , nemocný. a obr. , 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online prezentace , číst online ) , sv Euler angles, str. 30, sl. 1-2.
Související články
externí odkazy