Euler - Rodriguesův vzorec
V matematiky a mechaniky se Euler - Rodrigues formule je obecný vzorec pro vektorové rotace v rozměru tři, které zahrnují čtyři parametry.
To je tak pojmenované v odkazu na Leonharda Eulera a Olinde Rodrigues .
Státy
Maticová formulace
Je napsána obecná matice rotace trojrozměrného euklidovského vektorového prostoru v přímé ortonormální bázi
[na2+b2-vs.2-d22(bvs.-nad)2(bd+navs.)2(bvs.+nad)na2+vs.2-b2-d22(vs.d-nab)2(bd-navs.)2(vs.d+nab)na2+d2-b2-vs.2]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} & 2 (bc-ad) & 2 (bd + ac) \\ 2 ( bc + ad) & a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} & 2 (cd-ab) \\ 2 (bd-ac) & 2 (cd + ab) & a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} \ end {bmatrix}}}kde jsou čtyři skutečné parametry, známé jako Euler-Rodrigues, které ověřují .
na,b,vs.,d{\ displaystyle a, b, c, d}na2+b2+vs.2+d2=1{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1}
Jedná se tedy také o obecný vzorec kladné ortogonální matice řádu tři.
Vektorové složení
Pokud označíme vektor souřadnic ( b, c, d ) na ortonormálním základě, je předchozím vzorcem maticový zápis vzorce:
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
X→′=r(X→)=X→+2na(ω→∧X→)+2(ω→∧(ω→∧X→)){\ displaystyle {\ vec {x}} '= r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + 2a ({\ vec {\ omega}} \ země {\ vec {x}} ) +2 \ left ({\ vec {\ omega}} \ land ({\ vec {\ omega}} \ land {\ vec {x}}) \ right)}.
To je důvod, proč se parametr a nazývá skalární parametr a triplet ( b, c, d ) vektorový parametr .
Vlastnosti
Symetrie
Parametry ( a , b , c , d ) a (- a , - b , - c , - d ) popisují stejnou rotaci. Kromě této symetrie každý kvadruplet parametrů popisuje jednu rotaci.
Složení rotací
Nechť ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) a ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) jsou Euler-Rodriguesovy parametry dvou rotací. Parametry složené rotace (rotace 1, pak rotace 2) jsou následující:
na=na1na2-b1b2-vs.1vs.2-d1d2;b=na1b2+b1na2-vs.1d2+d1vs.2;vs.=na1vs.2+vs.1na2-d1b2+b1d2;d=na1d2+d1na2-b1vs.2+vs.1b2.{\ displaystyle {\ begin {aligned} a & = a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}; \\ b & = a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2} -c_ {1} d_ {2} + d_ {1} c_ {2}; \\ c & = a_ {1} c_ { 2} + c_ {1} a_ {2} -d_ {1} b_ {2} + b_ {1} d_ {2}; \\ d & = a_ {1} d_ {2} + d_ {1} a_ { 2} -b_ {1} c_ {2} + c_ {1} b_ {2}. \ End {zarovnáno}}}Je jednoduché, i když zdlouhavé, ověřit, že a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Toto je v podstatě identita čtyř Eulerových čtverců , které také používal Rodrigues.
Spojení s úhlem a osou otáčení
Libovolná trojrozměrná rotace vektoru je určena pouze její osou rotace (směrovanou jednotkovým souřadnicovým vektorem ) a úhlem . Parametry Euler-Rodrigues jsou pak získány vztahy:
ne→{\ displaystyle {\ vec {n}}}(ne1,ne2,ne3){\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}θ{\ displaystyle \ theta}
na=cosθ2;b=ne1hříchθ2;vs.=ne2hříchθ2;d=ne3hříchθ2.{\ displaystyle {\ begin {aligned} a & = \ cos {\ frac {\ theta} {2}}; \\ b & = n_ {1} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}; \ \ c & = n_ {2} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}; \\ d & = n_ {3} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}. \ end {zarovnáno} }}Tj .
ω→=hříchθ2ne→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ sin {\ frac {\ theta} {2}} {\ vec {n}}}
Všimněte si, že pokud se zvýší o plnou rotaci , argumenty sine a cosine se zvýší pouze o . Výsledné parametry jsou protiklady původních hodnot, (- a , - b , - c , - d ) ; představují stejnou rotaci.
θ{\ displaystyle \ theta}2π{\ displaystyle 2 \ pi}π{\ displaystyle \ pi}
Příklady
- Stejná transformace (nulová rotace, ) odpovídá hodnotám parametrů ( a , b , c , d ) = (± 1, 0, 0, 0) .θ=0{\ displaystyle \ theta = 0}
- Rotace o 180 stupňů (půl otáčky, ) kolem libovolné osy jsou získány pro a = 0 , což dává obecnou matici půl otáčky kolem souřadnic ( b, c, d ):θ=π{\ displaystyle \ theta = \ pi}ne→{\ displaystyle {\ vec {n}}}
[b2-vs.2-d22bvs.2bd2bvs.vs.2-b2-d22(vs.d)2bd2vs.dd2-b2-vs.2]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} & 2bc & 2bd \\ 2bc & c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2 } & 2 (cd) \\ 2bd & 2cd & d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} \ end {bmatrix}}}.
- Matice Eulerových úhlů NA=[cosψcosφ-hříchψcosθhříchφ-cosψhříchφ-hříchψcosθcosφhříchψhříchθhříchψcosφ+cosψcosθhříchφ-hříchψhříchφ+cosψcosθcosφ-cosψhříchθhříchθhříchφhříchθcosφcosθ]{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} \ cos \ psi \ cos \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & \ sin \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ psi \ cos \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ sin \ psi \ sin \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} }se rovná matici Euler-Rodrigues s
(na,b,vs.,d)=(cosθ2cosψ+φ2,hříchθ2hříchψ+φ2,hříchθ2cosψ-φ2,cosθ2hříchψ-φ2){\ displaystyle (a, b, c, d) = (\ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ psi + \ varphi} {2}}, \ sin {\ frac { \ theta} {2}} \ sin {\ frac {\ psi + \ varphi} {2}}, \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ psi - \ varphi} { 2}}, \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ sin {\ frac {\ psi - \ varphi} {2}})}.
- Pokud jsou celá čísla, která nejsou celá nula, maticena,b,vs.,d{\ displaystyle a, b, c, d}
1na2+b2+vs.2+d2[na2+b2-vs.2-d22(bvs.-nad)2(bd+navs.)2(bvs.+nad)na2+vs.2-b2-d22(vs.d-nab)2(bd-navs.)2(vs.d+nab)na2+d2-b2-vs.2]{\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} a ^ {2} + b ^ { 2} -c ^ {2} -d ^ {2} & 2 (bc-ad) & 2 (bd + ac) \\ 2 (bc + ad) & a {{0} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} & 2 (cd-ab) \\ 2 (bd-ac) & 2 (cd + ab) & a {{1} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} \ end {bmatrix}}} je rotační matice s racionálními koeficienty.
Demonstrace
1) Vzorec rotace Olinde Rodrigues
Věta : je-li rotace úhlu kolem (jednotná), je obraz vektoru dán vzorcem:
r{\ displaystyle r}θ{\ displaystyle \ theta}ne→{\ displaystyle {\ vec {n}}}X→{\ displaystyle {\ vec {x}}}
r(X→)=X→+hříchθ(ne→∧X→)+(1-cosθ)(ne→∧(ne→∧X→)){\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + \ sin \ theta ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}}) + (1- \ cos \ theta) ({\ vec {n}} \ land ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}}))}
Důkaz : Vektor se rozkládá podle roviny P kolmé na a linie generované en . Teď, když je vektor přímo kolmé k v P ,, poté .
X→{\ displaystyle {\ vec {x}}}ne→{\ displaystyle {\ vec {n}}}ne→{\ displaystyle {\ vec {n}}}X→=X→1+X→2{\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {x}} _ {1} + {\ vec {x}} _ {2}}y→1{\ displaystyle {\ vec {y}} _ {1}}X→1{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {1}}r(X→)=cosθX→1+hříchθy→1+X→2{\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = \ cos \ theta {\ vec {x}} _ {1} + \ sin \ theta {\ vec {y}} _ {1} + {\ vec { x}} _ {2}}r(X→)-X→=(cosθ-1)X→1+hříchθy→1{\ displaystyle r ({\ vec {x}}) - {\ vec {x}} = (\ cos \ theta -1) {\ vec {x}} _ {1} + \ sin \ theta {\ vec { y}} _ {1}}
Avšak kresbou se o tom můžeme přesvědčit, a tudíž uvedený vzorec.
X→1=-ne→∧(ne→∧X→){\ displaystyle {\ vec {x}} _ {1} = - {\ vec {n}} \ land ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}})}y→1=ne→∧X→{\ displaystyle {\ vec {y}} _ {1} = {\ vec {n}} \ země {\ vec {x}}}
Buďte opatrní, nezaměňujte tento vzorec Olinde Rodrigues s jiným , pokud jde o ortogonální polynomy.
2) Získání vektorového vzorce
Rovnice Olinda Rodriguesa je také napsána a pózováním a je nám dobře .
r(X→)=X→+2hříchθ2cosθ2(ne→∧X→)+2cos2θ2(ne→∧(ne→∧X→)){\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + 2 \ sin {\ theta \ nad 2} \ cos {\ theta \ nad 2} ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}}) + 2 \ cos ^ {2} {\ theta \ over 2} ({\ vec {n}} \ land ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x} }))}na=cosθ2{\ displaystyle a = \ cos {\ frac {\ theta} {2}}}ω→=hříchθ2ne→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ sin {\ frac {\ theta} {2}} {\ vec {n}}}r(X→)=X→+2na(ω→∧X→)+2(ω→∧(ω→∧X→)){\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + 2a ({\ vec {\ omega}} \ země {\ vec {x}}) + 2 \ doleva ({\ vec {\ omega}} \ land ({\ vec {\ omega}} \ land {\ vec {x}}) \ right)}
Maticový vzorec se poté získá předáním na souřadnice.
3) Varianta přímé matice
Vzorec Olinde Rodrigues dává matici přímého ortonormálního základu:
r{\ displaystyle r}
[ne12(1-cosθ)+cosθne1ne2(1-cosθ)-ne3hříchθne1ne3(1-cosθ)+ne2hříchθne1ne2(1-cosθ)+ne3hříchθne22(1-cosθ)+cosθne2ne3(1-cosθ)-ne1hříchθne1ne3(1-cosθ)-ne2hříchθne2ne3(1-cosθ)+ne1hříchθne32(1-cosθ)+cosθ]{\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc} n_ {1} ^ {2} \ left (1- \ cos \ theta \ right) + \ cos \ theta & n_ {1} n_ {2} \ left (1- \ cos \ theta \ right) -n_ {3} \ sin \ theta & n_ {1} n_ {3} \ left (1- \ cos \ theta \ right) + n_ {2} \ sin \ theta \\ n_ {1} n_ {2} \ left (1- \ cos \ theta \ right) + n_ {3} \ sin \ theta & n_ {2} ^ {2} \ left (1- \ cos \ theta \ right) + \ cos \ theta & n_ {2} n_ {3} \ left (1- \ cos \ theta \ right) -n_ {1} \ sin \ theta \\ n_ {1} n_ {3} \ left ( 1- \ cos \ theta \ right) -n_ {2} \ sin \ theta & n_ {2} n_ {3} \ left (1- \ cos \ theta \ right) + n_ {1} \ sin \ theta & n_ {3} ^ {2} \ left (1- \ cos \ theta \ right) + \ cos \ theta \ end {array}} \ right]}
který sám dává Euler-Rodriguesovu matici pomocí .
(na,b,vs.,d)=(cosθ2,ne1hříchθ2,ne2hříchθ2,ne3hříchθ2){\ displaystyle (a, b, c, d) = (\ cos {\ frac {\ theta} {2}}, n_ {1} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, n_ {2} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, n_ {3} \ sin {\ frac {\ theta} {2}})}
Spojení s čtveřicemi
Parametry Euler-Rodrigues lze považovat za koeficienty čtveřice
q=na+bi+vs.j+dk,{\ displaystyle q = a + bi + cj + dk,}
jehož skalární parametr a je skutečná část a vektorové parametry b , c , d imaginární části. Od té doby je to jednotné
‖q‖2=na2+b2+vs.2+d2=1.{\ displaystyle \ left \ | q \ right \ | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}Ještě důležitější je, že výše uvedené vztahy pro složení rotací jsou přesně vztahy pro násobení čtveřic. Jinými slovy, skupina čtverců jednotek obdarená množením, modulo znaménko minus, je izomorfní se skupinou rotací obdařenou kompozicí.
Spojení s maticemi SU spin (2)
Lie skupina SU (2) může být použit k reprezentaci trojrozměrné rotace od 2 x 2 matice . Matice SU (2) odpovídající rotaci, jako funkce jejích Euler-Rodriguesových parametrů, je
U=( na+dib+vs.i-b+vs.ina-di).{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} \ \ \, a + di & b + ci \\ - b + ci & a-di \ end {pmatrix}}.}Co lze napsat:
U=na (1001)+b (01-10)+vs. (0ii0)+d (i00-i)=naJá+ivs.σX+ibσy+idσz,{\ displaystyle {\ begin {aligned} U & = a \ {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + b \ {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} + c \ {\ begin {pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} + d \ {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ konec {pmatrix}} \\ & = a \, I + ic \, \ sigma _ {x} + ib \, \ sigma _ {y} + id \, \ sigma _ {z}, \ end {zarovnáno}} }kde σ i jsou Pauliho rotační matice . Parametry Euler-Rodrigues jsou tedy koeficienty reprezentace trojrozměrné rotace v SU (2).
Viz také
Reference
- Élie Cartan , Theory of Spinors , Dover,devatenáct osmdesát jedna( ISBN 0-486-64070-1 )
- WR Hamilton , Elements of Quaternions , Cambridge University Press,1899
- EJ Haug , počítačová analýza a optimalizace dynamiky mechanických systémů. , Springer-Verlag,1984
- (es) Garza a Pacheco Quintanilla, „ Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana “ , Revista Mexicana de Física ,červen 2011, str. 109–113 ( číst online [ archiv23.dubna 2012] [PDF] )
- (in) Shuster, " Průzkum reprezentací postojů " , Journal of the Astronautical Sciences , sv. 41, n O 4,1993, str. 439–517 ( číst online [PDF] )
Poznámky a odkazy
-
(La) Leonhard Euler, „ Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile “ , komentář 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 15 ,1770, str. 75–106
-
Olinde Rodrigues, „ Geometrické zákony, kterými se řídí posuny pevné soustavy v prostoru, a variace souřadnic vyplývající z těchto posunů, které se berou v úvahu nezávisle na příčinách, které je mohou způsobit “, Journal of pure and applied mathematics ,1840, str. 380-440 ( číst online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">