Antimorfismus
V matematice je antimorfismus (někdy nazývaný antihomomorfismus ) aplikací mezi dvěma algebraickými strukturami, která mění pořadí operací.
Případ magmatů
Uvažujme magmas a , to znamená, že i dvě sady poskytované v tomto pořadí se dvěma zákony vnitřní složení poznamenali a . Aplikace je antimorfismem in if
(X,∗X){\ displaystyle (X, * _ {X})}
(Y,∗Y){\ displaystyle (Y, * _ {Y})}
X{\ displaystyle X}
Y{\ displaystyle Y}
∗X{\ displaystyle * _ {X}}
∗Y{\ displaystyle * _ {Y}}
ϕ:X→Y{\ displaystyle \ phi \ dvojtečka X \ až Y}
(X,∗X){\ displaystyle (X, * _ {X})}
(Y,∗Y){\ displaystyle (Y, * _ {Y})}![{\ displaystyle (Y, * _ {Y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fddd4d3d38b63130408886255335caaa3e30f8e)
∀(X1,X2)∈X2,ϕ(X1∗XX2)=ϕ(X2)∗Yϕ(X1).{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, x_ {2}) \ v X ^ {2}, \ quad \ phi (x_ {1} * _ {X} x_ {2}) = \ phi (x_ {2 }) * _ {Y} \ phi (x_ {1}).}![{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, x_ {2}) \ v X ^ {2}, \ quad \ phi (x_ {1} * _ {X} x_ {2}) = \ phi (x_ {2 }) * _ {Y} \ phi (x_ {1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b8cfef0ac712ad249074c48660e6a01ee20685)
Jinými slovy, pokud definujeme opačné magma pomocí a
(YÓp,∗YÓp){\ displaystyle (Y ^ {\ mathrm {op}}, * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}})}
YÓp: =Y{\ displaystyle Y ^ {\ mathrm {op}}: = Y}![{\ displaystyle Y ^ {\ mathrm {op}}: = Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece3362c553edb2f43c85da320d5376793615d6c)
∀(y1,y2)∈YÓp,y1∗YÓpy2: =y2∗Yy1{\ displaystyle \ forall (y_ {1}, y_ {2}) \ v Y ^ {\ mathrm {op}}, \ quad y_ {1} * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}} y_ {2 }: = y_ {2} * _ {Y} y_ {1}}![{\ displaystyle \ forall (y_ {1}, y_ {2}) \ v Y ^ {\ mathrm {op}}, \ quad y_ {1} * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}} y_ {2 }: = y_ {2} * _ {Y} y_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fcc85c5b847fd042c83a2bff415a29f8cdb6e7)
pak je antimorphism ze v právě tehdy, když je morphism z oblasti .
ϕ{\ displaystyle \ phi}
(X,∗X){\ displaystyle (X, * _ {X})}
(Y,∗Y){\ displaystyle (Y, * _ {Y})}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
(X,∗X){\ displaystyle (X, * _ {X})}
(YÓp,∗YÓp){\ displaystyle (Y ^ {\ mathrm {op}}, * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}})}![{\ displaystyle (Y ^ {\ mathrm {op}}, * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512f8dd0ed4baf8971e4cdb879ebdfdc01ce2c4e)
- V případě, kdy a je bijektivní, říkáme, že jde o anti-automorfismus .Y=X{\ displaystyle Y = X}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
- V případě, že zákon je komutativní , pojmy antimorphism a morfismu jsou stejné, stejně jako ti automorfismus a antiautomorphism.∗Y{\ displaystyle * _ {Y}}
![{\ displaystyle * _ {Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1add9b9e55321e19641acacd13dae2c3791f5be8)
- Složení dvou antimorphisms je morfismus, protože obrácení pořadí operací dvakrát zachovává pořadí operací. Na druhou stranu složení antimorfismu s morfismem je antimorfismus (bez ohledu na směr složení).
Případ skupin
U dvou skupin a (označených násobením) říkáme, že mapa je antimorfismem skupin in if
G{\ displaystyle G}
H{\ displaystyle H}
ϕ:G→H{\ displaystyle \ phi \ dvojtečka G \ až H}
G{\ displaystyle G}
H{\ displaystyle H}![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
ϕ(Xy)=ϕ(y)ϕ(X){\ displaystyle \ phi (xy) = \ phi (y) \ phi (x)}![{\ displaystyle \ phi (xy) = \ phi (y) \ phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5793672c6470466a0dd54c15d012c67a8f173ad7)
za všechno .
X,y∈G{\ displaystyle x, y \ v G}![x, y \ v G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3bd958e7750dc36ecaaa12caaacd9b6601af7c)
Jinými slovy, je skupina antimorphism o v tehdy a jen tehdy, pokud je skupina morfismus o v , na opačné skupiny z .
ϕ{\ displaystyle \ phi}
G{\ displaystyle G}
H{\ displaystyle H}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
G{\ displaystyle G}
HÓp{\ displaystyle H ^ {\ mathrm {op}}}
H{\ displaystyle H}![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
Například inverzní mapa je antimorfismus skupin uvnitř sebe sama, který je navíc bijektivní . Skupina je tedy vždy isomorfní se svou opačnou skupinou.
G∈G↦G-1∈G{\ displaystyle g \ in G \ mapsto g ^ {- 1} \ v G}
G{\ displaystyle G}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Pouzdro na prsteny
Po dobu dvou (monistický systém) kroužky a říkáme, že mapa je antimorphism z kruhů v případě, že je morphism vzhledem k aditivním zákona ale antimorphism pro multiplikativní zákona, tj. Že
NA{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
ϕ:NA→B{\ displaystyle \ phi \ dvojtečka A \ až B}
NA{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
ϕ(1NA)=1B{\ displaystyle \ phi (1_ {A}) = 1_ {B}}![{\ displaystyle \ phi (1_ {A}) = 1_ {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d76ca198659c683de0724b21640d651bbc5d33)
(označující příslušně a jednotky a );
1NA{\ displaystyle 1_ {A}}
1B{\ displaystyle 1_ {B}}
NA{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
ϕ(X+y)=ϕ(X)+ϕ(y){\ displaystyle \ phi (x + y) = \ phi (x) + \ phi (y)}
ϕ(Xy)=ϕ(y)ϕ(X){\ displaystyle \ phi (xy) = \ phi (y) \ phi (x)}
za všechno .
X,y∈NA{\ displaystyle x, y \ v A}![{\ displaystyle x, y \ v A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd3c2bd17578ba23f55a299668cd7accc5c7a9c)
Jinými slovy, je kruh antimorphism z v případě, a pouze v případě, je kruh morfismus o v , na opačné kruhu o .
ϕ{\ displaystyle \ phi}
G{\ displaystyle G}
H{\ displaystyle H}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
G{\ displaystyle G}
HÓp{\ displaystyle H ^ {\ mathrm {op}}}
H{\ displaystyle H}![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
Například mapa transponovaná mezi dvěma kroužky matic je antimorfismem prstenců.
Případ algeber
U dvou algeber a na poli říkáme, že mapa je antimorfismem algeber v případě, že je lineární s ohledem na aditivní zákon, ale antimorfismus pro multiplikativní zákon, tj. Než
NA{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
K.{\ displaystyle K}
ϕ:NA→B{\ displaystyle \ phi \ dvojtečka A \ až B}
NA{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
ϕ(1)=1{\ displaystyle \ phi (1) = 1}
ϕ(λX+y)=λϕ(X)+ϕ(y){\ Displaystyle \ phi (\ lambda x + y) = \ lambda \ phi (x) + \ phi (y)}
ϕ(Xy)=ϕ(y)ϕ(X){\ displaystyle \ phi (xy) = \ phi (y) \ phi (x)}
za všechno a .
X,y∈NA{\ displaystyle x, y \ v A}
λ∈K.{\ displaystyle \ lambda \ v K}![{\ displaystyle \ lambda \ v K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d95fcd9b07168a8162820f7fab4d8ee43366e8)
Jinými slovy, je antimorphism algeber v tehdy a jen tehdy, pokud je morphism algeber v oblasti , na opačné algebry části .
ϕ{\ displaystyle \ phi}
G{\ displaystyle G}
H{\ displaystyle H}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
G{\ displaystyle G}
HÓp{\ displaystyle H ^ {\ mathrm {op}}}
H{\ displaystyle H}![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
Například konjugace na skutečné algebře čtveřic je antimorfismem algeber.
Intuutivní algebra
Důležitým zvláštním případem je případ, kdy uvažujeme antiautomorfismus algebry (tj. Bijektivní antimorfismus sám o sobě), který je involutivní , tj. Takový, který je identitou l . Pokud takový antiautomorfismus existuje, říkáme, že jde o involutivní algebru . Kvaterniony tím, že považují konjugaci za involutivní antiautomorfismus, tvoří involutivní algebru na těle reálných čísel. U maticových algeber dává transpozice involutivní anti-automorfismus.
ϕ{\ displaystyle \ phi}
NA{\ displaystyle A}
NA{\ displaystyle A}
ϕ∘ϕ{\ displaystyle \ phi \ circ \ phi}
NA{\ displaystyle A}
NA{\ displaystyle A}![NA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">