Druhá základní forma

V diferenciální geometrie je druhá základní tvar , známý II , je kvadratická forma na tečné prostoru na hypersurface části Riemannově potrubí .

Případ povrchu v ℝ 3

Dovolit být povrch parametrizovaný X ( u , v ). V daném bodě P je tečná rovina (je-li definována) generována tečnými vektory a je označena X u a X v . Normální vektor je definován jako jednotkový vektor n kolineární s X u ∧ X v . V případě reference (P, X u , X v , n ), pokud je povrch lokálně hladký, lze provést omezený vývoj Σ ve formě ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné X} {\ částečné u}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné X} {\ částečné v}}}$

{\ displaystyle z = \ mathrm {L} {\ frac {x ^ {2}} {2}} + \ mathrm {M} xy + \ mathrm {N} {\ frac {y ^ {2}} {2} } + \ varepsilon}

a definovat kvadratickou formu

{\ displaystyle {\ mathsf {II}} = L \ mathrm {d} x ^ {2} + 2M \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y + N \ mathrm {d} y ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {L} = {\ frac {\ částečné ^ {2} \ mathrm {X}} {\ částečné u ^ {2}}} \ cdot \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ mathrm {M} = {\ frac {\ částečné ^ {2} \ mathrm {X}} {\ částečné u \ částečné v}} \ cdot \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ mathrm {N} = {\ frac {\ částečné ^ {2} \ mathrm {X}} {\ částečné v ^ {2}}} \ cdot \ mathbf {n}}

Tato kvadratická forma II se nazývá druhá základní forma . Může to být také reprezentováno maticí

{\ displaystyle \ mathrm {II} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {L} & \ mathrm {M} \\\ mathrm {M} & \ mathrm {N} \ end {pmatrix}}}

Tečné vektory (X u , X v ) tvoří základ tečné roviny vektorové k Σ v P; jakýkoli tangenciální vektor lze zapsat jako lineární kombinaci X u a X v . Je napsána druhá základní forma aplikovaná na dva vektory w 1 = a X u + b X v a w 2 = c X u + d X v

II ( w 1 , w 2 ) = L ac + M ( ad + bc ) + N bd

a pro jediný vektor

II ( w 1 , w 1 ) = L a 2 + 2 M ab + N b 2

Druhá základní forma je také vyjádřena operátorem S- formuláře a tečkovým produktem :

II ( w 1 , w 2 ) = S ( w 1 ) ⋅ w 2 .

Gaussian zakřivení K je možno vypočítat z prvních a druhých základních tvarů:

{\ displaystyle \ mathrm {K} = {\ frac {\ det \ mathrm {II}} {\ det \ mathrm {I}}} = {\ frac {\ mathrm {L} \ mathrm {N} - \ mathrm { M} ^ {2}} {\ mathrm {E} \ mathrm {G} - \ mathrm {F} ^ {2}}}}

Tyto hlavní zakřivení jsou vlastní čísla z symetrické matice

{\ displaystyle \ mathrm {II} _ {uv} = {\ začátek {pmatrix} \ mathrm {II} (\ mathrm {X} _ {u}, \ mathrm {X} _ {u}) & \ mathrm {II } (\ mathrm {X} _ {u}, \ mathrm {X} _ {v}) \\\ mathrm {II} (\ mathrm {X} _ {v}, \ mathrm {X} _ {u}) & \ mathrm {II} (\ mathrm {X} _ {v}, \ mathrm {X} _ {v}) \ end {pmatrix}}}

Případ nadpovrchu

Uvažujeme hypersurface o Riemannian různý , oba jsou orientované . Můžeme uvažovat pole normálových jednotek n spojené s hyperplošinou (jedná se o zobecnění Gaussovy mapy ) k těmto dvěma odrůdám. Existuje také pojem derivace ( kovariantní derivace ) vektorů přirozeně spojených s metrikou okolního potrubí: jedná se o známé spojení Levi-Civita . $\ nabla$

Nastavili jsme pro dva vektory v a w dotýkající se hyperplochy

{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, w) = \ langle n, \ nabla _ {V} W \ rangle}

označením vektorových polí V a W rozšiřujících v a w . Zkontroluje se, že získaný výraz nezávisí na provedeném rozšíření. Znamení druhé základní formy závisí na volbě směru n (koorientace hyperplochy).

Obecná definice

Můžeme zobecnit koncept druhé základní formy na prostory libovolné codimension . V tomto případě se jedná o kvadratickou formu na tečném prostoru s hodnotami v normálním svazku :

{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, w) = (\ nabla _ {v} w) ^ {\ bot},}

s na ortogonální projekce na kovariantní derivátu na normální svazku. ${\ displaystyle (\ nabla _ {v} w) ^ {\ bot}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {vb} w}$

Souvislost se zakřivením

V euklidovských prostorech lze tenzor zakřivení subvariety popsat Gaussovou rovnicí:

{\ displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (u, z), \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} ( v, w) \ rangle - \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (u, w), \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, z) \ rangle.}

Pro jakékoli Riemannovo potrubí musíme přidat zakřivení okolního prostoru. Jestliže N je rozsah obsažen v Riemannově potrubí ( M, g ), pak se zakřivení tensor z N s indukovanou metrikou může být vyjádřena z druhého základního tvaru a zakřivení tensor M : ${\ displaystyle R_ {N}}$ ${\ displaystyle R_ {M}}$

{\ displaystyle \ langle R_ {N} (u, v) w, z \ rangle = \ langle R_ {M} (u, v) w, z \ rangle + \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I } (u, z), \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, w) \ rangle - \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (u, w), \ mathrm { I} \! \ Mathrm {I} (v, z) \ rangle.}

Rozšíření ponoření

První a druhá základní forma jsou zavedeny při studiu dílčích potrubí, které jsou vybaveny indukovanou metrikou. Tyto pojmy můžeme zobecnit na jakékoli ponoření Riemannova potrubí do jiného, a priori je třeba vzít v úvahu dva metrické tenzory, na zdrojovém potrubí a cíli. Umístěním do domény injektivity $Φ$ můžeme transportovat vektorová pole $M$ přímým obrazem (a v případě potřeby je rozšířit). Poté ukážeme, že následující výraz má význam a dává v každém bodě bilineární formu na tečném prostoru k $M$ s hodnotami v tečném prostoru na $N$

{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (X, Y) = \ nabla _ {\ phi _ {\ ast} X} ^ {h} (\ phi _ {\ ast} Y) - \ phi _ {\ ast} (\ nabla _ {X} ^ {g} Y)}

Zcela geodetické aplikace (tj. Ty, pro které je obraz jakékoli geodetické geodetické), lze chápat přirozeně jako ty, pro které je druhý základní tvar neustále nulový.

Aplikace, pro které je stopa druhé základní formy nulová, se nazývají harmonické .

Zejména v případě, že mapa je izometrickým ponořením $M$ do $N$ (což zahrnuje případ kanonické injekce pro Riemannovy podmanifony $N$ ), pojem harmonické mapy se shoduje se skutečností, že $Φ (M)$ je minimální odrůda v $N$ ).

Podívejte se také

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Druhá základní forma “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin a Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ podrobnosti publikace ], str. 185
Aubin, Thierry. Některé nelineární problémy v Riemannově geometrii. Springer Monografie z matematiky. Springer-Verlag, Berlín, 1998. xviii + 395 stran ( ISBN 3-540-60752-8 ) , str. 349
(in) Jürgen Jost , Riemannova geometrie a geometrická analýza ,2002[ detail vydání ], str. 394