Kosmický oblouk

Funkce kosinusového oblouku Grafické znázornění (v nestandardním souřadnicovém systému ).

Hodnocení	${\ displaystyle \ arccos (x)}$
Reciproční	$\ cos (x)$ na [0; π]
Derivát	${\ displaystyle {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
Primitiv	${\ displaystyle x \, \ arccos (x) - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$

Hlavní charakteristiky

Sada definic	[-1; 1]
Sada obrázků	[0; π]

V matematiky se arkuskosinus z reálného čísla zahrnuty v širokém smyslu mezi -1 a 1 je jediným měřítkem úhlu , jehož cosinus odpovídá toto číslo, mezi nulovým úhlem a tupým úhlem .

Funkce , která asociuje s jakékoliv reálné číslo zahrnuty v širším slova smyslu mezi -1 a 1 hodnota jeho arkuskosinus v radiánech je třeba poznamenat, arccos (ARccOS nebo Acos ve francouzském zápisu a cos -1 , někdy acos nebo ACS, v angličtině notace Saxon).

Je to tedy převrácená hodnota trigonometrické kosinové funkce v intervalu [0, π ], proto v karteziánském souřadnicovém systému ortonormálním k rovině se křivka představující kosmický oblouk získá z křivky omezení kosinu pomocí osy symetrie přímka rovnice y = x .

Definice

Funkce je definována jako reciproční funkce funkce on , tj. Je to jedinečná funkce, která: ${\ displaystyle \ arccos: [- 1,1] \ rightarrow [0, \ pi]}$ $\ cos$ $[0, \ pi]$

∀X∈[0,π],arccos⁡(cos⁡(X))=X.{\ displaystyle \ forall x \ in [0, \ pi], \ arccos (\ cos (x)) = x.} ${\ displaystyle \ forall x \ in [0, \ pi], \ arccos (\ cos (x)) = x.}$

Vlastnosti

Trigonometrické vztahy

Žádná parita

Na rozdíl od tangentních funkcí Arc a Arc nepřipouští funkce žádnou paritu. Má však následující vlastnost: $\ arccos$

∀X∈[-1,1],arccos⁡(-X)=π-arccos⁡(X).{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1], \ arccos (-x) = \ pi - \ arccos (x).}

{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1], \ arccos (-x) = \ pi - \ arccos (x).}

Vztah k sinusu

Postačuje pouze vztah se získat následující vztah: ${\ displaystyle \ cos (X) ^ {2} + \ sin (X) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle X = \ arccos (x)}$

hřích⁡(arccos⁡(X))=1-X2.{\ displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}

„Inverze“ trigonometrických vzorců

Počínaje jakýmkoli trigonometrickým vzorcem jej můžeme „invertovat“ a získat vztah mezi hodnotami vzájemných funkcí, který však bude většinou platit pouze v omezených intervalech. Například, protože , budeme mít , ale pouze pro ${\ displaystyle \ cos 2x = 2 \ cos ^ {2} x-1}$ ${\ displaystyle \ arccos (2X ^ {2} -1) = 2 \ arccos X}$ ${\ displaystyle X \ v [0,1].}$

Derivát

Jako derivát vzájemné funkce , je diferencovatelné ON a splňuje $\ arccos$ $] -1,1 [$

{\ displaystyle \ arccos '(x) = {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}

Tento vzorec je získán díky větě o derivaci reciproční funkce.

Nedefinovaná integrální forma

Tuto funkci lze zapsat ve formě neurčitého integrálu:

{\ displaystyle \ arccos (x) = \ int _ {1} ^ {x} - {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t.}

Primitiv

Tyto primitivy těchto arccos fungovat se získají integrací per partes :

{\ displaystyle \ int \ arccos (x) ~ \ mathrm {d} x = x \, \ arccos (x) - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C.}

Vztah mezi kosinovým obloukem a sinusovým obloukem

{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}

Vskutku, $π / 2$ - $arccos x$ je mezi - $π / 2$ a $π / 2$ a jeho sinus se rovná kosinu $arccos x$ , to znamená $x$ , proto $π / 2$ - $arccos x$ = $arcsin x$ .

(Další metodu naleznete v článku „Monotónnost a znaménko derivace“ článku o monotónních funkcích .)

Složitá logaritmická forma

Funkci arccos můžeme vyjádřit pomocí komplexního logaritmu :

{\ displaystyle \ arccos (x) = - \ mathrm {i} \, \ ln \ vlevo (x + \ mathrm {i} \, {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ vpravo) = {\ frac {\ pi} {2}} \, + \ mathrm {i} \ ln \ left (\ mathrm {i} \, x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (x).}

Odkaz

Zápis z matematického programu v CPGE , str. 10 .

Podívejte se také

Související články