Sinusový oblouk

Funkce oblouku sine Grafické znázornění funkce oblouku sine.

Hodnocení	${\ displaystyle \ arcsin (x)}$
Reciproční	$\ sin (x)$ Tak určitě ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ vpravo]}$
Derivát	${\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
Primitiv	${\ displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$

Hlavní charakteristiky

Sada definic	[-1, 1]
Sada obrázků	${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ vpravo]}$
Parita	zvláštní

V matematiky se arkussinus z reálné číslo součástí (v širším slova smyslu) mezi $-1$ a $1$ je jediným měřítkem úhel v radiánech , jehož sinus je roven tomuto číslu, a mezi a . ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac \ pi 2}$

Funkce , který se asociuje s jakékoliv reálné číslo zahrnuty v širokém smyslu mezi $-1$ a $1$ hodnotu její arkussinus je třeba poznamenat, arcsin (arcsin nebo Asin ve francouzském notaci, sin -1 , asin nebo Asn v anglosaské notace). Je pak na reciproční bijection o omezení na goniometrické funkce sinus na intervalu . ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ vpravo]}$

V kartézského souřadného systému ortonormální k rovině je reprezentativní křivky funkce arkussinus se získá Z křivky k omezení funkce sinus na interval od odrazem osy linii rovnice $y = x$ . ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ vpravo]}$

Derivát

Jako derivát reciproční bijekce je arcsin diferencovatelný na $] -1, 1 [$ a splňuje ${\ displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$ .

Tento vzorec je získán díky teorému o derivaci reciproční bijekce a relaci ${\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ .

Vývoj celé série

v případě , ${\ displaystyle | z | \ leq 1}$

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ dots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ end {zarovnáno}}}

(Viz také Hypergeometrická funkce # Zvláštní případy .)

Demonstrace

Vývoj deriváty IS:

{\ displaystyle {\ begin {zarovnané} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {5} {2}} \ right)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ tečky, \ end {zarovnáno}}}

tedy výsledek, „ integrováním “ termínu po termínu .

Nedefinovaná integrální forma

Tuto funkci lze zapsat ve formě neurčitého integrálu :

${\ displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}$ .

Primitiv

Tyto primitivy sine oblouku se získají integrací per partes :

${\ displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$ .

Vztah mezi obloukem sinus a obloukem kosinus

Pro jakékoli skutečné $x$ mezi $-1$ a $1$ : ${\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}$ .

Logaritmická forma

Funkci arc sine můžeme vyjádřit složitým logaritmem :

${\ displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ left ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}$ .

Odkaz

Zápis z matematického programu v CPGE , str. 10 .

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

(en) Eric W. Weisstein , „ Inverse Sine “ , na MathWorld
(en) Milton Abramowitz a Irene Stegun , Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami [ podrobnosti vydání ] ( číst online ), § 4.4, s. 79-83