ARMA
Ve statistikách jsou modely ARMA ( autoregresivní modely a klouzavý průměr ) nebo také model Box- Jenkins hlavní modely časových řad .
Vzhledem k časové řadě X t je model ARMA nástrojem k pochopení a možné předpovědi budoucích hodnot této řady. Model se skládá ze dvou částí: autoregresní části (AR) a části s klouzavým průměrem (MA). Model se obecně označuje ARMA ( p , q ), kde p je pořadí části AR a q pořadí části MA.
Definice - autoregresivní a klouzavý průměr modelu objednávek ( p , q ), (zkráceně ARMA ( p , q ) ) je diskrétní časová proces ( X t , t ∈ ℕ) splňující:
Xt=εt+∑i=1pφiXt-i+∑i=1qθiεt-i{\ displaystyle X_ {t} = \ varepsilon _ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} \ varepsilon _ {ti}}
kde φ i a θ i jsou parametry modelu a ε i jsou chybové výrazy.
Autoregresivní modelu AR ( p ) je ARMA ( p , 0)
Model klouzavého průměru MA ( q ) je ARMA (0, q )
Autoregresní model
Autoregresní model řádu p , zkráceně AR ( p ), je zapsán:
Xt=vs.+∑i=1pφiXt-i+εt{\ displaystyle X_ {t} = c + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ varepsilon _ {t} \,}
kde Níže jsou uvedeny parametry modelu, je konstantní a bílý šum . Konstanta je v literatuře často vynechána, proces je pak považován za střed.
φ1,...,φp{\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ ldots, \ varphi _ {p}}
vs.{\ displaystyle c}
εt{\ displaystyle \ varepsilon _ {t}}![\ varepsilon _ {t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1ff8b8945e6a4fccf6071f806b9ef232492b9a)
K zajištění stacionarity jsou nutná další omezení parametrů . Například pro model AR (1) procesy jako | φ 1 | ≥ 1 není v klidu.
Příklad: proces AR (1)
Model AR (1) je dán vztahem:
Xt=vs.+φXt-1+εt{\ displaystyle X_ {t} = c + \ varphi X_ {t-1} + \ varepsilon _ {t} \,}
kde je bílý šum, s nulovým průměrem a rozptylem .
εt{\ displaystyle \ varepsilon _ {t}}
σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}![\ sigma ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5)
- Pokud je model v rozptylu stacionární .|φ|<1{\ displaystyle | \ varphi | <1}
![| \ varphi | <1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac88cf3e11f7577b756abedbee667cce5069563)
- Pokud , pak proces vykazuje kořen jednotky (in) , což znamená, že se jedná o náhodnou procházku , a není stacionární v odchylce.φ=1{\ displaystyle \ varphi = 1}
- Takže předpokládejme . Očekávání je rozptyl je autokovarianční procesu jsou v tomto pořadí se rovná:|φ|<1{\ displaystyle | \ varphi | <1}
![| \ varphi | <1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac88cf3e11f7577b756abedbee667cce5069563)
E[Xt]=vs.1-φ{\ displaystyle \ mathrm {E} \ doleva [X_ {t} \ doprava] = {\ frac {c} {1- \ varphi}}}
PROTInar[Xt]=σ21-φ2{\ displaystyle \ mathrm {Var} \ doleva [X_ {t} \ doprava] = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}}}
Bne=VSÓproti[Xt,Xt-ne]=σ21-φ2φ|ne|{\ displaystyle B_ {n} = \ mathrm {Cov} \ vlevo [X_ {t}, X_ {tn} \ vpravo] = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}} } \ varphi ^ {| n |}}
Brát znamená mít nulový průměr. Zavádíme rychlost rozpadu autokovarianční funkce
vs.=0{\ displaystyle c = 0}
τ=-1/ln(φ){\ displaystyle \ tau = -1 / \ ln (\ varphi)}
Spektrální hustota výkonu je Fourierova transformace funkce autokovarianční. V diskrétním případě je to napsáno:
Φ(ω)=12π∑ne=-∞∞BneE-iωne=12π(σ21+φ2-2φcos(ω)).{\ displaystyle \ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} B_ {n} e ^ { -i \ omega n} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ left ({\ frac {\ sigma ^ {2}} {1+ \ varphi ^ {2} -2 \ varphi \ cos (\ omega)}} \ vpravo).}![\ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} B_ {n} e ^ {- i \ omega n} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ left ({\ frac {\ sigma ^ {2}} {1+ \ varphi ^ {2} -2 \ varphi \ cos (\ omega)}} \ vpravo).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a864fa4873a12c2502f601a4cea5156c13d7b2)
Tento vývoj je periodický kvůli přítomnosti kosinového výrazu ve jmenovateli. Za předpokladu, že doba vzorkování ( ) je menší než rychlost rozpadu ( ), můžeme použít spojitou aproximaci :
Δt=1{\ displaystyle \ Delta t = 1}
τ{\ displaystyle \ tau}
Bne{\ displaystyle B_ {n}}![B_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f568bf6d34e97b9fdda0dc7e276d6c4501d2045)
B(t)≈σ21-φ2φ|t|{\ displaystyle B (t) \ přibližně {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \, \, \ varphi ^ {| t |}}![B (t) \ přibližně {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \, \, \ varphi ^ {| t |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb872ba8af8c4dd8756cfc02b31c337e83494f8)
který představuje Lorentzianův tvar pro spektrální hustotu:
Φ(ω)=12πσ21-φ2yπ(y2+ω2){\ displaystyle \ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \, {\ frac {\ gamma} {\ pi (\ gamma ^ {2} + \ omega ^ {2})}}}![\ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \ \, { \ frac {\ gamma} {\ pi (\ gamma ^ {2} + \ omega ^ {2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11848e4028d178177ce166fa34676301a0331144)
kde je úhlová frekvence spojená s .
y=1/τ{\ displaystyle \ gamma = 1 / \ tau}
τ{\ displaystyle \ tau}![\ tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
Alternativní výraz pro lze odvodit nahradí se v definující rovnice. Pokračováním této manipulace N times poskytuje
Xt{\ displaystyle X_ {t}}
Xt-1{\ displaystyle X_ {t-1}}
vs.+φXt-2+εt-1{\ displaystyle c + \ varphi X_ {t-2} + \ varepsilon _ {t-1}}![c + \ varphi X_ {t-2} + \ varepsilon _ {t-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7787d0d39eb7a51cbebaf48cb00e775bd56bf28a)
Xt=vs.∑k=0NE-1φk+φNEXt-NE+∑k=0NE-1φkεt-k.{\ displaystyle X_ {t} = c \ součet _ {k = 0} ^ {N-1} \ varphi ^ {k} + \ varphi ^ {N} X_ {tN} + \ součet _ {k = 0} ^ {N-1} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.}![X_ {t} = c \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} \ varphi ^ {k} + \ varphi ^ {N} X_ {tN} + \ sum _ {k = 0} ^ {N- 1} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2bc722c92ed8456fb6afbc49249c5235904475)
Pro N se stává velmi velkým, blíží se 0 a:
φNE{\ displaystyle \ varphi ^ {N}}![\ varphi ^ {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c7d06db11de79871f23fce1a87a85a61e19f12)
Xt=vs.1-φ+∑k=0∞φkεt-k.{\ displaystyle X_ {t} = {\ frac {c} {1- \ varphi}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.}![X_ {t} = {\ frac {c} {1- \ varphi}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dc254dbf8d8b18ea6b62249f047a0982a9d4c0)
Vidíme, že jde o bílý šum spletitý s jádrem plus konstantní průměr. Pokud je bílý šum gaussovský , pak je to také normální proces. Jinak centrální limitní věta říká, že to bude přibližně normální, když bude téměř jednota.
Xt{\ displaystyle X_ {t}}
φk{\ displaystyle \ varphi ^ {k}}
Xt{\ displaystyle X_ {t}}
Xt{\ displaystyle X_ {t}}
φ{\ displaystyle \ varphi}![\ varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
Odhad parametrů AR
Model AR ( p ) je dán vztahem
Xt=∑i=1pφiXt-i+εt.{\ displaystyle X_ {t} = \ součet _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,}![X_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a017e273d484ea82c3c0effe3153b1e991a0ef)
Odhadované parametry jsou kde i = 1,…, s . Mezi těmito parametry existuje přímá korespondence a funkce kovariance (a tedy autokorelace) a lze tyto parametry odvodit převrácením těchto vztahů. Toto jsou rovnice Yule- Walker :
φi{\ displaystyle \ varphi _ {i}}![\ varphi _ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70503774fb21be77396899900d3aa1e47d8f9e10)
ym=∑k=1pφkym-k+σε2δm{\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ součet _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {mk} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ { m}}![\ gamma _ {m} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {mk} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0711bfaf60c28d3b0f98349157d0a8452bce0fc)
kde m = 0,…, p , což dává ve všech rovnicích p + 1. Koeficienty je autokorelační funkce z X , je odchylka (standardní odchylka) z bílého šumu, a δ m je symbol Kronecker .
ym{\ displaystyle \ gamma _ {m}}
σε{\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon}}![\ sigma _ {\ varepsilon}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04852f481494a445c9f5b9082df1ead002c098a2)
Poslední část rovnice je nenulová, pokud m = 0; přičemž m > 0 je předchozí rovnice zapsána jako maticový systém
[y1y2y3⋮]=[y0y-1y-2...y1y0y-1...y2y1y0...⋮⋮⋮⋱][φ1φ2φ3⋮]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {1} \\\ gamma _ {2} \\\ gamma _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} & \ gamma _ {- 2} & \ dots \\\ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} & \ tečky \\\ gamma _ {2} & \ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varphi _ {1} \\\ varphi _ {2} \\\ varphi _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}}}![{\ begin {bmatrix} \ gamma _ {1} \\\ gamma _ {2} \\\ gamma _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} & \ gamma _ {- 2} & \ dots \\\ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} & \ dots \\ \ gamma _ {2} & \ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varphi _ {1} \\\ varphi _ {2} \\\ varphi _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f06c0d88d00448283d83764012098b3618ed482)
Pro m = 0 máme
y0=∑k=1pφky-k+σε2{\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ součet _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {- k} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}}![\ gamma _ {0} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {- k} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a4c41947026759238a648af29cbc9e0262dff0)
který pomáhá najít .
σε2{\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}}![\ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec379b86e73255492d3266c76f6e17acfdfabd1)
Yule-Walkerovy rovnice poskytují způsob odhadu parametrů modelu AR ( p ) nahrazením teoretických kovariancí odhadovanými hodnotami. Jeden způsob, jak získat tyto hodnoty, se bere v úvahu lineární regrese z X t na své p první MAS.
Získání rovnic Yule-Walker
Definující rovnice procesu AR je
Xt=∑i=1pφiXt-i+εt.{\ displaystyle X_ {t} = \ součet _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,}![X_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3205540c1ef347c0169c41c2ccb3a556c55ca165)
Vynásobením těchto dvou členů X t - m a převzetím očekávání dostaneme
E[XtXt-m]=E[∑i=1pφiXt-iXt-m]+E[εtXt-m].{\ displaystyle E [X_ {t} X_ {tm}] = E \ vlevo [\ součet _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ vpravo] + E [\ varepsilon _ {t} X_ {tm}].}![E [X_ {t} X_ {tm}] = E \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] + E [ \ varepsilon _ {t} X_ {tm}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0824e2d072b36aae0431637988b5efdb598d42d)
Nyní se ukazuje, že E [ X t X t - m ] = γ m podle definice funkce autokovariance. Podmínky bílého šumu jsou na sobě nezávislé a navíc X t - m je nezávislé na ε t, kde m je větší než nula. Pro m > 0, E [ε t X t - m ] = 0. Pro m = 0,
E[εtXt]=E[εt(∑i=1pφiXt-i+εt)]=∑i=1pφiE[εtXt-i]+E[εt2]=0+σε2,{\ displaystyle E [\ varepsilon _ {t} X_ {t}] = E \ left [\ varepsilon _ {t} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} + \ varepsilon _ {t} \ right) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, E [\ varepsilon _ {t} \, X_ { ti}] + E [\ varepsilon _ {t} ^ {2}] = 0+ \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2},}![E [\ varepsilon _ {t} X_ {t}] = E \ left [\ varepsilon _ {t} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti } + \ varepsilon _ {t} \ right) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, E [\ varepsilon _ {t} \, X_ {ti}] + E [\ varepsilon _ {t} ^ {2}] = 0+ \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525dcfb63320ca8507b03d9ba9071bb86fbda251)
Nyní máme pro m ≥ 0,
ym=E[∑i=1pφiXt-iXt-m]+σε2δm.{\ displaystyle \ gamma _ {m} = E \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] + \ sigma _ { \ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.}![\ gamma _ {m} = E \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbd0638b2d0cf352d9aa0f73bd755f4967f71ad)
V opačném případě,
E[∑i=1pφiXt-iXt-m]=∑i=1pφiE[XtXt-m+i]=∑i=1pφiym-i,{\ displaystyle E \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p } \ varphi _ {i} \, E [X_ {t} X_ {tm + i}] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, \ gamma _ {mi}, }![E \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, E [X_ {t} X_ {tm + i}] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, \ gamma _ {mi},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3e9767b458cf0551a71c2996f5adbfcd9f9cde)
což dává rovnice Yule-Walker:
ym=∑i=1pφiym-i+σε2δm.{\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ součet _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {mi} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ { m}.}![\ gamma _ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {mi} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bae375b849020b32484a0c14badee2d5ce6307)
pro m ≥ 0. Pro m <0,
ym=y-m=∑i=1pφiy|m|-i+σε2δm.{\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ gamma _ {- m} = \ součet _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {| m | -i} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.}![\ gamma _ {m} = \ gamma _ {- m} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {| m | -i} + \ sigma _ {\ varepsilon } ^ {2} \ delta _ {m}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63150e41ff0211241b757334c155bf2c93e91540)
Model klouzavého průměru
Zápis MA ( q ) odkazuje na model klouzavého průměru řádu q :
Xt=εt+∑i=1qθiεt-i{\ displaystyle X_ {t} = \ varepsilon _ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} \ varepsilon _ {ti} \,}![X_ {t} = \ varepsilon _ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} \ varepsilon _ {ti} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9254326b153fb712b45aa4b1fd48a15fd6e58bbe)
kde θ 1 ,…, θ q jsou parametry modelu a ε t , ε t-1 ,… jsou opět chybové výrazy.
Poznámka k chybovým podmínkám
Chybové podmínky ε t se obecně považují za nezávislé a identicky distribuované (iid) podle normálního rozdělení střední nuly: ε t ~ N (0, σ 2 ), kde σ 2 je rozptyl. Tyto předpoklady lze uvolnit, ale to by změnilo vlastnosti modelu, jako je například převzetí jediného znaku iid
Specifikace, pokud jde o operátora zpoždění
Modely ARMA lze psát z hlediska L , což je operátor zpoždění . Je zapsán autoregresní model AR ( p )
εt=(1-∑i=1pφiLi)Xt=φXt{\ displaystyle \ varepsilon _ {t} = \ vlevo (1- \ součet _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ vpravo) X_ {t} = \ varphi X_ { t} \,}![\ varepsilon _ {t} = \ left (1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t} = \ varphi X_ {t} \ ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e18554acd84d09dd88f6604abe74f7e3cd421d)
kde φ představuje polynom
φ=1-∑i=1pφiLi.{\ displaystyle \ varphi = 1- \ součet _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i}. \,}![\ varphi = 1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3412e21fe5c350b27b3d7d8d0e27b1a99dcec4)
Pro model s klouzavým průměrem MA ( q ) máme
Xt=(1+∑i=1qθiLi)εt=θεt{\ displaystyle X_ {t} = \ vlevo (1+ \ součet _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ doprava) \ varepsilon _ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t} \,}![X_ {t} = \ left (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ right) \ varepsilon _ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t } \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d931bb4fe887b23f57261d166f3f2af7c21a6ec5)
kde θ představuje polynom
θ=1+∑i=1qθiLi.{\ displaystyle \ theta = 1 + \ součet _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i}. \,}![\ theta = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429f564bc1def24bae2e85c8d5c52f01baf69969)
Nakonec kombinací těchto dvou aspektů odvodíme zápis modelu ARMA ( p , q ):
(1-∑i=1pφiLi)Xt=(1+∑i=1qθiLi)εt{\ displaystyle \ left (1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t} = \ left (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ right) \ varepsilon _ {t} \,}![\ left (1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t} = \ left (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ vpravo) \ varepsilon _ {t} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d085e72f80d76d1cee533e3444a5b3acdc8abd)
kde kratší:
φXt=θεt.{\ displaystyle \ varphi X_ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t}. \,}![\ varphi X_ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b173f2a7e19d67426aac30971c332c9ebc6e96)
Přizpůsobit model
ARMA modely, jakmile jsou zvoleny řády p a q , mohou být přizpůsobeny datům metodou nejmenších čtverců : hledáme parametry, které minimalizují součet čtverců zbytků. Měření nejmenších hodnot p a q je obecně považováno za dobrou praxi (princip šetrnosti ). U čistého modelu AR umožňují rovnice Yule-Walker provést úpravy.
Poznámky a odkazy
Bibliografie
-
(fr) Jean-Jacques Droesbeke, Bernard Fichet, Philippe Tassi, Chronologická řada - Teorie a praxe modelů ARIMA , Economica , 1989 ( ISBN 2-7178-1549-X )
-
(en) George EP Box , Gwilym Jenkins a Gregory C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control , třetí vydání. Prentice-Hall, 1994.
-
(en) Terence C. Mills, Time Series Techniques for Economists , Cambridge University Press, 1990.
-
(en) Donald B. Percival a Andrew T. Walden, Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press, 1993.
-
(en) Sudhakar M. Pandit a Shien-Ming Wu, časová řada a systémová analýza s aplikacemi. John Wiley & Sons, 1983.
-
(en) James D. Hamilton, Time Series Analysis , Princeton University Press, 1994
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">