V matematice , a zejména v teorii čísel , je Čebyševovým předsudkem poznámka, že většinu času existuje více prvočísel tvaru 4 k + 3 než tvaru 4 k + 1. Tento jev si poprvé všiml Pafnouti Čebyšev v roce 1853, ale zatím neexistuje žádná přísná demonstrace.
Nechť π ( x ; 4, 1) (respektive π ( x ; 4, 3)) je počet prvočísel tvaru 4 k + 1 (respektive 4 k + 3) menší než x . Z kvantitativní verze věty o aritmetické progresi máme
to znamená, že asymptotická hustota prvočísel tvaru 4 k + 1 v množině všech prvočísel je 1/2. Mohli bychom si myslet, že množina x, pro kterou π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) má také asymptotickou hustotu 1/2, ale ve skutečnosti je to případ π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) je mnohem častější; například v množině prvočísla x <26833 je (velká) nerovnost vždy pravdivá a máme rovnost pouze pro x = 5, 17, 41 a 461 (pokračování A007351 v OEIS ); 26 861 je nejmenší prvočíslo x, pro které π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) - které pozoroval John Leech v roce 1957 - a další je 616 841.
Obecněji řečeno, pokud 0 < a , b < q jsou prvočísla s q , pokud a je čtverec modulo p a pokud b není čtverec modulo p , máme π ( x ; q , b )> π ( x ; q , a ) častěji než opačná nerovnost (jinými slovy, tato x mají asymptotickou hustotu> 1/2); tento výsledek byl prokázán pouze připuštěním zobecněné Riemannovy hypotézy . Knapowski a Turán se domnívali, že hustota x, pro které π ( x ; 4, 3)> π ( x ; 4, 1) byla rovna 1, ale (stále pod zobecněnou Riemannovou hypotézou) je možné ukázat že tato sada má logaritmickou hustotu přibližně rovnou 0,9959.
Výsledek činí pro k = −4 určení nejmenšího p prvočísla takového (kde je Kroneckerův symbol ); pro dané celé číslo k (nenulové) si můžeme položit otázku, jaké je nejmenší p splňující tuto podmínku
Pořadí těchto p pro k = 1, 2, 3, ... je
2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... (pokračování A003658 z OEIS )Pro negativní celá čísla k = -1, -2, -3, ... je sekvence p je
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (pokračování A003657 z OEIS )Ve všech případech, pokud | k | není čtvercová, existuje více p , jak to p tak, že v případě, že zobecněné Riemann hypotéza platí .
(en) J. Kaczorowski, „O distribuci prvočísel (mod 4)“, Analysis , sv. 15, 1995, s. 159-171