Ball (topologie)

V topologii je míč určitým typem sousedství v metrickém prostoru . Název oprávněně vyvolává pevný míč v obvyklém trojrozměrném prostoru, ale představa je zobecněný mimo jiné na prostor větší (nebo menší) rozměr nebo z nedodržení euklidovské normy . V takovém případě nemusí být míč „kulatý“ v obvyklém slova smyslu.

Obecná definice

V obvyklém prostoru jako v každém metrickém prostoru : $(E, d)$

uzavřená koule se středem v bodě a skutečného poloměru je množina bodů, jejichž vzdálenost je menší než nebo se rovná : $P$ $r \,$ ${\ displaystyle B '(P, r)}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ vlevo \ {M \ v E \, \ uprostřed \, d (M, P) \ leq r \ vpravo \}}

;

odpovídající otevřené míč je množina bodů, jejichž vzdálenost je přísně nižší než : ${\ displaystyle B (P, r) \,}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ vlevo \ {M \ v E \, \ střední \, d (M, P) <r \ vpravo \}}

V normalizovaném vektorovém prostoru je otevřenou jednotkovou koulí otevřená koule vycentrovaná na počátek a poloměr 1 (podobně uzavřená jednotková koule je uzavřená koule ). ${\ displaystyle B (0,1)}$ ${\ displaystyle B '(0,1)}$

Míčky euklidovské roviny se také nazývají disky .

Poznámka: definici koulí lze rozšířit na pseudometrické prostory, které zobecňují pojem metrický prostor.

Příklady v dvourozměrném prostoru

Ve dvojrozměrném prostoru mají odpovídající koule o poloměru 1 pro následující tři standardy různé tvary. $\ mathbb {R} ^ {2}$

standard 1 : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |$
Euclidean normou : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}$
„nekonečný“ Standardní : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ right).$

Vlastnosti

Otevřená koule je vždy otevřený jeden z metrických prostorů, ve kterých je definován. Stejně tak uzavřená koule je vždy uzavřená .
Otevřená koule přísně kladného poloměru má neprázdný vnitřek (protože tento interiér je samotná koule).
Všechny koule metrického prostoru jsou ohraničené části .
V normalizovaném vektorovém prostoru jsou všechny otevřené (resp. Uzavřené) koule striktně kladných poloměrů podobné translaci a homothety a každá koule je symetrická vzhledem ke svému středu.
Ve skutečném normalizovaném vektorovém prostoru jsou koule konvexní .
Ve skutečném normalizovaném vektorovém prostoru je vnitřek uzavřené koule otevřená koule se stejným středem a stejným poloměrem a adheze neprázdné otevřené koule je odpovídající uzavřená koule (odtud hranice d 'a non- prázdná koule je odpovídající koule ). V každém metrickém prostoru máme pouze:

{\ overline {B (P, r)}} \ podmnožina {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {and}} \ qquad \ operatorname {Int } (B '(P, r)) \ supset \ operatorname {Int} (B (P, r)) = B (P, r).

Příklady exotických míčků

Ve skutečném trojrozměrném prostoru opatřeném nekonečnou normou mají koule kubický tvar s plochami kolmými na osy.
V diskrétním prostoru (opatřeném diskrétní vzdáleností) je jakákoli část (zejména jakákoli otevřená koule a jakákoli uzavřená koule) otevřeno-uzavřena .
V prostoru opatřené ultrametric vzdálenosti (jako je kruh, Z p o p -adic celých čísel nebo prostoru N N sekvencí celých čísel ), kuličky jsou otevřené zavřené, každé místo kuličky je centrem a pokud dva míčky splňují , jeden je obsažen v druhém.

použití

Část metrického prostoru je ohraničena právě tehdy, je-li obsažena v kouli.
Část metrického prostoru je otevřená právě tehdy, pokud jde o setkání otevřených koulí, které obsahuje.
V oddělitelném metrickém prostoru (například euklidovském prostoru ) je vše otevřené spočetným spojením otevřených koulí .
Kuličky (otevřené nebo uzavřené) se stejným středem a přísně kladnými poloměry tvoří základní systém sousedství tohoto středu. Omezením na řadu libovolně malých poloměrů dokonce získáme počitatelný základní systém čtvrtí.
Riesz kompaktnosti teorém říká, že skutečný vektorový prostor je normalizován konečný rozměrný tehdy a jen tehdy, pokud její uzavřený celek míč je kompaktní .

Související článek

Koule