Oddělitelný prostor

V matematiky , a přesněji v topologii , je oddělitelný prostor je topologický prostor obsahující hustotu tkaní a nejvýše spočetnou podskupiny , to znamená, že obsahuje konečný nebo počitatelný soubor bodů, jejichž adheze je roven l celé topologického prostoru.

Propojte s počitatelnými základními prostory

• Jakýkoli spočetný základní prostor je oddělitelný. Konverzace je nepravdivá, ale:
• Jakýkoli oddělitelný pseudometrizovatelný prostor má spočetnou základnu.
  Mnoho společných prostor je tohoto typu. Hypotéza oddělitelnosti se hojně nachází ve výsledcích funkční analýzy .
• Jakýkoli podprostor oddělitelného pseudometrisovatelného prostoru je stále oddělitelný (předpoklad pseudometrisability je zásadní: viz § „Vlastnosti“ níže).
  To vyplývá z výše uvedeného, ​​s vědomím, že jakýkoli podprostor prostoru s počitatelným základem je stále počitatelným základem. Je však možné poskytnout přímou demonstraci bez použití ekvivalence mezi oddělitelností a existencí spočetného základu pro pseudometrizovatelný prostor.

Demonstrace

• Libovolný spočetný základní prostor je oddělitelný: nechte spočítatelnou základnu otvorů , které lze bez ztráty obecnosti považovat za neprázdné. Podle výběru bod v každé získáme hustou spočetnou roli.
• Každý separovaný pseudometrizable prostor má spočetnou základ: nechť A je hustá spočetná část, pak se pseudoboules B ( , 1 / n ), když prochází A a n prochází ℕ * tvoří spočetná báze otvorů.
• Jakékoli subspace oddělitelným pseudométrisable prostoru je stále oddělitelné, přímý důkaz:
  Nechť ( X , d ) oddělitelný pseudometrický prostor, a nechat subspace X . V A postavíme hustou sekvenci . Vybrat ( x n ) n ∈ℕ * hustá sekvence X . Pro jakékoli celé číslo n > 0 opravte bod a n z A splňující d ( x n , a n ) <d ( x n , A ) + 1 / n . Nechť a je bodem A a nechť ε> 0. Hustotou ( x n ) n ∈ℕ * existuje celé číslo n > 3 / ε takové, že d ( a , x n ) <ε / 3. Pak máme (konstrukcí posloupnosti ( a n )) d ( x n , a n ) <ε / 3 + 1 / n <2ε / 3 proto (trojúhelníkovou nerovností) d ( a , a n ) <ε. Sekvence ( a n ) je proto v A hustá .
  
  

Příklady

• Soubor ℝ reálných čísel , který je vybaven obvyklou topologií, je oddělitelný, protože ℚ (spočetný) je zde hustý.
• Pro 1 ≤ p <∞ je prostor L p (ℝ) funkcí, jejichž výkon p je integrovatelný, oddělitelný. Na druhou stranu prostor L ∞ (ℝ) v zásadě ohraničených funkcí není. Pro prostory sekvencí ℓ p a ℓ ∞ máme stejnou dichotomii .
• Linka Sorgenfrey oddělitelné, ale není spočetná základ proto není pseudometrizable (Je však počitatelná základy čtvrtí ).

Vlastnosti

• Topologický vektorový prostor na ℝ nebo ℂ je oddělitelná v případě, a pouze v případě, že obsahuje počitatelný rodinu vektorů nevytvářejí husté podprostoru .
• Jakýkoli prekompaktní nebo Lindelöfův pseudometrický prostor (zejména jakýkoli kompaktní metrický prostor ) je oddělitelný. Ve skutečnosti v obou případech můžeme pro jakékoli celé číslo n > 0 pokrýt prostor otevřenými koulemi o poloměru 1 / n a středu, který patří k množině C n, a to nanejvýš spočetně. Spojení C n pak tvoří hustou spočetnou část.
• Normalizovaný vektorový prostor je oddělitelný, jestliže a pouze tehdy, když je jednotka koule jeho Dual * -weakly metrizable .
• Pro jakýkoli kompaktní prostor X je algebra C ( X ) spojitých funkcí od X do ℝ obdařená normou jednotné konvergence oddělitelná (nebo, která se rovná stejné: se spočetnou základnou ) právě tehdy, když X je měřitelná . ( Například: ℓ ∞ = C (βℕ) nelze oddělit.) Dedukujeme, že jakýkoli spojitý obraz oddělený Y od kompaktního metrického prostoru X je metrizovatelný, protože C ( Y ) ⊂ C ( X ).
• Libovolný oddělitelný metrický prostor je izometrický vůči podprostoru C ([0, 1]).
• Jakýkoli produkt z oddělitelných prostorů indexovaných souborem, který má nejvýše na sílu kontinua ℭ oddělitelné (to je zejména případ κ = ℵ₀ z Hewitt - Marczewski -Pondiczery teorém). Zásadním krokem k prokázání je ověření, že ℕ ℝ je oddělitelné. Zejména je ℝ ℝ oddělitelné.
• Pokud κ> ℭ, produkt prostorů oddělených κ, z nichž každý obsahuje alespoň dva body, nelze nikdy oddělit.
• V oddělitelném prostoru je každý otevřený oddělitelný, ale ne každá část obecně: v Sorgenfreyově rovině je antidiagonál neoddělitelně uzavřen ; podobně oddělitelná Mooreova rovina obsahuje neoddělitelnou uzavřenou linii. Horší: jakýkoli topologický prostor je podprostor oddělitelného se stejnou mohutností .
• Oddělitelnost je zjevně zachována spojitými obrazy (na rozdíl od vlastnosti spočívající na spočetném základě, která není ani stabilní kvocienty ).
• Jakýkoli oddělitelný prostor má „stav  spočítatelného řetězce  “, tj. Každá rodina neprázdných otvorů nesouvislých dva po druhém je nanejvýš spočetná.
• Metrický prostor je oddělitelný, pokud (a pouze v případě, že podle předchozího bodu) je libovolná rodina dvou dvou disjunktních koulí se stejným přísně kladným poloměrem maximálně spočítatelná.

Mohutnost

Samostatný prostor s počitatelnými základnami čtvrtí (například: měřitelný prostor) a oddělitelný má nanejvýš sílu kontinua ℭ: viz „  Kardinální funkce v topologii  “. Obecněji řečeno, kardinál odděleného prostoru, který je sekvenčně oddělitelný , tj. Postupné uzavření části nanejvýš spočetné - zejména kardinál odděleného prostoru Fréchet-Urysohn oddělitelný - je nanejvýš ℭ. Dokonce snadno ukážeme, že jakýkoli oddělený prostor, který je postupným uzavřením části kardinála nanejvýš ℭ, je stále nanejvýš kardinálem ℭ.

Samostatný a oddělitelný prostor má mohutnost menší nebo rovnou 2 ℭ . Zjistili jsme tedy (jako zvláštní případ κ> ℭ, jak je vidět výše ), že pokud 2 κ > 2 ℭ (a tím spíše, pokud κ ≥ 2 ℭ ), produkt κ oddělených prostorů, z nichž každý obsahuje alespoň dva body, nikdy nelze oddělit. Vázané 2 ℭ je dosaženo například oddělitelným kompaktem {0, 1} ℭ , který tedy není s počitatelnými základy sousedství (ve skutečnosti není ani sekvenční , protože je spočitatelně kompaktní, ale není sekvenčně kompaktní ).

Poznámky a odkazy

1. (in) Horst Herrlich , Axiom of Choice , Springer ,2006( číst online ) , s.  20.
2. Viz Banachova-Mazurova věta .
3. Pokud κ je nekonečný kardinál , jakýkoli produkt s maximálně 2 κ prostory hustot zvýšených o κ má stále hustotu zvýšenou o κ. Viz například François Guénard a Gilbert Lelièvre, Complements d'études: Topologie, první část , sv.  1, ENS Fontenay ed.,1985( číst online ) , s.  40za demonstraci a (in) „  Hewitt-Marczewski-Pondiczeryova věta  “ , na PlanetMath za odkazy na tři původní články.
4. K tomu si můžeme například všimnout, že konečné lineární kombinace indikátorů disjunktních otevřených intervalů dva s dvěma a racionálních konců s celočíselnými koeficienty tvoří hustou spočetnou část nebo znovu - srov. (en) WW Comfort, „  Krátký důkaz Marczewského věty o oddělitelnosti  “ , Amer. Matematika. Měsíčně , sv.  76,1969, str.  1041-1042 ( JSTOR  2317135 )- použijte oddělitelnost C ([0,1]) , což má za následek ℝ [0,1] = ℝ ℝ .
5. (in) „  Produkt oddělitelných prostorů  “ na topologii blogu Dan Ma .
6. Konstrukce, která přidává nanejvýš spočetnou nekonečnost bodů, je uvedena v (en) Wacław Sierpiński , obecná topologie , University of Toronto Press,1952, str.  49.
7. Například viz (in) „  Topologické prostory s Omega Caliber 1  “ na blogu topologie Dan Ma nebo cvičená lekce „Obecná topologie“ na Wikiversity .
8. (in) Kenneth Kunen a Jerry E. Vaughan, Handbook of Set-Theoretic Topology , Elsevier,2014( číst online ) , s.  3.
9. (in) Albert Wilansky, „  Jak je oddělitelný prostor?  » , Amer. Matematika. Měsíčně , sv.  79, n o  7,1972, str.  764-765 ( JSTOR  2316270 ).
10. (in) Franklin D. Tall, „  Jak je oddělitelný prostor? To záleží na vaší teorii množin!  » , Proc. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  46,1974, str.  310-314 ( JSTOR  2039917 ).
11. (in) Angelo Bella Maddalena Bonanzinga a Michail Matveev, „  Sequential + separable vs. separable Sequentially Reviews a další změnou je selektivní oddělitelnost  “ , Cent. Eur. J. Math. , sv.  11, n o  3,2013, str.  530-538 ( DOI  10.2478 / s11533-012-0140-5 ).
12. Guénard a Lelièvre 1985 , s.  41.

Podívejte se také

Související články

• Polský prostor
• Universal Urysohn Space  (in)

Externí odkaz

(en) „  Proč název„ oddělitelný “prostor?  » , Na MathOverflow