V matematice , konkrétně v obecné topologii je Baire prostor je název - podle René Baire - aby nastavit všechny apartmány z celých čísel s určitou topologii . Tento prostor se často používá v popisné teorii množin až do té míry, že se jeho prvky často nazývají „skutečné“. Často se označuje B , N N , ω ω nebo ω ω.
Říkáme Baire prostor , označený N N je kartézský součin ze spočetné množiny kopií nastavené N všech přirozených čísel , obdařen topologií produktu , kde každá kopie N je obdařen jednotlivou topologií .
Podle definice topologie produktu to znamená, že otevřená základna N N je tvořena sadami posloupností, z nichž je fixní konečný počet členů, přičemž ostatní berou všechny možné hodnoty; přísněji, takový otevřený má formu:
,kde a jsou dvě sekvence čísel pevné délky n , a otevřený N N jsou setkání jako U .
Můžeme také definovat topologii prostoru Baire pomocí následující ultrametrické vzdálenosti : pokud u a v jsou dvě odlišné sekvence a n nejmenší celé číslo takové , že představujeme (a představujeme ). Tato vzdálenost indukuje předchozí topologii a dělá z Baireho prostoru úplný prostor .
Sada N N má kardinál skutečné linie .
Bairův prostor má následující vlastnosti:
Bairův prostor je homeomorfní k množině iracionálních čísel poskytovaných obvyklou topologií (indukovanou skutečnými čísly); explicitní homeomorfismus množiny iracionálů ] 0, 1 [ v ( N *) N * je dán posloupností celých čísel objevujících se v expanzi iracionálu v pokračujícím zlomku [0; a 1 , a 2 ,…].
Z hlediska popisné teorie množin vede skutečnost, že je reálná linie spojena, k technickým obtížím, a proto často dáváme přednost práci v Baireově prostoru. Jelikož jakýkoli polský prostor je spojitým obrazem baireského prostoru, je často možné prokázat obecné výsledky nad polskými prostory tak, že je prokážete pro baireovský prostor a že se tyto výsledky zachovají kontinuitou.
N N má také malý význam pro skutečnou analýzu , protože se jedná o úplný prostor pro vzdálenost definovanou výše, která iracionální není pro obvyklé metriky, a to navzdory skutečnosti, že tyto dva prostory jsou homeomorfní jako „topologické prostory.