Dirichletova postava

V matematice , a přesněji v modulární aritmetice , je Dirichlet znak je zvláštní funkce na sadě zbytkových tříd na celá čísla a s komplexními hodnotami .

Používal jej Dirichlet jako důkaz své věty o aritmetické progresi .

Definice

V tomto článku, n znamená přísně kladné číslo a logiky U na skupinu jednotek (ℤ / n ℤ) × na kroužku ℤ / n ℤ . V poli ℂ komplexních čísel je konjugát čísla c označen c .

Existují dvě definice Dirichletovy postavy:

Dirichlet znak modulo n je charakter konečné skupiny (ℤ / n ℤ) x , tj morfismus skupin z (ℤ / n ℤ) x v multiplikativní ℂ skupina * nenulových komplexů.

Ve druhé definici je Dirichletův znak konkrétním typem aritmetické funkce , tj. Použití množiny ℕ * přísně kladných celých čísel v ℂ:

Dirichletův znakový modul n je aritmetická funkce, která je:
- zcela multiplikativní ;
- n - periodické ;
- nula na non- prime celá čísla s n .

Znaky χ první definice jsou v bijekci se znaky χ 'druhé: pokud třída v ℤ / n ℤ celého čísla d patří k U, pak χ' ( d ) je obraz χ této třídy a jinak , χ '( d ) = 0.

Pokud d je dělitel z n , jakýkoli Dirichlet znak modulo d může být viděn jako znak modulo Dirichletovu n , o složení s výstupkem (ℤ / n ℤ) x → (ℤ / d ℤ) x .

Řekneme, že Dirichlet znak modulo n je primitivní , pokud nepochází z charakteru Dirichlet modulo přísné dělitel o n ; v tomto případě se n nazývá vodičem postavy. To platí zejména v případě, že jeho jádro je triviální , ale opak je nepravdivý: existuje například primitivní znak pro n = 12 netriviálního jádra.
Znak Dirichlet rovný 1 na prvočíslech s n a 0 jinde se nazývá hlavní znak (nebo znak vodiče 1) modulo n .
Hlavní dirichletovský charakter modulo 1 (rovný 1 na všechna celá čísla) je považován za triviální .

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Sada Û modulo n znaků tvoří konečnou abelianskou skupinu isomorfní s U. Zejména:

Nenulové hodnoty znaku jsou kořeny φ ( n ) -tá jednotka . Opravdu, pořadí z U je φ ( n ), kde φ označuje Euler indikatrix .
Součin dvou znaků je jeden znak.
Konjugát znaku je jeho reverzní znaků pro násobení. Jinými slovy (pro jakýkoli znak a jakýkoli prvek U ): obraz inverzní je konjugát obrazu.
Dirichletovy znaky tvoří ortonormální báze ve ℂ - vektorovém prostoru ℂ U funkcí z U v ℂ, pro Hermitovské produkt <,> je definován: ${\ displaystyle \ forall f, g \ in \ mathbb {C} ^ {U} \ quad \ langle f, g \ rangle = {\ frac {1} {\ varphi (n)}} \ součet _ {x \ in U} {\ overline {f (x)}} g (x).}$

Harmonická analýza

Fourierova transformace z funkce $f$ o ℂ U je funkce U, v ℂ definovaný: ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$

{\ displaystyle \ forall \ chi \ in {\ widehat {U}} \ quad {\ widehat {f}} (\ chi) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ součet _ {x \ in U} f (x) {\ overline {\ chi (x)}}.}

Teorém Plancherel vyjadřuje následující rovnost:

{\ displaystyle \ forall f \ in \ mathbb {C} ^ {U} \ quad f = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {U}}} {\ widehat {f}} (\ chi) \ chi.}

Legendární symbol

Skutečné znaky jsou morfismy z U v {–1, 1} (jediné skutečné kořeny jednotky). Hlavní postavou je triviální morfismus. Jiné než hlavní znaky se skutečnými hodnotami jsou prvky řádu 2 skupiny Û , izomorfní vůči U. Existují, jakmile je pořadí skupiny sudé, tedy jakmile n > 2 podle následujícího výroku .

Pokud je n přísně větší než 2, pak je U sudého řádu.
Ve skutečnosti, pokud n je dělitelné prvočíslem p > 2, pak φ ( n ) je dělitelné sudým číslem p - 1, a jinak se n rovná 2 r, kde r je celé číslo přísně větší než 1 a φ ( n ) se rovná 2 r - 1 .

Následující návrh zobecňuje konstrukci symbolu Legendre , který odpovídá konkrétnímu případu, kde n je prvočíslo a liché.

Pokud n je síla lichého prvočísla, pak existuje jeden reálný ne-hlavní znak.
V tomto případě je U (tedy také Û ) nejen sudého řádu, ale také cyklické (srov. § „Případ, kdy n není prvočíslem“ článku „Ring ℤ / n ℤ“ ), má tedy jediný prvek řádu 2.

Věta o aritmetické progresi

Řada Dirichlet L.

Série Dirichlet L jsou přímé zobecnění funkce Riemann zeta a v generalizované Riemannově hypotéze se jeví jako preeminentní .

Řada Dirichlet L znaku , označený je definován, pro jakýkoli komplexní číslo z reálné části > 1, také absolutně konvergentní série: ${\ displaystyle \ chi \ in {\ widehat {U}}}$ ${\ displaystyle L (s, \ chi)}$ $s$

{\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {jako}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad L (s, \ chi): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}}}

. Příklad Pokud je hlavní znak modulo 3 zobrazen výše, pak .

\ chi

{\ displaystyle L (s, \ chi) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {0} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} { 4 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {0} {6 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s} }} + \ tečky}

Podle analytické rozšíření funkce L může být rozšířena do meromorfní funkce v komplexní rovině .

Euleriánský produkt

Funkce χ je zcela multiplikativní , výpočet podobný výpočtu, který provedl Euler pro funkci zeta, umožňuje transformovat řadu L na nekonečný produkt indexovaný množinou prvočísel. Takový výrobek nese název „Eulerian product“. ${\ mathcal {P}}$

{\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {jako}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad L (s, \ chi) = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s} \ chi (p)}}}

Stejně jako Eulerova, tento nekonečný výrobek je absolutně konvergentní, takže následující řady je konvergentní a poskytuje - jak pro funkci £, což odpovídá × = 1 - a větve jeho komplexní logaritmu , c 't j funkce holomorphic na polovinu -letadlo Re (y)> 1, uvedeno , že : ${\ displaystyle \ log L}$ ${\ displaystyle \ exp (\ log L (s, \ chi)) = L (s, \ chi)}$

{\ displaystyle \ log L (s, \ chi) = \ součet _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ součet _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ left (p ^ {- s} \ chi (p) \ right) ^ {k}} {k}} = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ chi (p ^ {k})} {kp ^ {ks}}}}

aplikace

Počáteční Cílem Dirichlet postav je spočítat prvočísla ve třídě m o U , což znamená prokázání teorém aritmetické progrese .

Definujeme funkci ω z S × U v ℂ, kde S označuje komplexní polorovinu čísel, jejíž skutečná část je striktně větší než 1:

{\ displaystyle \ forall u \ in U \ quad \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {jako}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad \ omega (s, u) = {\ frac {1} {\ varphi (n)}} \ sum _ {\ chi \ v {\ widehat {U}}} {\ overline {\ chi (u) }} \; \ log L (s, \ chi)}

Plancherelův teorém ( viz výše ) umožňuje vyjádření v jiné formě, díky níž hodnota v ( s , m ) poskytuje dostatek informací k závěru:

{\ displaystyle \ forall u \ in U \ quad \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {jako}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad \ omega (s, u) = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ quad \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {a} } p ^ {k} \ in u} {\ frac {1} {kp ^ {ks}}}.}

Demonstrace

Opravte , označte (absolutně konvergentní) řadu vpravo a vypočítejte Fourierovu transformaci . $s$ $h (u)$ $h$

{\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi (n)}} \, {\ widehat {h}} (\ chi) = \ součet _ {u \ v U} h (u) {\ overline {\ chi (u) }} = \ sum _ {u \ in U} \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {and}} p ^ {k} \ in u} {\ frac {\ overline {\ chi (u)}} {kp ^ {ks}}} = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ overline {\ chi (p ^ {k})}} {kp ^ {ks}}} = \ log L (s, {\ overline {\ chi}})}

Podle Plancherelova vzorce se tedy rovná Fourierově transformaci (definované výše, ale převrácením U a Û ) funkce , to znamená . $h$ ${\ displaystyle \ chi \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ log L (s, \ chi)}$ ${\ displaystyle u \ mapsto \ omega (s, u)}$

Dějiny

Postavy Dirichleta a jejich série L byly představeny Dirichletem v roce 1831 , aby dokázal svou teorém o nekonečnosti prvočísel v aritmetických postupech. Rozšíření na holomorfní funkce dosáhl Bernhard Riemann .

Poznámky a odkazy

G. Lejeune Dirichlet , „ Výzkum různých aplikací infinitezimální analýzy v teorii čísel “, J. Reine angew. Matematika. , sv. 19 a 21, 1839 a 1840
Pierre Colmez , Elementy analýzy a algebry (a teorie čísel) , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 s. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , číst online ).
Nicole Berline a Claude Sabbah , funkce zeta , Éditions École Polytechnique,2003, 193 s. ( ISBN 978-2-7302-1011-9 , číst online ).
Colmez 2009 , s. 290.
Berline a Sabbah 2003 , str. 53.