Charakter konečné skupiny

V matematice je charakter konečné skupiny pojem spojený s teorií grup .

Charakter z konečné skupiny G je morfismus skupin z G na multiplikativní skupiny ℂ * z nenulových komplexních čísel .

Tato koncepce stanovuje dvojí skupinu o G skládající se ze všech postav G . Je základem harmonické analýzy na konečných abelianských skupinách .

Tento pojem odpovídá konkrétnímu případu charakteru reprezentace konečné skupiny .

Definice a první vlastnosti

Definice

V celém článku, G označuje konečnou skupinu objednávky g , ℂ pole komplexních čísel, ℂ * multiplikativní skupina nenulových komplexních čísel a U g podskupiny z g g tého kořeny jednoty . Skupina G je označen násobení a inverzní prvku to z G je označen s -1 . Konjugát z komplexního čísla Z je označován Z .

Postava z G je morfismus skupin od G do ℂ *.

Znak tedy odpovídá konkrétnímu případu reprezentace konečné skupiny : je to charakter komplexního vyjádření stupně 1 této skupiny.

Sada znaků G se nazývá dvojitá skupina G a obecně se označuje đ.

Jeho skupinová struktura bude objasněna v následujícím odstavci.

Vlastnosti

Jakýkoli znak G přebírá své hodnoty z podskupiny U g gth kořenů jednoty.

Ve skutečnosti, A „Lagrangeova věta“ znamená, že pokud to je prvek G , pak to g = 1; lze odvodit, že obrázky s znakem jsou kořenovou g -tou jednotkou.

Kontroly znaků χ:

{\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ chi (s ^ {- 1}) = {\ overline {\ chi (s)}}.}

To vyplývá z předchozí vlastnosti nebo z vlastností libovolného znaku v kompaktní skupině .

Násobení propůjčuje dvojímu G konečnou abelianskou skupinovou strukturu .

Ve skutečnosti je duál G konkrétním případem množiny morfismů G v abelianské skupině H (zde H = U g ). Taková sada je však vždy abelianská skupina jako podskupina abelianské produktové skupiny H G (vytvořená z map G v H a opatřená násobením hodnotami v H ). Kromě toho, v případě, G a H jsou konečné poté H G příliš.

Příklady

Zvažte případ, kdy G je symetrická skupina indexu n . Podpisová aplikace je znak s hodnotami v U 2 = {–1, 1}.
Duál cyklické skupiny řádu g je izomorfní se skupinou U g (také cyklická řádu g ). Ve skutečnosti, pokud x je generátor G je kanonický vyhodnocení morfizmus na x , z G na U g , který na libovolný znak × přidružených komplexu × ( x ), je bijective (to bijectivity je prokázáno stejně jako v l studium endomorphisms cyklické skupiny ).

Komutativní případ

Dvojí

Duál konečné abeliánské skupiny G je izomorfní s G.

Tento výsledek je odvozen z cyklického případu pomocí Kroneckerovy věty , podle které je konečná abelianská skupina konečným produktem cyklických skupin, az univerzální vlastnosti takového produktu :

Nechť ( G i ) je rodina skupin a H abelianská skupina. Skupina morfismů od ∑ G i do H je kanonicky izomorfní s produktem skupin Hom ( G i , H ).

Bidual

Analogicky jako v konečné rozměrné vektorové prostory , izomorfismus mezi určitým abelian skupiny G a jeho dvojí není kanonický, ale tam je kanonický izomorfismus mezi G a jeho bidual (to znamená, že dvojí jeho dvojí).

Kanonický injektivní morfismus G v jeho bidualu, definovaný následující rovností, je izomorfismus, pokud G je konečná abelianská skupina $\ varphi$ ${\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ forall \ chi \ in {\ widehat {G}} \ quad \ varphi (s) (\ chi) = \ chi (s).}$

Ve skutečnosti má G a jeho bidual stejné pořadí.

Harmonická analýza na konečné abelianské skupině

V rámci konečné abelianské skupiny je možné definovat Fourierovu transformaci a konvoluční produkt . Teorie harmonické analýzy na konečné abelian skupiny je analogické , že z oblasti reálných čísel . Dokazujeme Parsevalovu rovnost , Plancherelovu větu , Pontryaginovu dualitu a Poissonův součtový vzorec .

Skupinová algebra

Hermitovský prostor ℂ G

Dvojí G je součástí vektorového prostoru ℂ G map od G do ℂ. Tento prostor je vybaven hermitovským produktem <| > definováno následujícím vzorcem:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {C} ^ {G} \ quad \ langle x | y \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ suma _ {s \ v G} {\ přetáhnout {x (s)}} y (s).}

Dvojí skupina G je ortonormální rodina .
Je-li G Abelova, dvojí skupina G je základna z ℂ G .

Tyto dva výroky odpovídají konkrétním případům teorie reprezentací konečné skupiny nebo obecněji kompaktní skupiny ; v tomto případě jsou zobrazeny jednoduše:

Demonstrace

Dvojí skupina G je ortonormální rodina.

{\ displaystyle \ chi (t) <1 | \ chi> = \ chi (t) {\ frac {1} {g}} \ součet _ {s \ v G} \ chi (s) = {\ frac {1 } {g}} \ sum _ {s \ in G} \ chi (ts) = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {u \ in G} \ chi (u) = <1 | \ chi >.}

Volbou t takového, že χ ( t ) ≠ 1, odvodíme, že <1 | χ> je nula.

Pokud G je Ábela, dvojí skupina G je základní ℂ G .

Dvojitá skupina je ortonormální rodina, a proto zdarma . V případě, že skupina G je abelian, pořadí jeho dvojí skupiny se rovná G tím k rozměru vektorového prostoru ℂ G .

(Pokud G není abelian, duál G , který je kanonicky identifikován s duálem abelianizovaného G ab , je pouze základem podprostoru - izomorfního k ℂ G ab - skládajícího se z map G v ℂ, které jsou zohledněny podle G ab .)

Algebra ℂ [ G ]

V komplexu algebry ℂ [ G ] konečné skupiny , skládající se z ℂ prostor G opatřené konvoluce je centrum sestává z ústředních funkcí , takže obsahuje dvojí G .
Lze si také povšimnout, že vektorový prostor ℂ G přirozeně se identifikuje s jeho dvojí: všechna použití G v ℂ je unikátně rozprostírá v lineární podobě na ℂ G . V této identifikaci znaky G odpovídají znakům involutivní algebry ℂ [ G ], tj. Nenulovým morfismům ℂ [ G ] do ℂ.

Reference

Funguje

Michel Demazure , Kurz algebry: primitivita, dělitelnost, kódy [ detail vydání ]
Jean-Pierre Serre , aritmetický kurz ,1970[ detail vydání ]
André Warusfel , Konečné algebraické struktury , Hachette, 1971
Gabriel Peyré, Diskrétní algebra Fourierovy transformace , Elipsy , 2004

Externí odkaz

Diskrétní matematika Fourierovy transformace , C. Bachoc, University of Bordeaux I