Algebraické uzavření

V matematiky , An algebraické uzávěr z komutativního pole K je algebraické rozšíření L z K , která je algebraicky uzavřen , tj. Tak, že jakýkoli polynom ze studia větší než nebo rovno jedné, s koeficienty v L , připouští na alespoň kořeny v L .

Algebraické uzávěru z tělesa K, lze považovat za maximální algebraické rozšíření K . Ve skutečnosti stačí uvést, že pokud L je algebraické rozšíření K , pak algebraické uzavření L je algebraické uzavření K , tak L je obsažen v algebraické uzavření K .

Algebraické uzavření K je také minimální algebraicky uzavřené těleso (pro zařazení) obsahující K , protože jestliže M je pole obsahující algebraicky uzavřený K poté, mezi prvky M , ty, které jsou algebraické přes K vytvoření algebraické uzavření K .

Algebraické uzavření pole K má stejnou mohutnost jako K, pokud je K nekonečné; je to spočítatelné, pokud je K konečný.

Kromě případu, kdy je K oddělitelně uzavřeno (tedy algebraicky uzavřeno v nulové charakteristice ), neexistuje mezi dvěma algebraickými uzávěry K žádná jedinečnost izomorfismů. Je proto lepší, aby se zabránilo výraz „algebraické uzavření“ a upřednostňovat neurčitého člena „A“ (další způsob, jak vidět, je, že neexistuje žádný functor z kategorie oblastí v sebe sama, který pošle všechna pole K v algebraické uzavření z K ).

Existence algebraického uzávěru pro jakékoli pole vyžaduje axiom výběru .

Příklady

Podle základní věty o algebře je pole komplexních čísel algebraickým uzavřením pole reálných čísel .
Pole algebraických čísel je algebraické uzavření pole racionálních čísel .
Algebraické uzavření konečného pole primárního řádu p je spočetné pole. Pro jakékoli nenulové přirozené číslo n obsahuje jedno a pouze jedno podpole F p n řádu p n a rovná se sjednocení všech těchto podpolí (nebo chytřeji: jejich indukční mez , s F p d ⊂ F p n v případě, d je dělitel z n ).
V poli komplexních čísel jsou spočítatelná algebraicky uzavřená pole, která obsahují (přísně) pole algebraických čísel; jsou to algebraické uzávěry transcendentních rozšíření racionálního pole, jako u rozšíření ℚ (π).

Steinitzova věta

Každé pole K má algebraické uzavření.
Dvě algebraické uzávěry K jsou vždy spojeny izomorfismem polí, přičemž prvky K zůstávají invariantní .

Důkaz lze provést pomocí Zornova lematu .

Demonstrace

Existence Nechť K je tělo. Vybereme množinu Ω, která je nepočítatelná nekonečná, pokud je K konečná, a která je přísně větší než množina K, pokud je nekonečná. Uvažujme množinu trojic ( L , +, x) s L podmnožina Q obsahující K , a + x make L algebraické rozšíření K .

Definujeme vztah objednávky ( L , +, x) ( F , +, X), kde L je obsažena v F a v případě, že stavba těla na L je vyvolána tím, že z F . To jasně činí sadu tripletů nad indukční uspořádanou sadou. Z toho plyne, ze princip maximality má maximální prvek F . Zbývá ukázat, že F je algebraické uzavření K . $\ leq$

Nechť E algebraické rozšíření F . Nejprve si všimneme, že protože F je algebraické nad K , je to stejný kardinál jako K nebo (je-li K konečné) je nanejvýš počítatelné. To je stejné pro E . Takže komplement F v E je kardinální menší než u Ω \ F (který má stejný kardinál jako Ω). Existuje tedy jedna mapování E v omega, že je identita v F . Jsme vybavit obraz karoserie indukované E , a tam se potom získá algebraickou prodloužení F . Podle maximality z F , tento obraz je rovna F . Takže E se rovná F a druhý je algebraicky uzavřený.

Jedinečnost do izomorfismu: Nechť dvě algebraické uzávěrů K . Uvažujeme páry, kde L je sub- K-rozšíření a kde je K-pole homomorfismus. Sada těchto párů je neprázdná a je uspořádána (přirozeně) induktivně. Dovolit být maximálním prvkem. Pokud je prvek , s ohledem na její minimální polynom nad L . Potom polynom připouští kořen b v . Existuje K- homorfismus, který je platný pro L a který posílá a do b . Podle maximality z máme , proto . Protože je algebraicky uzavřeno, máme . Stejně tak K- izomorfismus dne . $F_ {1}, F_ {2}$ $(L, \ rho)$ $F_1$ $\ rho: L \ to F_ {2}$ $(L, \ rho)$ $F_1$ $P (x) \ v L [x]$ $\ rho (P (x)) \ in \ rho (L) [x]$ $F_2$ $L [a] \ na F_ {2}$ $\ rho$ $(L, \ rho)$ $L [a] = L$ $L = F_ {1}$ $\ rho (F_ {1}) \ subseteq F_ {2}$ $\ rho (F_ {1}) = F_ {2}$ $\ rho$ $F_1$ $F_2$

Můžeme také použít Artinovu metodu založenou na Krullově teorému o existenci maximálních ideálů, nebo poskytnout konstruktivní důkaz transfinitní indukcí , poskytnutím množiny polynomů s koeficienty v K s dobrým řádem a využitím skutečnosti, že pro jakýkoli neredukovatelný polynom P s koeficienty v těle M , M (X) / (P) je prasknutí pole P .

Artin-Schreierova věta

Algebraické uzavření ℝ je konečné rozšíření ℝ. Můžeme si obecněji položit otázku, co jsou těla, která mají tuto vlastnost.

Věta ( Artin - Schreier ) - Pokud K je pole konečného indexu striktně větší než 1 v jeho algebraickém uzavření, pak K je uzavřené reálné pole . Zejména je K [ $\sqrt -1$ ] algebraicky uzavřený.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Algebraické uzavření “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Serge Lang , Algebra , 2002 [ detailní vydání ] , kap. VI, roh. 9.3