Ramanujan Congruences
V matematice jsou ramanujanské kongruence pozoruhodnými kongruencemi o dělící funkci p ( n ). Matematik Srinivasa Ramanujan objevili shodu:
p(5k+4)≡0(mod5)p(7k+5)≡0(mod7)p(11k+6)≡0(mod11).{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} p (5k + 4) & \ equiv 0 {\ pmod {5}} \\ p (7k + 5) & \ equiv 0 {\ pmod {7}} \\ p (11k +6) & \ equiv 0 {\ pmod {11}}. \ End {zarovnáno}}}![{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} p (5k + 4) & \ equiv 0 {\ pmod {5}} \\ p (7k + 5) & \ equiv 0 {\ pmod {7}} \\ p (11k +6) & \ equiv 0 {\ pmod {11}}. \ End {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d0030b7ab2962a11292bb63f02dfa4b1be70b9)
Znamená to, že
- Pokud je číslo shodné se 4 modulo 5, znamená to, že je zahrnuto v následujícím
4, 9, 14, 19, 24, 29 ,. . .
pak počet jeho oddílů je násobkem 5.
- Pokud je číslo shodné s 5 modulo 7, znamená to, že je zahrnuto v následujícím
5, 12, 19, 26, 33, 40 ,. . .
pak je počet jeho oddílů násobkem 7.
- Pokud je číslo shodné s 6 modulo 11, znamená to, že je zahrnuto v následujícím
6, 17, 28, 39, 50, 61 ,. . .
pak je počet jeho oddílů násobkem 11.
Kontext
Ve svém příspěvku z roku 1919 poskytuje důkaz o prvních dvou shodách s použitím následujících identit (pomocí notace Pochhammerova Q-symbolu ):
∑k=0∞p(5k+4)qk=5(q5)∞5(q)∞6∑k=0∞p(7k+5)qk=7(q7)∞3(q)∞4+49q(q7)∞7(q)∞8.{\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (5k + 4) q ^ {k} = 5 {\ frac {(q ^ {5}) _ {\ infty} ^ {5}} {(q) _ {\ infty} ^ {6}}} \\ & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (7k + 5) q ^ {k} = 7 {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {3}} {(q) _ {\ infty} ^ {4}}} + 49q {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {7}} {(q) _ {\ infty} ^ {8}}}. \ end {zarovnáno}}}![{\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (5k + 4) q ^ {k} = 5 {\ frac {(q ^ {5}) _ {\ infty} ^ {5}} {(q) _ {\ infty} ^ {6}}} \\ & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (7k + 5) q ^ {k} = 7 {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {3}} {(q) _ {\ infty} ^ {4}}} + 49q {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {7}} {(q) _ {\ infty} ^ {8}}}. \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2003fba3bbe3ab608085d2a1a5bc9d9455ac811)
Poté říká, že „se zdá, že pro prvočísla neexistují žádné vlastnosti stejné jednoduchosti než tyto“.
Po Ramanujan smrti v roce 1920, GH Hardy extrahuje důkazy pro tři shodností z nepublikovaného rukopisu Ramanujan na p ( n ) (Ramanujan, 1921). Důkaz používá řadu Eisenstein .
V roce 1944 Freeman Dyson definoval hodnostní funkci a předpokládal existenci klikové funkce pro oddíly, které by poskytly kombinatorický důkaz kongruencí Ramanujan modulo 11. O čtyřicet let později našli George Andrews a Frank Garvan takovou funkci. A současně dokázali tři shody Ramanujan modulo 5, 7 a 11.
V 60. letech objevila AOL Atkin na University of Illinois v Chicagu další kongruence pro malá prvočísla . Například:
p(113⋅13k+237)≡0(mod13).{\ displaystyle p (11 ^ {3} \ cdot 13k + 237) \ equiv 0 {\ pmod {13}}.}![{\ displaystyle p (11 ^ {3} \ cdot 13k + 237) \ equiv 0 {\ pmod {13}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22dd22f863f7691e40b83314171fd6b2f5eed08)
rozšířením výsledků A. Atkina Ken Ono v roce 2000 dokázal, že existují takové konstanty Ramanujan pro každé hlavní celé číslo s 6. Například jeho výsledky dávají
p(1074⋅31k+30064597)≡0(mod31){\ displaystyle p (107 ^ {4} \ cdot 31k + 30064597) \ equiv 0 {\ pmod {31}}}![{\ displaystyle p (107 ^ {4} \ cdot 31k + 30064597) \ equiv 0 {\ pmod {31}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f020eec48106ef527fc9b91057e89802bb348415)
; v roce 2005 jeho žák Karl Mahlburg tyto výsledky dále vylepšil vysvětlením kliku.
Koncepční vysvětlení pro pozorování Ramanujan bylo nakonec objeveno v lednu 2011 zvážením Hausdorffovy dimenze následující funkce v l-adické topologii :
P{\ displaystyle P}![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
Pℓ(b;z): =∑ne=0∞p(ℓbne+124)qne/24.{\ displaystyle P _ {\ ell} (b; z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p \ left ({\ frac {\ ell ^ {b} n + 1} {24} } \ vpravo) q ^ {n / 24}.}![{\ displaystyle P _ {\ ell} (b; z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p \ left ({\ frac {\ ell ^ {b} n + 1} {24} } \ vpravo) q ^ {n / 24}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc31d99b7ff70ee2a8db968d077535b03b91257)
Vidíme, že má dimenzi 0 pouze v případech, kde ℓ = 5, 7 nebo 11, a protože funkci rozdělení lze zapsat jako lineární kombinaci těchto funkcí, lze ji považovat za formalizaci a důkaz l pozorování Ramanujanu.
V roce 2001 poskytl RL Weaver efektivní algoritmus pro nalezení kongruencí funkce oddílu a celkem 76 065 kongruencí. Toto bylo v roce 2012 rozšířeno F. Johanssonem na 22 474 608 014 shody, příkladem je
p(9999594⋅29k+28995221336976431135321047)≡0(mod29).{\ displaystyle p (999959 ^ {4} \ cdot 29k + 28995221336976431135321047) \ equiv 0 {\ pmod {29}}.}![{\ displaystyle p (999959 ^ {4} \ cdot 29k + 28995221336976431135321047) \ equiv 0 {\ pmod {29}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32471a917a746f8afb2224c56d505b825a0ffe6f)
Podívejte se také
Reference
-
GH Hardy a EM Wright ( přeloženo z angličtiny François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Úvod do teorie čísel [„ Úvod do teorie čísel “] [ detail vydání ], kapitola 19 („Výsledky“), oddíl 19.12.
-
(in) S. Ramanujan , „ kongruenční vlastnosti oddílů “ , Mathematische Zeitschrift , sv. 9,1921, str. 147–153 ( DOI 10.1007 / bf01378341 ).
-
(in) Amanda Folsom , Zachary A. Kent a Ken Ono , „ ℓ-Adic vlastnosti funkce rozdělení “ , Advances in Mathematics , sv. 229, n o 3,2012, str. 1586 ( DOI 10.1016 / j.aim.2011.11.013 ).
-
(in) JH Bruinier a K. Ono , „ Algebraické vzorce pro koeficienty polointegrovaných váhových slabých harmonických Maasových forem “ , Advances in Mathematics , sv. 246,20. října 2013, str. 198-219 ( arXiv 1104.1182 , číst online ).
-
(in) Rhiannon L. Weaver , „ New congruence for the partition function “ , The Ramanujan Journal , sv. 5,2001, str. 53 ( DOI 10.1023 / A: 1011493128408 ).
-
(in) Fredrik Johansson , „ Efektivní implementace vzorce Hardy-Ramanujan-Rademacher “ , LMS Journal of Computation and Mathematics , sv. 15,2012, str. 341 ( DOI 10.1112 / S1461157012001088 ).
- Ken Ono , „ Distribuce modulové funkce oddílu “, Annals of Mathematics , sv. 151,2000, str. 293–307 ( DOI 10.2307 / 121118 , JSTOR 121118 , zbMATH 0984.11050 , číst online )
- (en) Ken Ono , Web modulárnosti: aritmetika koeficientů modulárních forem a q-řady , sv. 102, Providence, RI, American Mathematical Society ,2004, 129 s. ( ISBN 0-8218-3368-5 , zbMATH 1119.11026 , číst online )
- S. Ramanujan , „ Některé vlastnosti p (n), počet oddílů n “, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , sv. 19,1919, str. 207-210
externí odkazy
- K. Mahlburg , „ Partition Congruences and the Andrews - Garvan - Dyson Crank, “ Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 102, n o 43,2005, str. 15373–76 ( PMID 16217020 , PMCID 1266116 , DOI 10.1073 / pnas.0506702102 , Bibcode 2005PNAS..10215373M , číst online [PDF] )
-
Dysonova hodnost, klika a zástupce .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">