q - Pochhammerův symbol
V kombinatorice je q- symbol Pochhammera symbolem, který umožňuje snadné označení určitých produktů. Je to základní prvek q -analogů . Jedná se o q- analog Pochhammerova symbolu definovaného Leem Pochhammerem .
Definice a notace
Symbol Q -Pochhammer je:
(na;q)ne=∏k=0ne-1(1-naqk)=(1-na)(1-naq)(1-naq2)⋯(1-naqne-1){\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}s
(na;q)0=1{\ displaystyle (a; q) _ {0} = 1}.
Můžeme rozšířit notaci na nekonečné produkty:
(na;q)∞=∏k=0∞(1-naqk).{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-aq ^ {k}).}Někdy si všimneme , když je jasné, že proměnná je q .
(na)ne=(na;q)ne{\ displaystyle (a) _ {n} = (a; q) _ {n}}
Funkce generující oddíly
Těmito symboly lze kompaktně vyjádřit velké množství generujících řad představujících oddíly . Lze například napsat počet p ( n ) oddílů celého čísla n :
∑ne=0∞p(ne)qne=∏ne=1∞11-qne=1(q;q)∞{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p (n) q ^ {n} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q) _ {\ infty}}}}.
Všimněte si, že zde najdeme inverzní funkci Eulerovy funkce .
Totožnosti
Jednou z nejjednodušších identit je q -binomiální věta (vyjádřená zde kompaktní notací):
∑ne∈NE(na)ne(q)nezne=(naz)∞(z)∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {(a) _ {n}} {(q) _ {n}}} z ^ {n} = {\ frac {(az ) _ {\ infty}} {(z) _ {\ infty}}}},
jejichž konkrétními případy jsou dvě identity Eulera:
(z)∞=∑ne∈NEqne(ne-1)/2(q)ne(-z)nea1(z)∞=∑ne∈NEzne(q)ne{\ displaystyle (z) _ {\ infty} = \ součet _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {q ^ {n (n-1) / 2}} {(q) _ {n} }} (- z) ^ {n} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {(z) _ {\ infty}}} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N }} {\ frac {z ^ {n}} {(q) _ {n}}}}.
To může být odvozená věty, jako je tomu u pětiúhelníkové čísel : , nebo že v trojité produktu Jacobi .
(q;q)∞=∑k∈Z(-1)kqk(3k-1)/2{\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} = \ součet _ {k \ v \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} q ^ {k (3k-1) / 2}}
Výpočty na q -series také umožňují najít rovnosti mezi kombinatorickými objekty bez provedení explicitní jakékoli bijekce, což je případ například Rogers-Ramanujan identit .
Poznámky a odkazy
-
(in) Eric W. Weisstein , „ Q-Series “ na MathWorld
-
(in) George Gasper , „ Poznámky k přednášce pro úvodní minikurzu řady q “ na arxiv.org (Cornell University Library) ,1995( arXiv math.CA/9509223 , přístup 26. září 2016 ) ,s. 3
-
Viz důkaz „ q- binomické věty a Eulerovy identity“ v lekci „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">