V Riemannian geometrii je skalární zakřivení (nebo Ricci skalární ) je jedním z nástrojů pro měření zakřivení o Riemannově potrubí . Tato Riemannian neměnný je funkce, která přiřazuje každému bodu m rozvodného potrubí jednoduché reálné číslo poznamenat, R (m) nebo (M) , nesoucí informaci o vnitřní zakřivení potrubí v tomto místě. Můžeme tedy popsat nekonečně malé chování koulí a koulí vystředěných vm pomocí skalárního zakřivení.
V dvojrozměrném prostoru skalární zakřivení zcela charakterizuje zakřivení potrubí. V dimenzi větší než 3 to však nestačí a jsou nutné další invarianty. Skalární zakřivení je definována jako stopy z Ricci tensor vzhledem ke metrika (bod aplikace m je často vynechán)
Můžeme také psát do lokálních souřadnic a podle Einsteinových konvencí ,
,s
Ricciho skalární R nebo Ric se získá z Ricciho tenzoru obecným vztahem aplikovaným na povrch:
Použitím vztahů mezi přímými a inverzními složkami metriky a vztahů mezi Riemannovými tenzory R xyxy a Ricciho tenzory komponent R xx a R yy, které jsou poté zapsány, ve dvou dimenzích:
získá se vztah mezi Ricciho skalárem a Gaussovým zakřivením:
Ve dvou rozměrech, to znamená pro povrch, je Ricciho skalár dvakrát Gaussovou křivkou K ( kromě znaménka podle použité konvence).
Pro potrubí dimenze n s konstantním zakřivením (tj. Konstantní průřezové zakřivení ) K je skalární zakřivení také konstantní . Euklidovský prostor má tedy nulové skalární zakřivení, koule o poloměru r opatřená svou kanonickou strukturou připouští konstantní pozitivní zakřivení .
Tenzor zakřivení produktu Riemannovských variet je součtem tenzorů zakřivení, takže skalární zakřivení je také součtem skalárních zakřivení.
Když přejdeme z metrického g do konformního metrického tvaru formy pro určitou funkci f , nová skalární zakřivení je dána vztahem
výraz, který je redukován v případě jednoduchého multiplikačního činitele vztahu .
Nechť M je Riemannovo potrubí dimenze n . Skalární zakřivení v bodě m poskytuje asymptotický odhad objemu koule vycentrované vm a poloměru r , a to porovnáním s objemem V jednotkové koule stejnorozměrného euklidovského prostoru: když r má tendenci k 0,
Pro dostatečně malé koule tedy přísně pozitivní skalární zakřivení charakterizuje tendenci získávat koule menšího objemu než v euklidovském případě a negativní skalární zakřivení ukazuje opak. Nerovnost biskupa-Gromov (in) předloží platnou srovnání teorém pro míčky všech velikostí, ale tento výsledek není jen zahrnovat skalární křivost, ptá se ovládat všechny Ricci zakřivení.
Na kompaktním Riemannově potrubí M nazýváme celkové skalární zakřivení S integrálem skalárního zakřivení na potrubí, kde označuje Riemannovu míru vyplývající z metrického g .
Pro kompaktní potrubí 2, Gauss-Bonnet vzorce ukazuje, že topologie je zcela určena množstvím S . Naopak Euler-Poincaréova charakteristika částečně určuje skalární zakřivení: je nemožné mít skalární zakřivení neustále opačného znaménka.
V přísně větší dimenzi se člověk také zajímá o celkové skalární zakřivení, ale situace je méně omezená. Přesněji řečeno, je důležité vzít v úvahu pojem změny měřítka, a to buď omezením na metriky celkového objemu 1, nebo renormalizací S
Když vezmeme v úvahu množinu Riemannovských metrik, jimiž lze potrubí vybavit, Y a S (omezeno na metriky svazku 1) se stávají funkcemi, které můžeme studovat v kritických bodech : zjistíme, že jsou to Einsteinovy potrubí, které realizují tyto kritické bodů. V rámci Lorentzianských odrůd používaných zejména v obecné relativitě odpovídá celkové skalární zakřivení faktoru blízkému působení Einstein-Hilberta .
Lze se také zajímat o stejné funkce Y nebo S (omezeno na metriky svazku 1) omezením se na sadu metrik odpovídajících dané metrice g . Tentokrát kritické body odpovídají metrikám, které odpovídají g a mají konstantní skalární zakřivení. Tyto úvahy jsou původem pojmu Yamabeho invariantu a pozice Yamabeova problému : existuje na kompaktním potrubí metrika odpovídající g a konstantní skalární zakřivení? Pozitivní reakce přišla v roce 1984.
Vzhledem k uvedenému kompaktnímu diferenciálnímu potrubí můžeme charakterizovat všechny funkce „skalárního zakřivení“ získané pro všechny možné Riemannovy metriky. V případě dimenze 2 jsme viděli, že skalární zakřivení je ekvivalentní Gaussově zakřivení a souvisí s topologií potrubí. V dimenzi větší než 3 existují tři typy situací
- odrůdy, pro které existuje metrická g 0 přísně pozitivního skalárního zakřivení s 0 ; v tomto případě lze jakoukoli funkci realizovat jako skalární zakřivení určité metrické g ;
- odrůdy, u nichž skalární zakřivení nemůže být ve všech bodech pozitivní; v tomto případě jsou možné funkce skalárního zakřivení všechny funkce, které mají alespoň jednu přísně zápornou hodnotu;
- ostatní odrůdy připouštějí pro možné funkce skalárního zakřivení nulovou funkci a všechny funkce, které mají alespoň jednu přísně zápornou hodnotu.