Výčet

V matematice je počítání určování počtu prvků v sadě . Obecně se získává počítáním nebo výpočtem jeho mohutnosti pomocí kombinatorických technik .

Okamžité vnímání

Tváří v tvář kolekci nejvýše čtyř předmětů se zdá, že lidská bytost, dokonce i před získáním jazyka, a některá zvířata mají okamžitou představu o množství prezentovaném bez výčtu. Tento jev se nazývá subitizing (in) .

Lze ji v určitých konfiguracích, jako jsou body na tvářích kostky, rozšířit nad čtyři . Zobrazené čísla lze tedy snáze vyhledat.

Symbolizace stejným množstvím

První odhady množství nebyly nutně vyjádřeny pomocí číselné nebo numerické notace . Taková hodnocení však mohla být užitečná pro sledování vývoje stáda, průmyslové výroby, sklizně nebo lidské populace, zejména v armádním sboru. Při absenci systému číslování je možné představit každý prvek kolekce, například pomocí zářezu na kusu dřeva nebo kosti. Dalším příkladem je vidět ve filmu Ivan Hrozný z Sergei Eisenstein , kde před bojem, vojáci každém hodu otočit obrobku v sáčku.

Počítací

Vyhodnocení množství objektů pomocí konkrétního výrazu vyžaduje sestavení seznamu pojmů, které lze naučit a přenášet. Některé oceánské národy tak pokrývají asi dvacet částí těla ve pevném pořadí (ale v závislosti na poloze lidí). Každý jazyk vyvinul systém označení pro první celá čísla, případně spojený s konkrétním systémem číslování .

Výčet poté sestává ze současného procházení digitálního řetězce a kolekce objektů, takže každý objekt je považován pouze jednou. Pochopení této techniky počítání je rozděleno do pěti principů:

jedinečný princip přiměřenosti: každé slovo je spojeno pouze s jedním a pouze jedním prvkem kolekce;
princip stabilního pořadí: počet slov je vždy přednesena ve stejném pořadí;
základní princip: k označení velikosti sbírky stačí uvést poslední použité číslo slova;
princip abstrakce: objekty mohou mít různou povahu;
princip irelevance pořadí: objekty lze procházet v libovolném pořadí.

Výpočet

Pro velká množství nebo pro abstraktní množiny a zejména pro matematické množiny se výčet provádí pomocí aritmetických operací nebo kombinačních úvah .

Základní vlastnosti

Princip zásuvek : pokud máme m množinu (y) a ukládáme n objektů (y) s n> m v nich , pak alespoň jedna z těchto sad bude obsahovat několik objektů.
Příklad : pokud se ve třídě 20 studentů narodili všichni ve stejném roce, několik z nich se nutně narodilo ve stejném měsíci.
Cardinal z kartézského produktu : v případě, že strom má n větev (y), a to jeden (y), každý má (y) p dílčí větve (y), pak se tento strom má n × p podoboru (y).
Příklad základní pravděpodobnosti : Předpokládejme, že si náhodně vytáhneme kartu z balíčku 52 karet . Pokud se pokusíme uhodnout barvu (kluby, diamanty, srdce nebo piky), máme šanci 1: 4 to napravit. Pokud se navíc pokusíme odhadnout jeho hodnotu (eso, král, královna, jack atd. ), Máme šanci 1: 13 to napravit. A konečně, pokud se pokusíme uhodnout jeho barvu a hodnotu, máme šanci 1: 52 (4 × 13).

Výčet v konečných množinách

Základní věty

V této části, pokud je konečnou množinu , označíme (čti „ kardinál z A “) a počtu jejích prvků. Například . ${\ mathrm {karta}} (A)$ ${\ mathrm {karta}} (\ {e, f, g \}) = 3$

Věta 1 - Dovolme být součástí konečné množiny . Pak A je samo o sobě konečné a ≤ . Pokud dále , pak . $NA$ $E$
${\ mathrm {karta}} (A)$ ${\ mathrm {karta}} (E)$
${\ mathrm {karta}} (A) = {\ mathrm {karta}} (E)$ $A = E$

Charakterizace injektivních map - Nechť je konečná množina, množina a mapa v . My máme : $E$ $F$ $F$ $E$ $F$

${\ mathrm {karta}} (f (E))$ ≤ ${\ mathrm {karta}} (E)$
$F$ je injekční $\ Šipka vlevo$ ${\ mathrm {karta}} (f (E)) = {\ mathrm {karta}} (E)$

Demonstrace

Abychom dokázali bod 1, můžeme se zaměřit na množinu prvků, které mají obraz . Pokud to označíme , pak mapa vyvolaná de in je bijection. Protože je podmnožinou , je konečná a ≤ . Bod 2 vychází ze skutečnosti, že když je injektivní, všechny prvky mají jedinečný předchůdce, takže indukovaná aplikace in je bijekce. Takže . Naopak pokud , pak to přijde . $E$ $F$ $NA$ $F$ $NA$ $f (E)$ $NA$ $E$ ${\ mathrm {karta}} (f (E)) = {\ mathrm {karta}} (A)$ ${\ mathrm {karta}} (E)$
$F$ $f (E)$ $E$ $f (E)$ ${\ mathrm {karta}} (f (E)) = {\ mathrm {karta}} (E)$ ${\ mathrm {karta}} (f (E)) = {\ mathrm {karta}} (E)$ ${\ mathrm {karta}} (A) = {\ mathrm {karta}} (E)$ $A = E$

Dodatek - Dovolme být injektivní mapou množiny na množinu . pokud je konečný, pak je konečný a . $F$ $E$ $F$
$f (E)$ $E$ ${\ mathrm {karta}} (E) = {\ mathrm {karta}} (f (E))$

Tento důsledek je ve skutečnosti pouze použití charakterizaci injektivních aplikací v konkrétním případě, kdy množina příchod je . $F$ $f (E)$

Věta - Nechť E a F jsou dvě konečné množiny takové . If is a map of in we have: is injective is surjective is bijective. ${\ mathrm {card}} (E) = {\ mathrm {card}} (F)$ $F$ $E$ $F$
$F$ $\ Šipka vlevo$ $F$ $\ Šipka vlevo$ $F$

Vlastnosti

Kardinál spojení dvou disjunktních konečných množin - Dovolit a být dvě disjunktní konečné množiny s a . Takže máme . $E$ $F$ ${\ mathrm {karta}} (E) = k$ ${\ mathrm {karta}} (F) = n$
${\ mathrm {card}} (E \ cup F) = {\ mathrm {card}} (E) + {\ mathrm {card}} (F) = n + k$

Demonstrace

Nechť je ve skutečnosti bijekce v a bijekce v , pak můžeme zkonstruovat mapu, v jejímž omezením je a to je . Jelikož jde o bijekci, jedná se o injekci a z toho vyplývá závěr charakterizace . $F$ $E$ $[\! [1, k] \!]$ $G$ $F$ $[\! [1 + k, n + k] \!]$ $h$ $E \ pohár F$ $[\! [1, n + k] \!]$ $E$ $F$ $F$ $G$ $h$ ${\ mathrm {karta}} (h (E \ cup F)) = {\ mathrm {karta}} ([\! [1, n + k] \!]) = n + k$

Indukcí zobecníme tuto vlastnost na rodinu dvojitých disjunktních konečných množin:

Kardinál sjednocení konečných množin dvou až dvou disjunktních $ne$ - Dovolme být rodinou konečných množin dvou až dvou disjunktních. Takže máme . $(E_ {i}) _ {{i = 1}} ^ {n}$ $ne$
${\ mathrm {card}} (\ bigcup _ {{i = 1}} ^ {n} E_ {i}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} ({\ mathrm {card}} (E_ {i}))$

Kardinál doplňku - Nechť je konečná množina a její doplněk . Takže máme . $E$ $\ Podmnožina E$ $\ overline A$ $E$
${\ mathrm {karta}} (A) + {\ mathrm {karta (\ overline A)}} = {\ mathrm {karta}} (E)$

Demonstrace

Důkaz: a jsou dvě konečné sady prázdné křižovatky a . První vlastnost nám umožňuje uzavřít. $NA$ $\ overline A$ $A \ cup \ overline A = E$

Kardinál spojení dvou konečných množin - Dovolit a být dvě konečné množiny. Takže máme . $E$ $F$
${\ mathrm {card}} (E \ cup F) = {\ mathrm {card}} (E) + {\ mathrm {card}} (F) - {\ mathrm {card}} (E \ cap F)$

Demonstrace

Důkaz: Jak a jsou komplementární , platí předchozí nemovitosti a máme + . Stejná úvaha platí pro a . Všimněte si konečně, že , a tvoří oddíl . Identita je odvozena ze tří předchozích výsledků. $A \ čepice B$ $AB$ $NA$ ${\ mathrm {karta}} (A \ cap B)$ ${\ mathrm {card}} (AB) = {\ mathrm {card}} (A)$ $BA$ $A \ čepice B$ $AB$ $A \ čepice B$ $BA$ $A \ pohár B$

Kardinál disjunktního spojení dvou konečných množin - Dovolit a být dvěma konečnými množinami příslušných kardinálů a . Poté je kardinál hotov . $E$ $F$ $ne$ $k$
$E \ sqcup F$ ${\ mathrm {karta}} (E \ sqcup F) = {\ mathrm {karta}} (E) + {\ mathrm {karta}} (F) = n + k$

Tento výsledek lze zobecnit na více než dvě sady.

Kardinál disjunktního spojení konečných množin $ne$ - Dovolme být rodinou konečných množin. $E_i$
${\ mathrm {card}} (E_ {1} \ sqcup E_ {2} \ sqcup E_ {3} \, \ dots \, \ sqcup E_ {n}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ { n} {\ mathrm {karta}} (E_ {i}).$

Kardinál kartézského součinu dvou konečných množin - Dovolit a být dvěma konečnými množinami příslušných kardinálů a . Poté je kardinál hotov . $E$ $F$ $ne$ $k$
$E \ krát F.$ ${\ mathrm {karta}} (E \ krát F) = {\ mathrm {karta}} (E) \ časy {\ mathrm {karta}} (F) = nk$

Obecněji pro posloupnost konečných množin:

Kardinál karteziánského součinu posloupnosti konečných množin - Dovolme být rodinou konečných množin. Tak $E_i$
${\ mathrm {card}} (E_ {1} \ krát E_ {2} \ krát E_ {3} \, \ dots \, \ krát E_ {n}) = \ prod _ {{i = 1}} ^ { n} {\ mathrm {karta}} (E_ {i}).$

Kardinál ze sady částí konečné sady - Dovolme být konečnou sadou kardinála . Protože je v korespondenci jedna ku jedné se sadou map v , pak je konečná množina a my máme . $E$ $k$
${\ mathcal P} (E)$ $E$ $\ left \ {0,1 \ right \}$ ${\ mathcal P} (E)$ ${\ mathrm {card}} ({\ mathcal P} (E)) = 2 ^ {{{{{mathrm {card}} (E)}} = 2 ^ {k}$

Kardinál množiny korespondencí ze v $E$ $F$ - Let a být dvou konečných množin. Soubor korespondence v , obvykle známý , je identifikován, proto je konečný kardinál . $E$ $F$
$E$ $F$ ${\ mathrm {Corr}} (E, F)$ ${\ mathcal P} (E \ krát F)$ $\ {\ mathrm {card}} ({\ mathrm {Corr}} (E, F)) = 2 ^ {{{\ mathrm {card}} (E) \ times {\ mathrm {card}} (F)} } = 2 ^ {{nk}}$

Kardinál ze souboru map z oblasti $E$ $F$ - Nechť a být dva konečné sady jednotlivých kardinálů a . Soubor mapování in , často uvedeno , je hlavní konečný s konvencí 0 0 = 1, v případě, a jsou obě prázdné. $E$ $F$ $k$ $ne$
$E$ $F$ ${\ mathcal F} (E, F)$ $\ {\ mathrm {card}} ({\ mathcal F} (E, F)) = {\ mathrm {card}} (F) ^ {{{{\ mathrm {card}} (E)}} = n ^ {k}$ $E$ $F$

Tato vlastnost ospravedlňuje běžnější notaci . $F ^ {E}$

Kardinál množiny surjections o v $E$ $F$ - Let a být dva konečné sady jednotlivých kardinálů a . To vše surjections v obvykle uvedeno , má kardinál následující výši: . Tato částka je nulová, pokud . $E$ $F$ $k$ $ne$
$E$ $F$ ${\ mathrm {Surj}} (E, F)$
$\ {\ mathrm {card}} ({\ mathrm {Surj}} (E, F)) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} (- 1) ^ {{i}} { \ frac {n!} {i! (ni)!}} (ni) ^ {{k}}$
${\ mathrm {card}} (E) <{\ mathrm {card}} (F)$

Injekčním aplikacím, které hrají důležitou roli v kombinatorice, se budeme podrobněji věnovat v následujících odstavcích.

Poznámky a odkazy

Některá pozorování souvisí v první kapitole Universal History of Figures, kterou napsal Georges Ifrah, strana 22, Éditions Robert Laffont, Paris 1981.
(in) Usha Goswami , Cognitive Development: The Learning Brain , New York, Psychology Press,2008.
Georges Ifrah, Universal History of Figures , strana 46, vydání Robert Laffont, Paříž 1981.
Podle práce R. Gellmana a CR Gallistela, citovaného v článku Rogera Bastiena „Získávání čísel u dětí“ .

Podívejte se také