Číselný systém

Systém číslování je sada pravidel, kterými se řídí jedno nebo více daných číslování . Přesněji řečeno, jedná se o soubor pravidel pro používání znaků , slov nebo gest, která umožňují psát, uvádět nebo napodobovat čísla , přičemž tato čísla se rodí ve své písemné formě současně s psaním potřeby organizovat úrodu, obchodovat a randit . Číselný systém Indo-Arab je dnes nejrozšířenější na světě.

Základní princip

Nejstarší systém číslování, který se nazývá unární , se ukazuje jako nepraktický, zvláště pokud jde o manipulaci s velkým množstvím. Aby se tento nedostatek odstranil, řešení spočívá ve seskupení jednotek do paketů pokaždé, když je dosaženo stejné hodnoty, která se nazývá číselná základna . Podobně jsou tyto pakety seskupeny do paketů vyššího řádu atd. Obvykle je počet prvků v každém balíčku, který poskytuje základ pro počet, stejný. Existují však výjimky, například v našem zápisu hodin: šedesát sekund za minutu, šedesát minut za hodinu, dvacet čtyři hodin za den, dvacet osm až třicet jedna dní za měsíc. Podobně mayské číslování vigesimálního charakteru je nepravidelné, aby se přiblížilo kalendáři. Babylonian číslování , o sexagesimal charakteru , je prezentován jako kombinace systémů.

Mnoho systémů bylo používáno různými národy a časy.

• Binární systém (základ 2) používá v jazycích Jižní Americe a Oceánii je podobný číselného systému používaného v informatice (1 proud je zapnutý, 0 proud není)
• Ternární systém (základ 3)
• Quinary (base 5), jehož stopy zůstávají až do XX th  století v jazycích afrických , ale také částečně v hodnocení Chuvash , Suzhou , římských a mayských . Název čísel 6, 7, 8 a 9 v mnoha jazycích svědčí o tomto quinárním systému: říká se, že jsou 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 a 5 + 4 ve Wolof (jazyk Niger -Congolese family ), Khmer (Austro-Asiatic language), in Nahuatl (Uto-Aztec language), and, in many Austronesian languages such as Lote or Ngadha (in partial form). Quinární základna se jeví jako dílčí základna desítkové základny a vigesimální základny.
• Senary systém (základna 6) se používá v Ndom a Kómnzo jazycích Papuy-Nové Guineje , stejně jako v kostky . Používá šest číslic od 0 do 5, počet prstů podle "násobků tří" základen, nejvhodnější.
• Osmičková soustava (základ 8) se používá v severní Pame jazyka , v Mexiku av Yuki jazyku , v Kalifornii , stejně jako v informatice.
• Nonary systém (základ 9), je v rozporu s hexadecimální, „síla“ tří bází. Obsahuje dvě ternární digis v jedné číslici.
• Desetinný systém (základ 10) byl používán mnoha civilizací, jako jsou například čínských z časných časech, a pravděpodobně na Proto-Indo-Evropané . Dnes je zdaleka nejrozšířenější.
• Duodecimální systém (základ 12) se používá v Nepálu lidmi Chepang. Je zjištěno, protože jeho výhody, pokud jde o dělitelnosti (o 2, 3, 4, 6), za určitý počet měn a stálých jednotek běžných v Evropě ve středověku , částečně v anglosaských zemích. V císařský systému jednotek a v obchodě. Používá se také k počítání měsíců, hodin, květin, ústřic a vajec.
• Hexadecimální systém (base 16), velmi často používá v elektronice, stejně jako v informatice. Jeho zájem spočívá v triviálních převodech se základnou 2 a zároveň umožňuje kompaktnější psaní čísel.
• Vigesimal (nebo vicesimal, základ 20), systém existuje v Bhútánu v jazyce Dzongkha, a byl v použití mezi Aztecs a, i když nepravidelné, pro Mayan číslování . Zjistili jsme to znovu kvůli jeho výhodám z hlediska dělitelnosti (o 2, 4, 5, 10). Někteří věří, že to bylo také používáno Galy nebo Basky v počátcích, ale není skutečně známo, zda jejich číslování bylo desítkové nebo vigesimální.
• Pro babylonské číslování byl použit sexageimální systém (základ 60) , stejně jako indiáni a Arabové v trigonometrii . V současné době se používá při měření času a úhlů.

Určité číselné báze se používají ve vědeckých oborech, zejména v digitální elektronice a informatice. Další podrobnosti najdete v článku Základní (aritmetické) .

Systémy promluvy

Některá čísla těží výhradně z jednoduchého jména, například francouzsky mille . Jinak je umožňuje sestavit několik zásad.

• Přídavek  : ve francouzštině sedmnáct (10 + 7), sedmdesát (60 + 10);
• násobení  : čtyři-dvacet (4x20), dvě stě (2x100) ve francouzštině;
• odčítání  : osmnáct Říká se duodeviginti v klasické latině (two-of-dvacet, 20-2);
• dělení  : padesát se nazývá nenávistník-Kant v Breton (napůl [de-] set, 100/2);
• prodlužování (termín zaveden Claude Hagège ) třicet pět z nich, že holhu ca Kal v Yucatec (pět-deset dva osmdesát, 15, 2 x 20, 15 až 2 x 20 nebo 15 z dvaceti předcházející 2 x 20, tj 15 + 20). Ve výrazu 35 (jak v tom, že z třiceti) je vhodné obnovit implicitně (nebo vymazány) relator který byl tu (ve skutečnosti Ti + u se ti = lokativ ‚k‘ a u = osobní index 3 rd  osoby ' jeho, který v této souvislosti sloužil k odvození ordinálu od kardinála, takže výraz 35 by měl být analyzován jako „15 ke druhé dvacáté“.

Někdy se používá pomocný systém. Ve srovnání s hlavním systémem to může být:

• nižší  : ZAŘÍZENÍ wolofština číslo je desetinné ale používá pomocný quinary systém , dvacet šest se říká, že Naar fukk AK juroom benn v wolofština (dvě desítky a pět jeden, 2 x 10 + 5 + 1);
• horní  : baskické číslo je desítkové, ale používá pomocný vicesimální systém , sto padesát dva se říká v ehunta berrogeita hamabi v baskičtině (sto dvacet dvacet dva a deset dva, 100 + 2 × 20 + 10 + 2 ). Podobně ve francouzštině, francouzštině a kanadštině ve francouzštině (Quebec) přetrvává osmdesát a devadesát (místo osmdesáti ve Švýcarsku a sedmdesát a devadesát ve Švýcarsku a Belgii), které pocházejí ze středověkého vicesimálního systému , který se používá jako pomocný prostředek k hlavnímu desítkovému systému latiny původ.

A konečně některá čísla těží z konstrukce nezávislé na použité základně. Osmnáct se tedy v současné době v Bretonštině nazývá triwecʼh (tři šest, 3 × 6). Existovaly také dříve daounav (dva devět, 2 × 9), respektive čtyřicet pět a čtyřicet devět, pemp nav (pět devět, 5 × 9) a seizh seizh (sedm sedm, 7 × 7). Je samozřejmé, že tato poslední forma nepochází ze základní sedmičky, ale ze symbolické hodnoty tohoto čísla.

Mime systémy

Lidé tradičně k počítání používají části svých těl. U desetinného nebo číselného počtu se obvykle jedná o prsty. Yukis , zaměstnávat osmičkové , používat mezery mezi prsty počítat. Tyto Chepang lidé , kteří zaměstnávají duodecimální systém , použijte palec počítat na falangy jednotlivých prstů . Bylo také použito mnoho dalších metod.

Systémy hodnocení

Symboly používané k zápisu čísel jsou číslice . Pravidla pro používání těchto čísel umožňují schematicky rozlišit tři hlavní rodiny bodovacího systému: aditivní, hybridní a poziční systémy.

Aditivní systémy

Tyto systémy používají čísla k reprezentaci pravomocí základny a případně jejich násobků. Další čísla se získají porovnáním těchto symbolů. Čtenář je poté odpovědný za přidání hodnot symbolů, aby poznal číslo. To je případ egyptského , řeckého , římského , gotického číslovacího systému nebo jednodušeji unárního systému nebo číslování lesů .

Existují také aditivní a subtraktivní systémy. To znamená, že římská číslice , přísada, ví později aditivní a subtraktivní variantu.

Hybridní systémy

Tyto systémy používají čísla pro jednotky a pro základní síly. Čísla představující sílu použité základny jsou v případě potřeby kombinována s číslem představujícím jednotku a čísla jsou tedy reprezentována přidáním násobků sil základny. To je případ čínských a japonských číselných systémů . Lze poznamenat, že takový notační systém má silnou analogii se systémem mluvení čísel ve většině jazyků. (Například ve francouzštině, číslo dva tisíce osm set sto sedmnáct , je také tvořeno přidáním násobků sil základny 10: 2 × 10³ + 8 × 10² + 1 × 10¹ + 7.)

Poziční systémy

Tyto systémy používají číslice, jejichž místo při psaní čísla označuje váhu, která jim byla přiřazena (váha n 0 = 1, váha n 1 = n, váha n 2 ,… pro základnu n). To je případ mayských a babylonských číselných systémů , stejně jako indických a arabských číselných systémů, které jsou původem moderní matematiky . Ty nyní umožňují psát čísla jednoduše bez ohledu na základnu pomocí poziční nuly .

V takovém systému vyžaduje základna β číslice β, aby představovala všechna celá čísla. Typicky se hodnota těchto čísel pohybuje od 0 do β-1; ale existují i ​​typy nestandardních reprezentací:

• k-adické systémy, bez 0, používající pro základní β číslice od 1 do β (jedná se o bijektivní systémy );
• vyvážené systémy využívající pro lichý základ β číslice od - (β-1) / 2 do (β-1) / 2;
• redundantní systémy, používající pro základnu β počet číslic přísně větších než β.

Některé systémy jsou neúplné, protože nemohou představovat všechna čísla. To je například případ základních systémů β, které používají počet číslic přísně menší než β.

Několik systémů má aplikace v elektronice a ve výpočetní technice. Tyto systémy mají tu zvláštnost, že představují čísla nad definovaným počtem pozic, a proto mohou představovat pouze celá čísla do určitého limitu. Například,

• v binárním: negabinární systém  ;
• v ternární: vyvážený ternární systém  ;
• v base β: systém Avizienis .

Jiné systémy

Existují také alternativní systémy reprezentací čísel, odvozené buď od pozičního systému, nebo nezávislé na základním konceptu, jak je definován výše. Zde je několik příkladů,

• v matematice (viz odpovídající následující část): pokračující expanze zlomků , Engelova expanze v sérii , Henselova expanze , modulární reprezentační systém  ;
• elektronika a počítače: Já myslel, binární (nebo Gray kódu) je doplňkem k této dvojkový doplněk , k BCD .

Matematika

Definice

• Systém číslování je trojnásobný ( X, I, φ ), kde X je soubor výčet, I je fi nite nebo spočetné čísla a φ je injective mapování v sérii číslic , . V desítkové notaci je X množina přirozených čísel , je množina desetinných číslic a posloupnost spojená s celým číslem je posloupnost jejích desetinných číslic. Aplikace φ se nazývá reprezentace aplikace a φ ( x ) je reprezentace x ∈ X . Způsobilé apartmány jsou definovány jako obrazové reprezentace φ ( x ) pro x ∈ X .Φ:X↪JáNE{\ displaystyle \ Phi: X \ hookrightarrow I ^ {\ mathbb {N}}}X↦(ϵne(X))ne≥1{\ displaystyle x \ mapsto (\ epsilon _ {n} (x)) _ {n \ geq 1}}
  Já={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{\ displaystyle I = \ {0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9 \}}
  
  
• Georg Cantor definuje systém číslování jako data řady přirozených čísel a n uspořádaných vzestupně (v případě desítkové soustavy: a n = 10 n ) a pro každé z nich s maximální hodnotou m n koeficientu což si dovolíme znásobit (v případě desítkové soustavy: m n = 9). Volá reprezentace přirozeného čísla N všech konečného počtu koeficientů c k , každý c k , že je přirozené číslo větší než m k , tak, že součet c K k je roven N . Ten ukazuje, že takový systém je „jednoduché“, tj. Představuje každý číslo N jedinečně, a to pouze v případě, v 0 = 1 a pro všechna n , n 1 = (1 + m n ) n , pak v tomto případě se rozprostírá reprezentace celých čísel do reprezentací ( pozitivních ) realit , přidávající k nim nekonečnou řadu formy∑k=1+∞dknak,dk∈{0,1,...,mk-1}.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {d_ {k}} {a_ {k}}}, \ quad d_ {k} \ v \ {0,1, \ ldots , m_ {k-1} \}.}
• Aviezri S. Fraenkel dává obecnou definici číselného systému a popisuje případy jedinečnosti a úplnosti: číselný systém je úplný, pokud umožňuje zastoupení všech celých čísel.
• Systematické studium převzal v kontextu formálních jazyků a kombinatoriky Michel Rigo.
• Problém šíření odkladu zkoumali Valérie Berthé , Christiane Frougny, Michel Rigo a Jacques Sakarovitch.

Příklady

• Q -adická reprezentace nebo zápis v základu q : libovolné přirozené celé číslo je zapsáno jedinečným způsobem jako s číslicemi a kde je počet číslic n v základu q . Podobně lze libovolný reálný objekt zapsat jedinečným způsobem, pokud je jeho expanze správná (žádná nekonečná posloupnost q -1 jako 0,999 ... = 1), podobně .ne=∑i=0NEϵi(ne)qi{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}0≤ϵi(ne)<q{\ displaystyle 0 \ leq \ epsilon _ {i} (n) <q}ϵNE(ne)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}NE=⌊log⁡(ne)log⁡(q)⌋+1{\ displaystyle N = \ left \ lfloor {\ frac {\ log (n)} {\ log (q)}} \ right \ rfloor +1}ne=∑i=-∞NEϵi(ne)qi{\ displaystyle n = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}
• Reprezentace Zeckendorf  : čísla Fibonacci , , použitý psát všechny přírodní celek jako jednoznačně s čísly a .F0=1{\ displaystyle F_ {0} = 1}F1=2{\ displaystyle F_ {1} = 2}Fne+2=Fne+1+Fne{\ displaystyle F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n}}ne=∑i=0NEϵi(ne)Fi{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) F_ {i}}ϵi(ne)∈{0,1}{\ displaystyle \ epsilon _ {i} (n) \ v \ {0,1 \}}ϵNE(ne)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}
• Zastoupení v pokračující frakce  : jakékoliv reálné číslo lze zapsat (jedinečným způsobem v případě, že expanze je správný) s a pro k> 0 .X=na0+1na1+1na2+1na3+...{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ frac {1} {a_ {3} + \ dots}} }}}}}na0∈Z{\ displaystyle a_ {0} \ in \ mathbb {Z}}nak∈NE∗{\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
• Systémy nečíselných základních čísel  : zlatý základ je příkladem.
• Rozklad na prvočísla je systém číslování, zejména použitý kvantových počítačů , ∀ne∈NE∗,∃!(αp)p∈P∈NE(P):ne=∏p∈Ppαp{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ existuje! (\ alpha _ {p}) _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ in \ mathbb {N} ^ {({\ mathcal {P}})}: n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}.

• Modulární reprezentace System (RNS) umožňuje, za použití báze vzájemně hlavních modulů , vyjmenovat všechna celá čísla až do jejich zbytek posloupnosti pomocí čínské věty o zbytcích .{m1,m2,...,mne}{\ displaystyle \ {m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {n} \}}0≤X<M{\ displaystyle 0 \ leq x <M}M=∏i=1nemi{\ displaystyle M = \ prod _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}(X(modmi))1≤i≤ne{\ displaystyle (x {\ pmod {m_ {i}}}) _ {1 \ leq i \ leq n}}
• Faktoriální počet  (v) , přičemž konečná posloupnost čísel s představuje celé číslo .(Xne,...,X1){\ displaystyle (x_ {n}, \ ldots, x_ {1})}0≤Xk≤k{\ displaystyle 0 \ leq x_ {k} \ leq k}∑k=1neXk.k!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} .k!}

Systém počítání vláken

Čísla pocházejí z neinjekční transformace T:X→X{\ displaystyle T: X \ až X}

• V reprezentaci q-adic je „jednotková číslice“ dána a posloupnost číslic, kde T je mapa .ϵ(ne)=ne(modq){\ displaystyle \ epsilon (n) = n \, ({\ text {mod}} \, q)}ϵk(ne)=ϵ(Tk(ne)){\ displaystyle \ epsilon _ {k} (n) = \ epsilon (T ^ {k} (n))}T(ne)=(ne-ϵ(ne))/q{\ displaystyle T (n) = ({n- \ epsilon (n)}) / q}
• Pokračování čísel znázornění v pokračujících zlomcích pochází z aplikace Gauss .ϵ(X)=⌊1/X⌋{\ displaystyle \ epsilon (x) = \ lfloor 1 / x \ rfloor} T(X)=1/X-ϵ(X){\ displaystyle T (x) = 1 / x- \ epsilon (x)}

Poznámky a odkazy

1. „  Numbers in Wolof  “ , na www.omniglot.com (přístup 10. ledna 2020 )
2. Tuxy Varman | , "  Postavy Khmer  " , na Srok khmerské - Naučte khmerské ,28. listopadu 2014(zpřístupněno 10. ledna 2020 )
3. „  Numbers in Nahuatl  “ , na www.omniglot.com (přístup 10. ledna 2020 )
4. „  Numbers in Lote  “ , na www.omniglot.com (přístup 10. ledna 2020 )
5. „  Numbers in Ngadha  “ , na www.omniglot.com (přístup 10. ledna 2020 )
6. A. Cauty, Specifika předkolumbovského mayského číslování , Paměť lingvistické společnosti v Paříži, Nová řada, svazek XII, 2002, Lovaň (Belgie), Peters, s. 121-147
7. A. Cauty, protractive typ numerations mayské oblasti , Facts jazyků, n o  20, 2002: Střední, Karibik, Amazonie, sv. 1, Paříž, Ophrys, s. 85-93.
8. Michel Rigo, Formální jazyky, Automata a numerické systémy , sv.  2: Applications to Recognizability and Decidability , London / Hoboken, NJ, ISTE / John Wiley & Sons, Inc.,2014.
9. (De) Georg Cantor, „  Ueber die einfachen Zahlensysteme  “ , Zeitschrift für Mathematik und Physik , sv.  14,1869, str.  121-128 ( číst online ).
10. (in) Aviezri S. Fraenkel, „  Systems of Numeration  “ , American Mathematical Monthly , sv.  92, n O  21985, str.  105-114.
11. Valérie Berthé , Christiane Frougny , Michel Rigo a Jacques Sakarovitch , „  The carry propagation of the nástupnické funkce  “, Advances in Applied Mathematics , sv.  120, 2020, Článek n o  102062 ( DOI  10.1016 / j.aam.2020.102062 , arXiv  1907,01464 ).
12. (in) AJ Kempner, „  Abnormal systems of numeration  “ , American Mathematical Monthly , sv.  43, n o  10,1936, str.  610-617 ( DOI  10.2307 / 2300532 ).
13. John Gribbin , Kvantová fyzika , 2 th ed., Pearson Education, 2007 ( ISBN  978-2-7440-7263-5 ) , str.  57 .
14. Charles-Ange Laisant , „  O faktoriálním číslování, aplikaci na permutace  “, Bulletin Mathematical Society of France , sv.  16,1888, str.  176-183 ( číst online ).

Podívejte se také

Související články

• Digitální kanál
• Číslování
• Římské číslo
• Počet lesů
• Ostrowski počítat
• Poziční notace
• Základní (aritmetický)
• Unární systém
• Čísla ve francouzštině
• Arabské číslice
• Čísla na světě
• Seznam čísel
• Vicesimální systém
• Ordinální systém
• Šifry mnichů
• Historie starého digitálního systému  (in)
  • Prehistorický počet  (v)
  • Australský domorodý digitální systém  (en)
  • Počítání hůl

externí odkazy

• ČÍSLA: kuriozity, teorie a použití na stránkách Gérarda Villemina (počítání základen)
• Číslování
• Základní převodník na webu Nice-Sophia-Antipolis University
• Software pro objevování číslovacích systémů [1] na webu Michela Ramuse