Aritmetický

Aritmetika je odvětví matematiky , která je věda o číslech .

Aritmetika je omezena na zahájení studia vlastností přirozených čísel , celých čísel a racionálních čísel (jako zlomky ) a vlastností operací s těmito čísly. Tradiční aritmetické operace jsou sčítání , dělení , násobení a odčítání . Tato disciplína byla poté rozšířena zahrnutím studia dalších čísel, jako jsou reálná (ve formě neomezeného desetinného rozšíření ), nebo dokonce pokročilejší pojmy, jako je umocňování nebo druhá odmocnina . Aritmetika je způsob, jak formálně zastupovat - to je, „code“ - čísla (v podobě seznamu čísel, například); a (díky této reprezentaci) definovat základní operace: sčítání, násobení atd.

Dějiny

Etymologie slova aritmetiky je založen na starověké řecké ἀριθμός ( arithmos ), což znamená, že číslo .

Původ aritmetiky se zdá být fénickým vynálezem . V Pythagorova škola ve druhé polovině VI tého  století  před naším letopočtem. AD , aritmetika byla spolu s geometrií , astronomií a hudbou jednou ze čtyř kvantitativních nebo matematických věd ( Mathemata ). Ty byly rozděleny do sedmi svobodných umění podle Martianus Capella ( V -tého  století) a přesněji označena jako quadrivium od Boethius . Ostatní tři obory byly literární ( gramatika , rétorika , dialektika ) a byly předmětem práce Cassiodora a později Alcuina, který jim dal jméno trivium .

Různá aritmetika

Elementární aritmetika

Termín „základní aritmetika“ někdy označuje nejzákladnější formu matematiky, která se naučila na základní škole . Jedná se v podstatě o studium čísel a elementárních operací ( odčítání , sčítání , dělení , násobení ).

Tento termín také označuje základy aritmetických technik. Používané nástroje jsou euklidovské dělení , Euklidovo lemma , Bachet-Bézoutova věta nebo základní věta aritmetiky . Umožňují nám předvést věty jako Wilsonova nebo Fermatova malá věta .

Tímto druhým významem pojmu se zabývá podrobný článek.

Modulární aritmetika

Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) studuje množinu tříd kongruence relativních celých čísel modulo dané celé číslo . Každá třída odpovídá zbytku euklidovského dělení tímto celým číslem a množina je přirozeně poskytována sčítáním a násobením.

Studium této struktury se nazývá modulární aritmetika. Umožňuje zobecnit výsledky elementární aritmetiky. Eulerova věta , která odpovídá v důsledku silnější než Fermat malého teoréma ilustruje zobecnění.

Modulární aritmetika se používá v kryptologii nebo pro konstrukci opravných kódů v počítačové vědě .

Algebraická teorie čísel

Mnoho otázek zůstává nezodpovězeno, dokonce is modulárními aritmetickými technikami. Příklady pocházejí z diofantických rovnic , to znamená z rovnic, jejichž koeficienty jsou celá čísla a jejichž požadovaná řešení jsou celá čísla. Jedna metoda spočívá v rozšíření množiny celých čísel na novou strukturu zvanou kruh algebraických celých čísel , jako je tomu u Gaussových celých čísel .

Studium těchto struktur, obecnějších než u modulární aritmetiky, která je omezena na euklidovské prstence , představuje první kapitolu algebraické teorie čísel .

Polynomiální aritmetika

Studium aritmetiky ve smyslu celých čísel předpokládá ustavení vět. Tyto věty jsou demonstrovány pomocí technik, které nejsou omezeny na celá čísla. Stejný přístup je možné použít i na jiných strukturách, jako jsou polynomy . Studiem cyclotomic polynomů , Gauss podaří najít nový pravidelný polygon constructible s pravítkem a kompasem , z 17 stran.

Jeho přístup je aritmetický , z tohoto důvodu mluvíme o polynomiální aritmetice.

Sady používané v aritmetice

Součet čísel byl rozdělen do různých sad . Nejznámější jsou:

• NE{\ displaystyle \ mathbb {N}} : sada přirozených čísel ( ).0;1;2;3;4;5; atd.{\ displaystyle 0; \, 1; \, 2; \, 3; \, 4; \, 5; {\ mbox {atd.}}}
• Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} : sada relativních celých čísel ( ).-12;-2;0;5;6; atd.{\ displaystyle -12; \, - 2; \, 0; \, 5; \, 6; {\ mbox {atd.}}}
• D{\ displaystyle \ mathbb {D}} : sada desetinných čísel , to znamená napsaná ve formě kvocientu relativního celého čísla a kladné síly 10, to znamená, že x je relativní celé číslo an je celé číslo ( , atd.).X10ne{\ displaystyle {\ frac {x} {10 ^ {n}}}}-510,0,13100,1010{\ displaystyle {\ tfrac {-5} {10}}, \, 0, \, {\ tfrac {13} {100}}, \, {\ tfrac {10} {10}}}
• Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}} : sada racionálních čísel , to znamená čísel, která lze zapsat jako kvocient (výsledek dělení) dvou relativních celých čísel. Nastavením dělení může být ve výsledku za desetinnou čárkou nekonečno číslic, ale tyto číslice se nakonec budou opakovat; v tomto případě říkáme, že desetinné zápisy jsou periodicky neomezené .(13;-513;227 atd.){\ displaystyle \ left ({1 \ nad 3}; \, - {5 \ nad 13}; {22 \ nad 7} {\ mbox {atd.}} \ vpravo)}
• R{\ displaystyle \ mathbb {R}} : množina reálných čísel , která měří všechny vzdálenosti mezi dvěma body přímky, které lze považovat za limity racionálních čísel a které lze zapsat číslicemi za desetinnou čárkou, ale číslice se již nemusí nutně opakovat ( , , atd.).π{\ displaystyle \ pi}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}
• VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} : komplexní čísla ve tvaru, kde xay jsou reálná a imaginární .X+iy{\ displaystyle x + iy}i{\ displaystyle i}i2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}

Některé z těchto sad jsou podmnožinami ostatních; všechny prvky patří také , např. Ale naopak, prvek není nutně prvkem . Tyto sady mohou být reprezentovány soustředných kruhů: nejmenší je , následuje , , , a . NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}D{\ displaystyle \ mathbb {D}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

Je možné uvažovat pouze o části sady. Označíme tedy množinu kladných čísel . Podobně označíme soukromou množinu 0. Všimli jsme si mimo jiné toho a toho (je „soukromý z“ ). R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Z+=NE{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} = \ mathbb {N}}Z∖NE=Z-∗{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ mathbb {N} = \ mathbb {Z} _ {-} ^ {*}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Vlastnosti

Mnoho celých čísel má speciální vlastnosti. Tyto vlastnosti jsou předmětem teorie čísel . Z těchto konkrétních čísel jsou prvočísla pravděpodobně nejdůležitější.

prvočísla

To je případ takzvaných prvočísel . Jedná se o přirozená čísla, která mají pouze dva odlišné kladné dělitele, jmenovitě 1 a sebe. Prvních deset prvočísel je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 a 29. Celé číslo 1 není prvočíslo, protože nemá dva odlišné kladné dělitele, ale pouze jednoho, konkrétně sebe. Prvočísel je nekonečno. Dokončením mřížky o velikosti 10 × 10 s prvními 100 nenulovými přirozenými celými čísly a vyškrtnutím těch, která nejsou prvočísla, získáme prvočísla patřící k {1,…, 100} procesem nazývaným síto Eratosthenes , pojmenovaný po řeckém učenci, který jej vynalezl .

Sudá a lichá čísla

Přirozená čísla lze rozdělit do dvou kategorií: sudá a lichá .

I celé číslo je násobkem 2, a proto může být napsán s . Liché číslo není násobkem 2 a lze s ním psát . ne{\ displaystyle n}ne=2k{\ displaystyle n = 2 \, k}k∈NE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}ne{\ displaystyle n}ne=2k+1{\ displaystyle n = 2 \, k + 1}k∈NE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}

Ukážeme, že jakékoli celé číslo je sudé nebo liché, a to pro jedinečné  : označujeme . k{\ displaystyle k}∀ne∈NE∃!k∈NE(ne=2k∨ne=2k+1){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ existuje! k \ in \ mathbb {N} \ quad \ left (n = 2 \, k \ lor n = 2 \, k + 1 \ right) }

Prvních šest sudých celých čísel je 0, 2, 4, 6, 8 a 10. Prvních šest lichých celých čísel je 1, 3, 5, 7, 9 a 11.

Poznámky a odkazy

1. Encyklopedický slovník Quillet , sv. AD, str.  117.
2. Hervé Lehning, Veškerá matematika na světě , Paříž, Flammarion,2017, 446  s. ( ISBN  978-2-08-135445-6 , upozornění BnF n o  FRBNF45340842 ) , s.  135.
3. Pascal Mueller-Jourdan , Zasvěcení do filozofie pozdního starověku: lekce od Pseudo-Elias , Fribourg, Éditions du Cerf ,2007, 143  s. ( ISBN  978-2-204-08571-7 , upozornění BnF n o  FRBNF41210863 , číst online ) , s.  73.

Podívejte se také

Související články

• Intervalová aritmetika
• Počítačová aritmetika
• Peano aritmetika
• Nasycená aritmetika
• Asociativita
• Komutativita
• Distribuce
• Pořadí operací

Bibliografie

Matematika

• Daniel Perrin , „  Kurz číslo 6: Aritmetika a kryptografie  “ , na katedře matematiky v Orsay ,2010
• Jean-Pierre Serre , aritmetický kurz ,1970[ detail vydání ]

Filozofie

• Gottlob Frege , Základy aritmetiky , 1884
• Richard Dedekind , Byl sind und sollen die Zahlen? , 1888
• Edmund Husserl , Filozofie aritmetiky  (en) , 1891