Sexagesimal systém je číslo systém pomocí základny 60 .
Na rozdíl od většiny ostatních digitálních systémů se sexageimální systém nepoužívá v informatice nebo čisté logice, ale je vhodný pro měření úhlů a zeměpisných souřadnic. Standardní jednotkou sexagesimálu je stupeň (360 stupňů), poté minuta ( 60 minut = 1 stupeň ) a poté druhá (60 sekund = 1 minuta ). Moderní využití sexagesimálu je docela podobné jako u měření času, ve kterém je 24 hodin denně, 60 minut za hodinu a 60 sekund za minutu. Moderní měřítko času zaobleně odpovídá době rotace Země (dny) a její revoluce (rok). Časy, které jsou menší než jedna sekunda, se měří desetinnou soustavou .
Sexageimální notace je také známá jako DMS (Degree-Minute-Second), zatímco desítková notace je známá jako DD (decimal degree).
Základna 60 používá 60místné symboly, obecně označené 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, ..., 59 jako číslo lze napsat (1,56,24) a bude se skládat ze tří číslic: 1, 56 a 24 a ne 5 .
V šedesátkové soustavě se zdá, že byly použity poprvé strany Sumerové ve III th tisíciletí před naším letopočtem. BC pak na II th tisíciletí před naším letopočtem. AD , prostřednictvím Babyloňané , kteří vynalezli mezopotámské číslování , o čemž svědčí i Plimpton 322 tablet .
Měření času v Číně sleduje čínský sexagesimální cyklus mezi lety 1191 a 1154 před naším letopočtem. J.-C ( dynastie Shang ).
Kalendář Hind se provádí od té doby 3102 před naším letopočtem. AD . Používali jej také indiáni, kteří si jej mohli půjčit od starověkých Řeků a kteří jej používali po Alexandrově době . V Indii byla pozice sexageimální číslice označována jako ouss ; nás stupně byla nulová, v souladu s al-Maridini. V Indii se podle al-Maridiniho doporučuje použití sexageimální nuly, aby se neztratila pozice číslic.
Systém sexagesimal byl také používán v arabské kultuře, která si jej vypůjčila z indické kultury, v době al-Maridini.
Hodně ho používali řečtí astronomové a geografové, jako Ptolemaios nebo Theon z Alexandrie , kteří nám nechali metodu pro výpočet druhé odmocniny čísel zapsaných v sexagesimálním systému. Následně, to bylo také používáno v arabsko-muslimském světě během Umayyad dynastie , a to zejména ve verzích ZIJ uzbeckých matematik Al-Khwarizmi , dnes známá jako „indický stole“, a evropskými matematici jako Fibonacci .
Ptolemaios nebo Theon používali sexageimální systém pouze pro dílčí opatření jednoty.
Vlivy sexageimálního systému byly schopny přetrvávat po dlouhou dobu v každodenním i obchodním životě, zejména u některých denominací, jako je unce , pětina , tucet , půl tuctu a německý Schock.
Dnes je tento starý a akceptovaný sexageimální systém široce používán pro počítání minut a sekund díky síle svého ukotvení, a to navzdory určitým návrhům na použití desetinných systémů.
Pojednání uváděné al-Maridinim obsahuje deset kapitol vztahujících se k následujícím tématům: sčítání, odčítání, sexageimální multiplikační tabulka pojmenovaná podle důvodu poměru sexagesimal a důvodu, pro který byla vypracována, určení druhu produktu množení, násobení složených veličin, druhy dělení a výsledek dělení, extrakce kořenů, důkaz a interpolace.
Podle některých esoterických aspektů by Hoang-ti pojal sexageimální cyklus postav a dvanáct hudebních tónů.
Některé národy, jako například Vietnamci , počítají své falangy palci; palec se posouvá přes tři falangy ostatních čtyř prstů nebo dvanáct falangů.
Pokud pro držáky použijeme také prsty druhé ruky, máme pět držáků, tj. 5 × 12 = 60 čísel . Podle historika výpočtů Georgese Ifraha můžeme předpokládat, že odtud pochází základní číslo 60 .
Použijeme-li falangy druhé ruky pro omezení, tj. 12 falangů, máme 12 × 12 = 144 čísel , což umožňuje na jeho prstech počítat až 144 + 12 = 156 .
Bylo navrženo několik důvodů pro sexagesimální systém:
Základna 60 má mnohem více dělitelů (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60) než základna 10 (1, 2, 5 a 10) a šedesát je nejmenší dělitelný počet oběma 1, 2, 3, 4, 5 a 6. To mohla být obrovská výhoda, dokud nebyl znám současný algoritmus dělení.
Toto číslování skončilo následováním následujících civilizací a dnes se používá pouze pro konkrétní účely, jako je rozdělení hodin a stupňů na minuty a sekundy. Matematické vlastnosti, pokud by mohly být zanedbávány a více či méně nerozpoznány, zůstávají nezměněny.
Se zevšeobecněním pozičního desetinného číslování však tato funkce ztratila velkou část svého významu. Například v průmyslu nebo sektoru služeb jsou časy někdy vyjádřeny v desetinách hodiny (poradenské společnosti) nebo v setinách hodiny (průmyslové načasování). Navzdory pokusům o zavedení desetinného systému pokračuje používání sexageimálních dílčích hodin hodiny kvůli jejich velkému starověku a jejich univerzálnosti. Podobně se stupeň úhlu nebo oblouku někdy dělí na setiny, nikoli na minuty a sekundy (viz převody níže).
Babyloňané používali tabulky inverzí. Například :
1/2 = 0 + 30/60 1/3 = 0 + 20/60 1/4 = 0 + 15/60 1/5 = 0 + 12/60 1/6 = 0 + 10/60 1/8 = 0 + 7/60 + 30 / 60² 1/9 = 0 + 6/60 + 40 / 60² 1/10 = 0 + 6/60 1/12 = 0 + 5/60 1/15 = 0 + 4/60 1/20 = 0 + 3/60 1/30 = 0 + 2/60 1/40 = 0 + 1/60 + 30 / 60² 1/60 = 0 + 1/60Obecněji řečeno, Babylóňané neznali desetinná místa, nebylo to napsáno, bylo to implicitní. Jak víme, 75ml láhev obsahuje jak tři čtvrtiny litru, tak 75 centilitrů, nebo že 75% jsou tři čtvrtiny.
Jednou z vlastností je, že čísla, která lze zapsat jako mocninu 3, 4 (nebo 2) a 5, jsou invertibilní.
Výpočet inverze spočívá v nalezení čísla, s nímž bude produkt mocninou 60 - v našem příkladu 3600 -. Pro čísla, jejichž prvočíselné faktory jsou 2, 3 a 5, je tato inverze správná. Lze jej vypočítat tak, že se v hledaném počtu (vzadu) zohlední faktory, které se neberou v úvahu, včetně původního počtu, s vědomím, že 3600 = 9 × 25 × 16.
Inverzibilita a faktorizace| Číslo | Zvrátit | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Faktory | N (desítkově) |
N (sexagesimal) |
I (sexagesimal) |
I (desítkově) |
Desetinný zlomek |
Faktory |
| 1 | 1 | 1 | 1 00 00 | 3600 | 1.0 | 9 × 25 × 16 |
| 2 | 2 | 02 | 30 00 | 1800 | 0,5 | 9 × 25 × 8 |
| 3 | 3 | 03 | 20 00 | 1200 | 0,333333 ... | 3 × 25 × 16 |
| 4 | 4 | 04 | 15 00 | 900 | 0,25 | 9 × 25 × 4 |
| 5 | 5 | 05 | 12 00 | 720 | 0.2 | 9 × 5 × 16 |
| 2 × 3 | 6 | 06 | 10 00 | 600 | 0,1666666 ... | 3 × 25 × 8 |
| 8 | 8 | 08 | 07 30 | 450 | 0,125 | 9 × 25 × 2 |
| 9 | 9 | 09 | 06 40 | 400 | 0,1111111 ... | 25 × 16 |
| 2 × 5 | 10 | 10 | 06 00 | 360 | 0,1 | 9 × 5 × 8 |
| 4 × 3 | 12 | 11 | 05 00 | 300 | 0,08333333 ... | 3 × 25 × 4 |
| 5 × 3 | 15 | 15 | 04 00 | 240 | (...) | 3 × 5 × 16 |
| 16 | 16 | 16 | 03 45 | 225 | 0,0625 | 9 × 25 × 1 |
| 2 × 9 | 18 | 18 | 03 20 | 200 | (...) | 25 × 8 |
| 5 × 4 | 20 | 20 | 03 00 | 180 | 0,05 | 9 × 5 × 4 |
| 3 × 8 | 24 | 24 | 02 30 | 150 | (...) | 3 × 25 × 2 |
| 25 | 25 | 25 | 02 12 | 132 | 0,04 | 9 × 16 |
| 5 × 3 × 2 | 30 | 30 | 02 00 | 120 | 0,0333333 ... | 3 × 5 × 8 |
| 5 × 3 × 4 | 60 | 100 | 01 00 | 60 | 0,01666666 ... | 3 × 5 × 4 |
Poznámka ke čtení:
| ||||||
Poznámka k výpočtu:
| ||||||
Zeměpisné souřadnice jsou často udávány ve stupních (1/90 pravého úhlu), minutách oblouku (1/60 stupně) a sekundách oblouku (1/60 minuty oblouku), což pro počítače není nepříjemné které fungují v binárním formátu. Počítačovým vědcům se však někdy zdá, že je sexageimální systém nepraktický, a aniž by šli tak daleko, že používají známky (známka je 1/100 pravého úhlu), raději převádějí minuty a sekundy na desetinné zlomky stupně (my běžně se v tomto případě používá výraz „desetinné stupně“, hrozí nebezpečí záměny s platovými třídami).
Obecná formulace: zeměpisná šířka (desetinné stupně) = stupně + (minuty / 60) + (sekundy / 3600)
Příklad: Zvažte zeměpisnou šířku 45 ° 54 '36 "(45 stupňů, 54 minut a 36 sekund).
Zeměpisná šířka, vyjádřená ve stupních a desetinném zlomku stupně, bude: zeměpisná šířka = 45 + (54/60) + (36 / 3600) = 45,91 °
Příklad: nechte zeměpisnou délku 121,136 °.