Fomeniův endomorfismus

V matematice se Frobenius endomorphism , pojmenovaný na počest Georg Ferdinand Frobeniova , je endomorphism z komutativní prsten sady přirozeným způsobem podaná typické .

Používá se zejména v souvislosti s Galoisovou teorií nebo v případě nenulové charakteristiky těla a konkrétněji v případě konečných polí a teorie třídních polí . Pokud je tělo konečné, pak jde o automorfismus .

Obvykle se používá v algebraické teorii čísel , například pro demonstraci zákona kvadratické reciprocity .

Definice

Nechť A je jednotkový komutativní kruh obsahující jako charakteristické je prvočíslo p > 0. Frobenius endomorphism je mapa definovaný:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} Frob_ {A} &: & A & \ to & A \\ && x & \ mapsto & x ^ {p} \ end {matrix}}}

To je často známé Frob A , nebo Frob, pokud neexistuje dvojznačnost.

Frobenius prvkem je síla frobeniův endomorfismus pro složení právem map .
Frobenius automorphism označuje frobeniův endomorfismus pokud je bijective .

Pokud je Frobeniova endomorfismus bijektivní, sada prvků Frobenius tvoří podskupinu cyklickou ze skupiny bijekcí prstenu - podskupinu generovanou Frobeniovem automorfismem - proto má následující definici:

V případě, že je endomorfismus Frobenius bijektivní, je skupina Frobenius souborem Frobeniových prvků opatřených zákonem o složení map.

Vlastnosti

Morfismus

Frobeniova endomorfismus je prstencový morfismus.

Dvě multiplikativní vlastnosti jsou způsobeny skutečností, že prsten je komutativní (a jednotný ):

{\ displaystyle \ forall a, b \ v A \ quad Frob_ {A} (ab) = (ab) ^ {p} = a ^ {p} b ^ {p} = Frob_ {A} (a) Frob_ {A } (b) {\ text {and}} Frob_ {A} (1) = 1 ^ {p} = 1.}

U vlastnosti aditiv vycházíme z Newtonova binomického vzorce :

{\ displaystyle \ forall a, b \ v A \ quad (a + b) ^ {p} = \ součet _ {k = 0} ^ {p} {p \ zvolit k} a ^ {pk} b ^ {k }.}

Protože p je prvočíslo, dělí všechny binomické koeficienty kromě prvního a posledního ( viz Dělitele a Binomické koeficienty ). Tato vlastnost umožňuje uzavřít:

{\ displaystyle \ forall a, b \ v A \ quad Frob_ {A} (a + b) = (a + b) ^ {p} = a ^ {p} + b ^ {p} = Frob_ {A} ( a) + Frob_ {A} (b)}

Injektivita a surjektivita

V případě, že kruh je integrální pak Frobenius endomorphism je injective .

Ve skutečnosti, pokud je prsten integrální, pak neobsahuje žádný dělitel nuly , proto je síla prvku nulová právě tehdy, je-li tento prvek nulový.

Jakákoli injekce konečné množiny, která je sama o sobě surjekcí (tedy permutací ), odvodíme:

Pokud je kruh A integrální a konečný, je endomorfismus bijektivní.

Pevný bod

Primární pole obsažené v kruhu A je konečné pole s p elementy, F p = ℤ / p ℤ . Podle k Malá Fermatova věta , jeho prvky jsou pevně by FROB A :

{\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {F} _ {p} \ quad Frob_ {A} (a) = a ^ {p} = a.}

Jakýkoli prvek hlavního tělesa je invomiantní Frobeniově endomorfismem.

V případě, že kruh je integrální, polynom X P - X nemůže mít více kořenů, než s odchylkou. Proto má přesně jako kořeny prvky svého primárního těla.

Pokud je prstenec integrální, jediné pevné body Frobeniova endomorfismu jsou prvky hlavního těla.

Dalším důsledkem je následující skutečnost:

Frobeniova endomorfizmus je lineární endomorphism z F p - vektorový prostor A , která je:

{\ displaystyle \ forall \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {F} _ {p} \; \ forall u, v \ in A \ quad Frob_ {A} (\ alpha u + \ beta v) = \ alpha Frob_ {A} (u) + \ beta Frob_ {A} (v).}

Pro A rovnající se kruhu polynomů s koeficienty ve F p dává tato linearita pozoruhodnou identitu:

{\ displaystyle \ forall P (X) \ in \ mathbb {F} _ {p} [X] \ quad (P (X)) ^ {p} = P (X ^ {p}).}

Galoisova teorie

V případě komutativních polí nenulové charakteristiky se Frobeniova endomorfismus jeví jako prvek skupiny Galois, když je bijektivní, zejména proto, pokud je pole konečné.

Konečného pole F p n je Galoisovo rozšíření ze studia n z F p , jehož Galois skupina (z řádu n ) se redukuje na skupinu Frobeniova. Subfield prvků invariantu o Frobeniova elementu objednávky k je tedy F p m , kde m je rovno n / k. Všechny tyto vlastnosti jsou demonstrovány v článku o konečných polích.

V případě nekonečných rozšíření hrají hlavní roli také prvky Frobenius. Používají se zejména k pochopení toho, jak se hlavní ideály rozkládají v abelianských rozšířeních .

Aplikace

Aplikace jsou četné, endomorfismus Frobenius se jeví jako základní nástroj pro analýzu integrálních prstenců s charakteristikou p, pokud je p prvočíslo. Jako příklad můžeme uvést analýzu oddělovatelnosti nebo dokonce analýzu minimálních polynomů v konečném poli.

Polynom a oddělitelnost

Polynom s koeficienty v komutativním poli se říká, že je oddělitelný, pokud nepřipouští více kořenů ve svém poli rozkladu , a toto pole je považováno za dokonalé, pokud jsou oddělitelné všechny jeho neredukovatelné polynomy . Cílem této části je dokázat větu:

Komutativní pole nenulové charakteristiky je dokonalé právě tehdy, je-li jeho Frobeniova endomorfismus surjektivní.

z čehož lze odvodit následující důsledek, vzhledem k tomu, že Frobeniova endomorfismus jakéhokoli konečného pole je surjektivní (tento endomorfismus je dobře definován, protože takové pole je podle wedderburské věty komutativní ):

Každé hotové tělo je perfektní.

Než se omezíme na případ pole, můžeme si všimnout, že pro každý komutativní prstenec A s charakteristikou prvočíslo p má prsten A [ X ] také charakteristiku p . Endomorfismus Frob A [ X ] je proto definován (a injektivní, pokud je A integrální). Jeho obraz se skládá z polynomů formy Q ( X p ) s Q polynomem s koeficienty v obraze Frob A , protože

{\ displaystyle \ forall (a_ {i}) \ v A ^ {n + 1} \ quad \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i} \ right) ^ {p} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} ^ {p} X ^ {pi}.}

Předpokládejme nyní, že A je komutativní pole s charakteristikou p > 0.

Pokud je Frob A surjektivní, ukážme, že A je perfektní. Nechť P být ireducibilní polynom nad A . Je proto není p tého síla , to znamená, že podle toho, co předchází, neexistuje polynom Q , s koeficienty v obrazové A z FROB A , tak, že P ( X ) = Q ( X p ) . S vědomím, že P je neredukovatelný, to dokazuje, že je oddělitelné .
Naopak, pokud je perfektní, ukazují, že FROB surjective, to znamená, že vše, co má na má kořen w tý v A . Uvažujme polynom P ( X ) = X p - a , ar kořen v lomovém poli . Pak ( X - r ) p = P ( X ) proto P ( X ) není oddělitelné, tedy ani neredukovatelné (protože A je dokonalé), tj. Existuje celé číslo k , přesně chápané mezi 0 a p , takže ( X - r ), k je s koeficienty v A . Od r k ∈ a r p ∈ odvodíme, podle věty o Bezout : r ∈ .

Minimální polynomiální a konečné pole

Frobeniusův automorfismus umožňuje stanovení všech unitárních polynomů s koeficienty v F p nereedukovatelným a stupněm menším nebo rovným n . Jedná se o minimální polynomy nad F p prvků konečného pole F q s q = p n . Každé minimální polynom elementu F q se objeví pouze jednou v polynomu X q - X . V důsledku toho jakýkoli neredukovatelný polynom kromě X rozděluje cyklotomický polynom . Sada konjugátů prvku F q je oběžná dráha tohoto prvku pod působením skupiny Frobenius.

Poté je možné přesně určit počet neredukovatelných jednotkových polynomů stupně n . Mezi nimi jsou primitivní polynomy, tj. Každý kořen, který je generátorem multiplikativní skupiny F q *, φ ( q - 1) / n , kde φ označuje Eulerovu indikatrix .

Podívejte se také

Bibliografie

Pierre Samuel , Algebraická teorie čísel [ detail vydání ]
Jean-Pierre Serre , aritmetický kurz ,1970[ detail vydání ]
Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]
G. Heuzé, O konečných polích , Matematika a humanitní vědy, 1974
André Warusfel , Konečné algebraické struktury , Hachette University, 1971

externí odkazy

„ Algebraické a aritmetické geometrické kódy na konečných polích “ , Dny X - UPS ,1993
„ Hotová těla “ , na www.gpeyre.com/ob Objectifagregation
„ Podpis a hotové tělo “ , na adrese www.gpeyre.com/ob Objectifagregation