Normální endomorfismus
Normální endomorfizmus je operátor z prostoru Hilbertova která dojíždí s jeho doplněk .
Definice
Nechť H je Hilbert prostor (reálnou nebo komplexní) a u endomorphism z H , sousedící u *. Říkáme, že u je normální, když
u∘u∗=u∗∘u.{\ displaystyle \ u \ circ u ^ {*} = u ^ {*} \ circ u.}
Příklady
Vlastnosti
- Když má Hilbert H konečnou dimenzi (jinými slovy, je-li to euklidovský prostor nebo hermitovský prostor ), u je normální právě tehdy , je-li jeho matice v ortonormálním základě normální maticí .
- Když H je hermitovský prostor, je endomorfismus H normální (pokud a), pouze pokud je diagonalizovatelný na ortonormálním základě .
- Když H je euklidovský prostor, je endomorfismus H normální (pokud a), pouze pokud se jedná o přímý ortogonální součet homothetií a rovinných podobností.
- Když H má konečnou dimenzi, je-li vektorový podprostor F stabilní normálním operátorem u, je stabilní také jeho ortogonál (nebo co se rovná: F je stabilní u *).
-
u je normální v případě, a pouze v případě, pro jakýkoli vektor x z H , ║ u ( x ) = ║ ║ u * ( x ) ║.
- Libovolný vlastní vektor pro normálního operátora u , pro vlastní číslo λ, je také vlastní vektor pro u *, pro vlastní číslo λ .
- Spektrální poloměr normálního operátora se rovná jeho obsluhy normou .
- Kompaktní operátor u přes komplexní Hilbertova prostoru H je normální (v případě a), pouze v případě, H připouští řádný Hilbertovy základ pro u .
- Kompaktní operátor u nad skutečným Hilbertovým prostorem H je normální (pokud a) pouze v případě, že u je Hilbertův součet homothetií a rovinných podobností.
Komentář bod po bodu:
- vychází ze skutečnosti, že v ortonormální bázi matrice z doplněk z u je doplněk na to u . V euklidovském případě je matice skutečná, proto její doplňkovou maticí je její transponovaná matice .
- se dokazuje indukcí na dimenzi H pomocí 6: je-li λ vlastní hodnota pro u, pak H je přímý součet jádra u -λid H a jeho ortogonálu a u je omezeno na normální operátor na tomto ortogonálu.
- je odvozeno od 2 „procházením komplexů“. Pozor, v euklidovském prostoru není normální endomorfismus vždy diagonalizovatelný (pomyslete na rovinné rotace ). Je to tak tehdy a jen tehdy, jsou-li všechny jeho vlastní hodnoty reálné, to znamená, zda a pouze tehdy, když je to nejen normální, ale samo-přidané .
- se dokazuje například zápisem matice u ve vhodném ortonormálním základě ve formě čtyř bloků včetně jedné nuly, vysvětlením normality u pomocí rovnic na těchto blocích a tím, že blok x je nula co nejdříve protože stopa xx * je. Jinými slovy, ať s být kolmý průmět z H na F , X = pu (1 - p ) a y = až = štěně ; pak x = 0, protože tr ( xx *) = 0, protože xx * = pu (1 - p ) u * p = puu * p - pupu * p = pu * nahoru - yy * = y * y - yy *.
- stane se okamžitým, když si všimneme, že podmínka je ekvivalentní rovnosti dvou kvadratických forem spojených s u * u a uu *.
- se získá z 5 aplikovaných na normální operátor u -λid: má stejné jádro jako jeho doplněk. Tato vlastnost je pro nenulového operátora nepravdivá: v konečné dimenzi můžeme pouze potvrdit, že vlastní čísla adjunktu jsou konjugáty vlastních čísel operátoru, ale s různými vlastními vektory a v nekonečné dimenzi dokonce i tato korespondence mezi vlastními čísly již není ověřen.
- Zvýšení spektrálního poloměru normou je snadná obecná vlastnost. Rovnost (pro normálního operátora) je odvozena z vyjádření spektrálního poloměru operátora z norem jeho sil. Ve skutečnosti nastavením v = u * u máme (je-li u normální) nebo pro všechna n je v n samo-přidáno, takže norma jejího čtverce se rovná čtverci její normy, zejména pro n, které jsou mocniny 2, takže v posledním limitu výše je odpovídající subsekvence konstantní a má hodnotu ║ v ║ 1/2 = ║ u ║. V konečné dimenzi je z 2 (resp. 3) odvozen elementárnější důkaz: ρ ( u ) = k je zde roven největšímu z modulů (komplexních) vlastních čísel u , protože libovolný vektor x je součet vektorů x i ortogonální dva po dvou, a jejichž obrazy, také ortogonální, splňují , máme , proto d'où u ║ ≤ k .ρ(u)=limne→∞‖une‖1/ne=limne→∞‖(une)∗une‖1/(2ne)=limne→∞‖protine‖1/(2ne),{\ displaystyle \ rho (u) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | u ^ {n} \ | ^ {1 / n} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | (u ^ {n}) ^ {*} u ^ {n} \ | ^ {1 / (2n)} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | v ^ {n} \ | ^ {1 / (2n) },}‖u(Xi)‖≤k‖Xi‖{\ displaystyle \ | u (x_ {i}) \ | \ leq k \ | x_ {i} \ |}‖u(X)‖2=∑‖u(Xi)‖2≤∑k2‖Xi‖2=k2‖X‖2{\ displaystyle \ | u (x) \ | ^ {2} = \ součet \ | u (x_ {i}) \ | ^ {2} \ leq \ součet k ^ {2} \ | x_ {i} \ | ^ {2} = k ^ {2} \ | x \ | ^ {2}}
- zobecnit 2 a inspirovat se jím: nenulové spektrální hodnoty kompaktního operátoru u jsou (nanejvýš) spočitatelné a jsou vlastní čísla. Pokud je navíc u normální, iterací 2 dokážeme, že H je Hilbertův součet přidružených vlastních prostorů a ortogonální F tohoto součtu. Omezení od u do F je pak normálním operátorem spektrálního poloměru 0, takže je nula podle 7.
- je odvozeno od 8, protože 3 je odvozeno od 2 (a stejným způsobem existuje Hilbertianův základ skutečného Hilberta H vlastního pro u právě tehdy, když kompaktní operátor u je nejen normální, ale autoadjoint).
Související články
-
Spojitý funkční počet (en)
-
Theorem Fuglede (en)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">