Pseudometrický prostor

V matematice , je pseudometrický prostor je sada vybavena pseudometric . Jde o zobecnění pojmu metrický prostor .

Ve vektorovém prostoru , stejně jako norma indukuje vzdálenost , polonorma indukuje pseudometrickou. Z tohoto důvodu se ve funkční analýze a souvisejících matematických disciplínách používá termín semimetrický prostor jako synonymum s pseudometrickým prostorem (zatímco „ semimetrický prostor “ má v topologii jiný význam).

Definice

Pseudometric na sadě je aplikace $X$

{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ krát X \ až \ mathbb {R} _ {+}}

tak, že za všechno , ${\ displaystyle x, y, z \ v X}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, x \ right) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = \ mathrm {d} \ left (y, x \ right)}$ (symetrie);
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ vlevo (x, z \ vpravo) \ leq \ mathrm {d} \ vlevo (x, y \ vpravo) + \ mathrm {d} \ vlevo (y, z \ vpravo)}$ ( trojúhelníková nerovnost ).

Jinými slovy, pseudometrický je odchylka s konečnou hodnotou.

Pseudometrický prostor je soubor opatřen pseudometric jeden.

Na rozdíl od bodů metrického prostoru nemusí být body pseudometrického prostoru nutně rozeznatelné - to znamená, že jeden může mít odlišné body . ${\ mathrm d} (x, y) = 0$ $x \ ne y$

Příklady

Pokud je odchylka na množině , pak je pseudometrická ; ${\ mathrm d}$ $X$ ${\ displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}$ $X$
Pokud je polonormou nad vektorovým prostorem , pak je pseudometrický . Naopak, každá homogenní translační invariantní pseudometrika pochází ze semi-normy. Konkrétním příkladem takové situace je vektorový prostor funkcí se skutečnými hodnotami : výběrem bodu můžeme definovat pseudometrický znak pomocí . $p$ $PROTI$ ${\ mathrm d} \ left (x, y \ right) = p \ left (xy \ right)$ $PROTI$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ v X$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (f, g \ right) = | f \ left (x_ {0} \ right) -g \ left (x_ {0} \ right) |}$

Pseudometrická topologie spojená s pseudometrickou je ta, která je indukována množinou otevřených koulí : ${\ mathrm d}$

{\ displaystyle B_ {r} \ vlevo (p \ vpravo) = \ {x \ v X \ mid \ mathrm {d} \ vlevo (p, x \ vpravo) <r \}}

O topologickém prostoru se říká, že je „pseudometrizovatelný“, pokud existuje pseudometrický, jehož přidružená topologie se shoduje s topologií prostoru.

Poznámka: Prostor je metrizovatelný, pokud (a pouze pokud) je pseudometrizovatelný a T 0 .

Metrická identifikace

Kvocientem pseudometrického prostoru vztahem nulové ekvivalence pseudometrického získáme metrický prostor . Přesněji definujeme

{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = 0}

a dostaneme vzdálenost k nastavením: ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}$ $X ^ {*} = X / \ sim ~$

{\ mathrm d} ^ {{*}} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = {\ mathrm d} \ left (x, y \ right)

Topologie metrického prostoru je topologie kvocientu z . ${\ displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}$ ${\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}$

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Pseudometrický prostor “ ( viz seznam autorů ) .

(in) „ Pseudometrická topologie “ na PlanetMath .

Bibliografie

(en) AV Arkhangelskii a LS Pontryagin , obecná topologie I , Springer ,1990, 202 s. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
(en) Eric Schechter (en) , Příručka pro analýzu a její základy , Academic Press ,1997, 883 s. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , číst online )
Laurent Schwartz , kurz Analýza , roč. 2, Hermann ,devatenáct osmdesát jedna, 475 s. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
(en) Lynn Arthur Steen a J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , Dover ,1995, 244 s. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , číst online ) , s. 34