Cavendishův experiment

Cavendishův experiment Prezentace

Typ	Fyzikální experiment
Použití	Fyzikální měření

Prvotním cílem Cavendish experimentu bylo odhadnout množství Země . Ten, který přímo souvisí s Newtonovou rovnicí , s gravitační konstantou , umožňuje experiment tuto konstantu určit.

Britský fyzik Henry Cavendish si uvědomil, tento zážitek na konci XVIII -tého  století s rovnováhu torzní .

Historický

Jeden z prvních pokusů o určení hmotnosti Země provedl geofyzik Pierre Bouguer . Když byl v Peru , marně se pokusil změřit mírný posun olovnice poblíž sopky . Protože odchylky byly příliš malé, nebylo pro něj možné dosáhnout přesvědčivého výsledku. Pokud jde o něj, Bouguer chtěl měřit hustotu Země.

Stejnou metodu převzali dva Angličané v roce 1775: Nevil Maskelyne a Charles Hutton . Jejich zkušenost se odehrála poblíž hory ve Skotsku a byla přesvědčivá. Odhadli hustotu Země na mezi 4,5 a 5 gramy na kubický centimetr. Nyní se odhaduje na 5 515  g / cm 3 .

Bylo to v roce 1798, kdy Henry Cavendish , pokračující v práci Johna Michella , použil jiný systém, torzní rovnováhu (obrázek naproti), aby přesně určil tuto hustotu.

Torzní rovnováha

Princip torzní rovnováhy je jednoduchý. Cílem je získat systém, který vyvažuje sílu kroucení drátu a sílu gravitační přitažlivosti . Když se soustava dvou koulí vzdaluje ze své rovnovážné polohy o úhel θ, pak za účelem nalezení rovnovážného stavu oscilují kolem své rovnovážné polohy (tlumené oscilace).

Abychom mohli integrovat parametr gravitační přitažlivosti, používáme druhý systém koulí, pevných a s mnohem větší hmotou. Poté systém vstoupí do oscilace, která mu umožní vyrovnat se podle síly přitažlivosti a síly návratu.

Gravitační konstanta

Zápisy

Označíme r vzdálenost mezi malou hmotností m a bodem O. r je tedy konstanta.

Označíme d vzdálenost mezi malou hmotností m a velkou přímo sousedící hmotou M. d je funkce času.

Výpočet

Abychom určili konstantu G, budeme uvažovat o různých interakcích mezi prvky systému:

• tření vzduchu
• Interakce AA 'a BB'
• krouticí síla drátu

Zanedbáme interakční síly AB 'a A'-B, protože jsou zjevně slabší (viz níže).

Rovněž zanedbáme hmotnost ramen váhy.

Nyní použijeme větu o momentu hybnosti  :

dLÓ→dt=∑i=1neMi,Ó→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {L_ {O}}}} {\ mathrm {d} t}} = \ součet _ {i = 1} ^ {n} {\ overrightarrow {{ \ mathcal {M}} _ {i, O}}}}

Zde je moment hybnosti napsán podle definice:

LÓ→=ÓNA→∧pNA→+ÓB→∧pB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OA}}} \ klín {\ vec {p _ {\ mathrm {A}}}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {OB}}} \ klín {\ vec {p _ {\ mathrm {B}}}}}

s (respektive ) hybností v A (respektive B). pNA→{\ displaystyle {\ vec {p _ {\ mathrm {A}}}}}pB→{\ displaystyle {\ vec {p _ {\ mathrm {B}}}}}

Promítnutý na osu kolmou k rovině (rovnoběžně s torzním drátem) přichází:

LÓ=2mr2α˙{\ displaystyle {\ displaystyle {L _ {\ mathrm {O}}} = 2 mr ^ {2} {\ dot {\ alpha}}}}proto dLÓdt=2mr2α¨{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {L_ {O}}} {\ mathrm {d} t}} = 2 mr ^ {2} {\ ddot {\ alpha}}}

Kyvadlo je vystaveno třem silovým momentům:

• Okamžik vyvolávacího páru . C označuje torzní konstantu neboli úhlovou tuhost torzního drátu.

Mi,0rnappEl=-VSα{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {i, 0} ^ {připomenutí} = - C \ alpha}

• Okamžik viskózního tlumicího momentu

Mi,0FrÓtt=-K.α˙{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {i, 0} ^ {frott} = - K {\ dot {\ alpha}}}

• Okamžik dvojice sil A'-A a B'-B

Mi,0FNA′-NA→+Mi,0FB′-B→=2GmMd2r{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {i, 0} ^ {\ overrightarrow {F_ {A'-A}}} + {\ mathcal {M}} _ {i, 0} ^ {\ overrightarrow {F_ {B'-B}}} = 2G {\ frac {mM} {d ^ {2}}} r}

Věta o momentu hybnosti se proto stává:

2mr2α¨+K.α˙+VSα=2GmMd2r{\ displaystyle 2mr ^ {2} {\ ddot {\ alpha}} + K {\ dot {\ alpha}} + C \ alpha = 2G {\ frac {mM} {d ^ {2}}} r}

což je diferenciální rovnice pohybu kyvadla v režimu nuceného oscilace.

Když se systém uvolní, skončí velmi málo kolem své rovnovážné polohy. Můžeme tedy říci, že když má čas sklon k nekonečnu, oscilace jsou relativně slabé, proto následující aproximace:

αFinenal≈VStE⇒α˙Finenal→0⇒α¨Finenal→0{\ displaystyle \ alpha _ {final} \ cca Cte \ Rightarrow {\ dot {\ alpha}} _ {final} \ rightarrow 0 \ Rightarrow {\ ddot {\ alpha}} _ {final} \ rightarrow 0}

který dává konkrétní řešení diferenciální rovnice:

αFinenal=2GmMd2rVS{\ displaystyle \ alpha _ {final} = 2 {\ frac {GmM} {d ^ {2}}} {\ frac {r} {C}}} G=VSd2αFinenal2mMr{\ displaystyle G = {\ frac {Cd ^ {2} \ alpha _ {final}} {2mMr}}}

Aproximační chyby

Do té doby se předpokládalo, že interakce mezi koulemi A'-B a B'-A byla zanedbatelná. Ve skutečnosti to závisí na poměru vzdálenosti mezi velkou sousední sférou a vzdálenou velkou sférou. Za předpokladu, že v těchto vzdálenostech existuje vztah r, můžeme ukázat, že chyba na G má tvar:

ε=(1-hřích⁡θr)2{\ displaystyle \ varepsilon = {\ left (1 - {\ frac {\ sin {\ theta}} {r}} \ right)} ^ {2}}

s

θ=BNAB′^{\ displaystyle \ theta = {\ widehat {BAB '}}}

V praxi dostaneme relativně malou chybu pro r> 10 (hodnoty jsou uvedeny jako nejistota na G):

• r = 5 ε=20,6 %{\ displaystyle \ varepsilon = 20 {,} 6 \ \%}
• r = 10 ε=9,6 %{\ displaystyle \ varepsilon = 9 {,} 6 \ \%}
• r = 20 ε=4,6 %{\ displaystyle \ varepsilon = 4 {,} 6 \ \%}
• r = 50 ε=1,8 %{\ displaystyle \ varepsilon = 1 {,} 8 \ \%}

Cavendish výsledky

Když provedl měření, získal Cavendish velmi dobré výsledky. Zde jsou jeho výsledky ve srovnání s běžně přijímanými hodnotami  :

GCavendish= 6,754×10-11 NE m2 kG-2{\ displaystyle G _ {\ text {Cavendish}} = \ 6 {,} 754 \ krát 10 ^ {- 11} \ {\ rm {N \ m ^ {2} \ kg ^ {- 2}}}} Gpřipustil= 6 674×10-11 NE m2 kG-2{\ displaystyle G _ {\ text {připuštěno}} = \ 6 {,} 674 \ krát 10 ^ {- 11} \ {\ rm {N \ m ^ {2} \ kg ^ {- 2}}}} MCavendish= 5,980×1024 kG{\ displaystyle M _ {\ text {Cavendish}} = \ 5 {,} 980 \ krát 10 ^ {24} \ {\ rm {kg}}} Mpřipustil= 5 974×1024 kG{\ displaystyle M _ {\ text {připuštěno}} = \ 5 {,} 974 \ krát 10 ^ {24} \ {\ rm {kg}}} ρCavendish= 5,48 G vs.m-3{\ displaystyle \ rho _ {\ text {Cavendish}} = \ 5 {,} 48 \ {\ rm {g \ cm ^ {- 3}}}} ρpřipustil= 5,54 G vs.m-3{\ displaystyle \ rho _ {\ text {připuštěno}} = \ 5 {,} 54 \ {\ rm {g \ cm ^ {- 3}}}}

Poznámky a odkazy

• NEDÁVNÉ STUDIE TN GRAVITATION, Prof. John H. Poynting, D. Sc. FRS

p. 199 až 214 z: VÝROČNÍ ZPRÁVA PŘEDSTAVENSTVA SMITHSONSKÉ INSTITUCE, 30. června 1901 https://archive.org/details/annualreportofbo1901smit/page/n6/mode/1up?view=theater

Související články

• Seznam vědeckých experimentů
• Harmonický oscilátor
• Torzní kyvadlo a torzní rovnováha
• Gravitační konstanta

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">