Funkce ohraničené variace

V analýze se říká, že funkce má omezenou variaci, když splňuje určitou podmínku pravidelnosti. Tuto podmínku zavedl v roce 1881 matematik Camille Jordan, aby rozšířil Dirichletovu větu o konvergenci Fourierových řad .

Definice

Nechť f je funkce definovaná na zcela uspořádané množině T a s hodnotami v metrickém prostoru ( E , d ).

Pro všechna dělení σ = ( x 0 , x 1 , ..., x n ) z jakéhokoliv intervalu z T , definujeme V ( f , σ) podle:

PROTI(F,σ)=∑i=1ned(F(Xi-1),F(Xi)).{\ displaystyle V (f, \ sigma) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} d (f (x_ {i-1}), f (x_ {i}))}}

Říkáme celkové variace ve f o T hodnotu V T ( f ) ∈ ℝ definován:

PROTIT(F)=supσPROTI(F,σ).{\ displaystyle V_ {T} (f) = \ sup _ {\ sigma} V (f, \ sigma).}

Říkáme, že f má omezenou variaci, pokud je tato horní hranice V T ( f ) konečná, jinými slovy, jestliže „oblouk“ (ne nutně spojitý) definovaný f je napravitelný ve smyslu Jordan .

Zájem koncepce

Tyto funkce Monotónní tvoří důležitou třídu funkcí v analýze. Má však tu nevýhodu, že není invariantní pro základní algebraické operace: například součet dvou monotónních funkcí nemusí být nutně monotónní. Protože jakákoli funkce s omezenými variacemi je součtem dvou monotónních funkcí a naopak , lze na funkce s omezenými variacemi pohlížet jako na zobecnění monotónních funkcí, ale s výhodou, že sada funkcí s omezenými variacemi je poskytována sčítáním nebo s násobení tvoří kruh  : součet a součin dvou funkcí s omezenými variacemi je s omezenými variacemi.

Vlastnosti

• Celková variace (konečná nebo nekonečná) spojité funkce f na reálném segmentu [ a , b ] není jen horní mezí V ( f , σ), když σ prochází členěním [ a , b ], ale také jejich limit, když krok dělení σ má sklon k 0. Dedukujeme, že pro spojitou funkci s omezenou variací f je mapa t ↦ V [ a , t ] ( f ) spojitá.
• Pokud φ je bijection rostoucí další uspořádaná množina S na T , celková změna f ∘φ na S , je stejná jako u f o T .
• Pro vektor normované prostor E , ohraničené variace funkce tvoří podprostor prostoru funkcí T v E .
• Jakákoli absolutně spojitá funkce F (zejména jakákoli Lipschitzova funkce ) má ohraničenou variaci. Jinými slovy: pokud f je integrovatelná ve smyslu Lebesgueův na intervalu I pak pro v pevné v I , funkci X↦F(X)=∫naXF(t) dt{\ displaystyle x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t} je omezená variace. Vskutku,PROTInaX(F)≤∫naX|F(t)|dt≤∫Já|F(t)| dt.{\ displaystyle V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ zelená ~ \ mathrm {d} t.}
• Nastaví se libovolná funkce s omezenou variací (to znamená jednotný limit řady funkcí schodiště ).
• Funkce s omezenou variací reálného segmentu v ℝ jsou přesně rozdíly dvou zvyšujících se funkcí (takový rozklad f = g - h není zdaleka jedinečný; pokud je f spojitý, lze g a h zvolit spojitý: příkladem h ( t ) = V [ , t ] ( f ) a g = f + h ). Odvodíme, že jejich dis kontinuita jsou nepodstatné a tvoří jeden celek k těm počitatelná a že tyto funkce jsou odvoditelné téměř všude (ve smyslu opatření Lebesgue ), z lokálně integrovatelných derivátů .
• K dispozici jsou odvoditelné funkce s nekonečnou celkové variace, jako je například funkce f definována na [-1, 1], f ( x ) = x 2 cos 2 (π / x 2 ) , pokud x ≠ 0 a f (0) = 0 .

Zobecnění pro vícerozměrné funkce

Definici rozšířenou na funkce s více proměnnými lze provést pomocí variace Vitali. Navržený Vitali, převzal jej Lebesgue a Fréchet.

Nechť f je funkce definovaná v bloku . Všimli jsme si: [na1,b1]×⋯×[nane,bne]⊆Rne{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Δhk(F,X)=F(X1,X2,⋯,Xk+hk,⋯,Xne)-F(X1,X2,⋯,Xk,⋯,Xne){\ displaystyle \ Delta _ {h_ {k}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n} ) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})}

pak rekurzivně

Δh1,h2,⋯,hk(F,X)=Δhk(Δh1,h2,⋯,hk-1,X).{\ displaystyle \ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}} (f, x) = \ Delta _ {h_ {k}} (\ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k-1}}, x).}

Potom si dáme sekvence bodů v každém směru a spojíme seπk{\ displaystyle \ pi _ {k}}nak=tk1<tk2<⋯<tkNEk+1=bk{\ displaystyle a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {N_ {k} +1} = b_ {k}}hki=tki+1-tki.{\ displaystyle h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {i + 1} -t_ {k} ^ {i}.}

Změna Vitali smyslu pro f je dán vztahem:

PROTIne(F)=sup(π1,...πne)∑k=1ne∑ik=1NEk|Δh1i1,h2i2,⋯,hkik(F,(X1i1,X2i2,⋯,Xkik))|{\ displaystyle V ^ {n} (f) = \ sup _ {(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {N_ {k}} \ left | \ Delta _ {h_ {1} ^ {i_ {1}}, h_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, h_ {k} ^ {i_ {k}}} \ left (f, (x_ {1} ^ {i_ {1}}, x_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, x_ {k} ^ { i_ {k}}) \ right) \ right |}

Tuto definici variace lze rozšířit definicí Hardy-Krause variace:

Hardy-Krause variace f je dán vztahem:

PROTI(F)=∑PROTIne(F){\ displaystyle V (f) = \ součet V ^ {n} (f)}

kde je součet vytvořen na všech plochách všech podintervalů bloku dimenze menší nebo roven n .[na1,b1]×⋯×[nane,bne]⊆Rne{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Protiklad  : Funkce f  : x ↦ -x a g  : x ↦ x 3 jsou monotónní, ale f + g není.

Reference

1. Godfrey Harold Hardy (  z angličtiny přeložil Alexandre Moreau), „Camille Jordan“ , Matematika a matematici , Nitens,2018( 1 st  ed. 1922) ( ISBN  9782901122005 ).
2. Gustave Choquet , kurs analýzy, svazek II: Topologie , s. 99-106.
3. Xavier Gourdon, Matematika v mysli: Analýza , Paříž, Elipsy,2008, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1994), 432  str. ( ISBN  978-2-7298-3759-4 ) , kap.  2 („Funkce reálné proměnné“).
4. (in) J. Yeh , Real Analysis: Theory of Measure and Integration , World Scientific,2006, 2 nd  ed. , 738  s. ( ISBN  978-981-256-653-9 , číst online ) , s.  265 : "  Jordanův rozklad funkcí ohraničené variace  "
5. (it) G. Vitali , „  Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali  “ , Atti Accad. Sci. Torino , sv.  43,1908, str.  229-246
6. (De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Band. ,1921

Externí odkaz

(en) „Funkce ohraničené variace“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , číst online )