Základní funkce

V matematiky , An elementární funkce je funkce z proměnné vytvořené z konečného počtu exponenciál , logaritmů , konstanty , a n -tý kořeny podle složení a kombinace pomocí čtyř elementárních operací (+ - x ÷). Tím, že tyto funkce (a konstanty) mohou být složité , jsou trigonometrické funkce a jejich inverze základní.

Základní funkce poprvé představil Joseph Liouville v sérii publikací od roku 1833 do roku 1841 . Algebraické zpracování těchto funkcí zahájil Joseph Ritt ve třicátých letech minulého století.

Příklady

Některé příklady základních funkcí jsou:

• přídavek, např. : x + 3;
• násobení, např. : 8 x  ;
• (X+hřích2⁡X)2(hřích⁡(X2)+Xhřích⁡(X3)) ;{\ displaystyle \ left (x + \ sin ^ {2} x \ right) ^ {2} \ left ({\ dfrac {\ sin (x ^ {2}) + x} {\ sin (x ^ {3} )}} \ vpravo) ~;}
• -iln⁡(X+i1-X2).{\ displaystyle - {\ rm {i}} \ ln (x + {\ rm {i}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}).}

Dva příklady jiných než základních funkcí jsou Gaussian chybové funkci

erf⁡(X)=2π∫0XE-t2dt{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t}

a integrální sinusová funkce

Ano⁡(X)=∫0Xhřích⁡ttdt.{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \ mathrm {d} t.}

Tato skutečnost vyplývá z Liouvilleovy věty  ; Risch algoritmus obecně umožňuje zjistit, zda je či není dán elementární funkce má elementární primitivní.

Poznámky

1. Viz zejména Liouville 1833a , Liouville 1833b a Liouville 1833c .
2. Ritt 1950 .

Reference

• Joseph Liouville , „  První disertační práce o stanovení integrálů, jejichž hodnota je algebraická  “, Journal de l'École Polytechnique , sv.  svazek XIV, 1833a, s.  124-148 ( číst online ).
• Joseph Liouville , „  Druhá disertační práce o stanovení integrálů, jejichž hodnota je algebraická  “, Journal de l'École Polytechnique , sv.  svazek XIV, 1833b, s.  149-193 ( číst online ).
• Joseph Liouville , „  Poznámka k určení integrálů, jejichž hodnota je algebraická  “, Journal für die reine und angewandte Mathematik , sv.  10, 1833c, s.  347-359 ( číst online ).
• Joseph Ritt , diferenciální algebra , AMS ,1950( číst online ).
• Maxwell Rosenlicht , „  Konečná integrace  “, American Mathematical Monthly , sv.  79, n o  9,1972, str.  963–972 ( DOI  10.2307 / 2318066 , JSTOR  2318066 ).

Úvěry

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „  Elementární funkce  “ ( viz seznam autorů ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">