Integrální sinus
Integrální sinus funkce , poznamenat, Si , je speciální funkce z matematické fyziky zavedených Fresnel ve studii o vibrace světla, je definována pro skutečný x podle integrálu :
Ano(X)=∫0Xhřích(t)t dt{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin (t)} {t}} ~ \ mathrm {d} t}kde funkce sin je sinusová funkce .
Historický
Tuto funkci použil Oscar Xavier Schlömilch (k reprezentaci určitých určitých integrálů) s moderní notací Si ( x ) z roku 1846. První tabelace této funkce (pro x = 1,…, 10 ), díky Carlu Antonovi Bretschneiderovi , byla znovu publikoval Schlömilch v roce 1848. Jean Denis Fenolio publikoval v roce 1857 monografii navrhující několik vzorců pro numerický výpočet funkce Si ( x ) . Davide Besso (ru) publikoval v roce 1868 tabulku hodnot Si ( x ) pro x celočíselný násobek π . Přesnější tabelaci než u Bretschneidera a Bessa publikoval v roce 1870 JWL Glaisher, který také podává historii použití této funkce v matematické literatuře. Podrobné tabulky funkcí trigonometrický integrál , exponenciální integrál a plný sinus byly publikovány v roce 1940 Federal Works Agency (in) pod vedením Arnolda D. Lowana. Úvod do svazku 1 těchto tabulek obsahuje (str. 26) bibliografii aplikací těchto funkcí ve fyzice a inženýrství .
Vlastnosti
- Funkce je spojitá, nekonečně diferencovatelná na ℝ a ∀X∈R, Si′(X)=hřích(X)X=sinevs.(X){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {Si} '(x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ mathrm {sinc} (x)}kde je kardinální sinusová funkce .sinevs.{\ displaystyle \ mathrm {sinc}}
- Funkce Si je vyvíjitelná v celočíselných řadách na ℝ a máme∀X∈R, Si(X)=∑ne=0+∞(-1)neX2ne+1(2ne+1)!(2ne+1).{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {Si} (x) = \ součet _ {n = 0} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac { x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)! (2n + 1)}}.}Tento vývoj umožňuje rozšířit funkci Si na celočíselnou funkci .
-
limX→+∞Si(X)=∫0+∞hřích(t)t dt=π2{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ mathrm {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (t)} {t}} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {\ pi} {2}}}. Toto je Dirichletův integrál .
- Zajímavý vzorec: π∫1ne(neX) dX=∑k=1ne(ne+1k+1)Si(kπ)-Si(π), s (neX)=ne!Γ(X+1)Γ(ne-X+1){\ displaystyle \ pi \ int _ {1} ^ {n} {{n \ zvolit x} ~ \ mathrm {d} x} = {\ součet _ {k = 1} ^ {n} {{n + 1 \ zvolte k + 1} \ mathrm {Si} (k \ pi)}} - \ mathrm {Si} (\ pi), ~ {\ text {with}} ~ {n \ zvolte x} = {\ frac {n! } {\ Gamma (x + 1) \ Gamma (nx + 1)}}}( zobecněný binomický koeficient ).
Reference
-
O. Schlömilch , „ Poznámka k některým určitým integrálům “, J. Reine angew. Matematika. , sv. 33, n o 316,1846( číst online )
-
(de) O. Schlömilch, Analytische Studien sv. 1 , 1848, s. 196
-
JD Fenolio, Esej o Integral Sine , Turín , Royal Printing, 1857
-
(it) D. Besso, „Sull'integral seno e l'Integral coseno“, v Giornale di matematiche ( Battaglini (it) ) , sv. 6, 1868, s. 313
-
(in) JWL Glaisher, „Tabulky číselných hodnot integrálního sinusu, kosinového integrálu a exponenciálního integrálu“ ve Philos. Trans. R. Soc. , let. 160, 1870, s. 387
-
(in) Arnold L. Lowan (ed.), Tables of Sine, Cosine and Exponential Integrals , t. 1 a t. 2 , New York, 1940
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">