Langevinova funkce

Funkce Langevin je kvůli Paul Langevin (1872-1946), a je definován kde coth je hyperbolický kotangens funkce . ${\ displaystyle L (x) = \ coth (x) - {1 \ nad x}}$

Kontext

Langevinova funkce se objevuje v popisu paramagnetismu materiálu vystaveného rovnoměrnému magnetickému poli $B$ , stejně jako u formálně souvisejících systémů, jako je volně spojený polymer vystavený konstantní tahové síle.

Materiál je popsán jako soubor nezávislých klasických magnetických dipólů , z nichž každý má magnetický moment $m,$ jehož směr je volný, ale modul, $µ$ , je pevný. Energie každé dipólu je pak $U = -$ $m$ $\cdot$ $B$ .

Výpočet průměrné magnetizace

Umístíme se na pevnou teplotu (kanonický soubor). V tomto případě je magnetizace materiálu je $M = n ⟨ m ⟩$ kde $n$ je hustota magnetických momentů a průměrná hodnota $⟨ m ⟩$ tato doba je dána zákonem Boltzmann :

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {m} \ rangle = {\ frac {\ int \ mathbf {m} e ^ {\ frac {\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B}} {k_ {B} T} } d \ Omega} {\ int e ^ {\ frac {\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B}} {k_ {B} T}} d \ Omega}}}

kde $k B$ je Boltzmannova konstanta , $T$ teplota, $dΩ$ prvek úhlu tuhého úhlu a kde se integrace provádí ve všech možných orientacích pro $m$ .

Výsledek

K tomu pak vedou elementární manipulace

{\ displaystyle \ langle M \ rangle = n \ mu \ left [\ coth {\ left ({\ frac {\ mu B} {k_ {B} T}} \ right)} - ​​{\ frac {k_ { B} T} {\ mu B}} \ vpravo] = n \ mu L \ vlevo ({\ frac {\ mu B} {k_ {B} T}} \ vpravo)}

kde $L$ je funkce Langevin .

Asymptotické chování

Nenulové pole, když je teplota blíží nule byl $⟨ M ⟩ \approx n?$ : Nasycené magnetizace (na otočení se zmrazí v základním stavu ). Když se nachází v limitu vysoké teploty $⟨ M ⟩ \approx 0$ , tepelná energie je mnohem větší, než je magnetická energie (systém entropii : otočení již vidět magnetické pole).

Pro $x ≪ 1$ se funkce Langevin může vyvinout v Taylorově řadě :

{\ displaystyle L (x) = {\ tfrac {1} {3}} x - {\ tfrac {1} {45}} x ^ {3} + {\ tfrac {2} {945}} x ^ {5 } - {\ tfrac {1} {4725}} x ^ {7} + {\ tfrac {2} {93555}} x ^ {9} + \ cdots}

nebo jako zobecněný pokračující zlomek :

{\ displaystyle L (x) = {\ frac {x} {3 + {\ tfrac {x ^ {2}} {5 + {\ tfrac {x ^ {2}} {7 + {\ tfrac {x ^ { 2}} {9+ \ cdots}}}}}}}}}

V režimu vysoké teploty ( $kT ≫ µB$ ) můžeme ponechat jediný první člen z těchto expanzí ( $L ( x ) \approx x / 3$ ), což vede k Curieho zákonu :

{\ displaystyle \ langle M \ rangle = {\ dfrac {n \ mu ^ {2} B} {3k_ {B} T}} = \ chi B}

s magnetickou susceptibilitou. ${\ displaystyle \ chi \ propto {\ dfrac {1} {T}}}$

Funkce Langevin také splňuje následující vztah, který lze odvodit z analogu pro funkci kotangens :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ quad L (x) = \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {2x} {x ^ { 2} + n ^ {2} \ pi ^ {2}}}.}

Podívejte se také

Brillouinova funkce : analogie Langevinovy funkce pro kvantové magnetické momenty .