Ohraničená funkce

V matematice se funkce definované na množině se skutečnými nebo komplexními hodnotami nazývá omezená, pokud je množina jejích hodnot omezená . Jinými slovy, existuje reálné číslo taková, že $F$ ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle M}$

|F(X)|≤M{\ displaystyle | f (x) | \ leq M}

{\ displaystyle | f (x) | \ leq M}

pro všechna x v (všimli jsme si, že je to nutně kladné) . Funkce, která je neomezená, se říká, že je neomezená . ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle M}$

If is with real values and if for all in , then the function is said to be bounded by . Jestliže pro všechny inu , pak funkce je řekl, aby byl podceňován by . Funkce se skutečnou hodnotou je omezena právě tehdy, pokud je omezená i omezená. $F$ ${\ displaystyle f (x) \ leqslant A}$ $X$ ${\ textstyle X}$ $NA$ ${\ displaystyle f (x) \ geqslant B}$ $X$ ${\ textstyle X}$ $B$

Důležitým konkrétním případem je případ ohraničené posloupnosti , kde je považována za množinu přirozených čísel . Tak sekvence je omezená, pokud existuje reálné číslo takové, že ${\ textstyle X}$ $\ mathbb {N}$ ${\ displaystyle f = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ $M$

|nane|≤M{\ displaystyle | a_ {n} | \ leq M}

{\ displaystyle | a_ {n} | \ leq M}

pro každé přirozené číslo . Sada všech ohraničených sekvencí tvoří prostor ohraničených sekvencí , označený . $ne$ ${\ displaystyle l ^ {\ infty}}$

Definice vázaný lze zobecnit na ceněných funkcí v obecnějším prostoru tím, že vyžaduje, aby obraz byl ohraničen set v . ${\ textstyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ textový styl Y}$ ${\ displaystyle f (X)}$ ${\ textový styl Y}$

Související pojmy

Pojem lokální vazby je slabší než pojem vazby. Rodina omezených funkcí může být jednotně ohraničená .

Ohraničený operátor není omezená funkce ve smyslu definice této stránce (s výjimkou případů, je funkce null), ale má slabší vlastnost zachování představu vázaných : ohraničené sady jsou odesílány přes ohraničené sady . Tuto definici lze rozšířit na libovolnou funkci, pokud a umožní koncept ohraničené množiny. ${\ textstyle T: X \ rightarrow Y}$ $T$ ${\ textstyle M \ subseteq X}$ ${\ textstyle T (M) \ subseteq Y}$ ${\ textstyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ textstyle X}$ ${\ textový styl Y}$

Příklady

Funkce je omezená. ${\ displaystyle \ sin: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$
Funkce definovaná pro všechny reálné oblasti x s výjimkou a je neomezená. Jak se x blíží nebo , hodnoty této funkce se zvětšují a zvětšují. Tuto funkci lze omezit, pokud vezmeme v úvahu, že její doménou je například nebo . ${\ displaystyle f (x) = (x ^ {2} -1) ^ {- 1}}$ $-1$ $1$ $-1$ $1$ ${\ displaystyle [2, + \ infty [}$ ${\ displaystyle] - \ infty, -2]}$

Funkce definovaná pro jakékoli reálné x je ohraničená. ${\ textstyle f (x) = (x ^ {2} +1) ^ {- 1}}$
Inverzní tečna obloukové goniometrické funkce definované jako je zvýšení všech reálných čísel x a je omezen na radiánech . ${\ displaystyle y = \ arctan (x) \, {\ textrm {nebo}} \, x = \ tan (y)}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <y <{\ frac {\ pi} {2}}}$
Každá spojitá funkce je omezená. Obecněji řečeno, jakákoli spojitá funkce kompaktního prostoru v metrickém prostoru je omezena ( další podrobnosti viz věta o extrémní hodnotě ). ${\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}$
Všechny funkce s komplexními hodnotami, které jsou celé číslo, jsou buď neomezené, nebo konstantní, důsledek Liouvilleovy věty . Zejména komplexní sinus musí být neomezený, protože je celý. ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ sin: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$
Funkce, která nabývá hodnoty if je racionální číslo a if je iracionální číslo (viz Dirichletova funkce ), je ohraničena. Funkce tedy nemusí být „pěkná“ nebo „pěkná“, aby byla omezena. Sada všech definovaných omezených funkcí je v tomto intervalu mnohem větší než sada spojitých funkcí. $F$ ${\ textstyle 0}$ ${\ textstyle x}$ ${\ textový styl 1}$ ${\ textstyle x}$ $[0,1]$

Poznámky

Sada reálných funkcí ohraničených na stejnou sadu představuje stabilní vektor podprostoru také násobení , což z něj dělá algebry normalizovány podle nekonečnou normou . Obecněji je tato sada stabilní složením spojitou funkcí. To zejména znamená, že jakákoli ohraničená skutečná náhodná proměnná připouští okamžiky jakéhokoli řádu.

Existence hranic umožňuje ospravedlnit existenci konečných limitů pro rostoucí funkci v intervalu.

Viz také

Ohraničená sada
Kompaktní stojan
Místní terminál
Jednotný terminál