Téměř periodická funkce

V matematiky , a přesněji v analýze , An téměř periodická funkce je aplikace , jejíž vlastnosti se podobají těm periodické funkce .

Intuitivní motivace a definice Bohra

Téměř periodické funkce jsou intuitivně (spojité) funkce $f,$ pro něž výběrem stále větších „period“ T má přibližnou periodicitu, která je stále přesnější, to znamená, že (pro všechna x ) je rozdíl $f$ ( x + T ) - $f$ ( x ) lze libovolně zmenšit. Odpovídající formální definice, jmenovitě: bez ohledu na ε> 0, existuje nenulové reálné číslo T takové, že je ve skutečnosti nedostatečné k zachycení této myšlenky, protože tato vlastnost je ověřena všemi jednotně spojitými funkcemi . ${\ displaystyle \ sup _ {t \ in \ mathbb {R}} | f (t + T) -f (t) | \ leq \ varepsilon}$

V roce 1923 navrhl Harald Bohr následující definice:

Nechť je funkce a nechat ε být stanovena skutečná> 0. nenulové reálné číslo T se nazývá ε-téměř období z $F$ , pokud: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle \ sup _ {t \ in \ mathbb {R}} | f (t + T) -f (t) | \ leq \ varepsilon.}

Označíme $E ( f , ε)$ množinu ε - téměř periody $f$ . Pak říkáme, že funkce $f$ je téměř periodická (v tom smyslu, Bohra ) jestliže je spojitá a jestliže nastavenou $E ( f , ε)$ je dobře distribuován do všech e> 0, to znamená, že pro jakékoliv e> 0 , existuje reálné ℓ> 0, v závislosti na ε, takže jakýkoli interval délky ℓ má neprázdnou křižovatku s $E ( f , ε)$ :

{\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {R}, ~ [a \ ,, \, a + \ ell [\, \ cap \, E (f, \ varepsilon) \ neq \ varnothing.}

[0, ℓ] se nazývá interval zahrnutí.

Příklady a vlastnosti

Periodická a spojitá funkce je téměř periodická.
Funkce je téměř periodická, i když není periodická. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}, \ t \ mapsto \ sin t + \ sin {\ sqrt {2}} t}$
Každá téměř periodická funkce je ohraničená.
Každá téměř periodická funkce je rovnoměrně spojitá.
Pokud $f$ a $g$ jsou dvě téměř periodické funkce, pak jsou také funkce $f + g$ a $fg$ ; na rozdíl od zdání tento výsledek není triviální, jak je vidět v rozevíracím seznamu níže.

Demonstrace těchto výsledků

Důkaz téměř periodicity $f + g$ není triviální. Je založen na několika vlastnostech.

Pokud je $f$ ε - téměř periodické s periodou T , pak $f$ je ε'- téměř periodické s periodou T, jakmile ε '> ε. (Je to zřejmé.)
Každá téměř periodická funkce je ohraničená. To vyplývá z existence intervalu zahrnutí.
Pokud je $f$ téměř periodické, pak $f 2$ a | $f$ | 2 jsou téměř periodické.
Ve skutečnosti, pokud M je maximum $f$ během intervalu zahrnutí [0, ℓ], máme | $f$ ( x ) | ≤ M + ε a proto ${\ displaystyle | f ^ {2} (x + T) -f ^ {2} (x) | = | f (x + T) + f (x) | \ krát | f (x + T) -f ( x) | \ leq 2 (M + \ varepsilon) \ varepsilon = \ varepsilon '}$ Proto $f 2$ je ε'-téměř periodické o období T .
Jakákoli téměř periodická funkce je rovnoměrně spojitá nad $] -\infty, + \infty [$ .
Pokud je $f$ ε téměř periodické s periodou T, pak mezi 2ε téměř periodami $f$ existuje množina složená pouze z násobků stejného počtu η. Taková téměř perioda se nachází v libovolném intervalu délky ℓ '= ℓ + 2η.

Ať η tak, že kmitání $f$ v rozmezí méně než η ε a buď T ' násobku n nejbližší k ε-téměř období T . Máme tedy

{\ displaystyle | T'-T | \ leq \ eta}

{\ displaystyle | f (x + T ') - f (x + T) | \ leq \ varepsilon}

{\ displaystyle | f (x + T) -f (x) | \ leq \ varepsilon}

proto

{\ displaystyle f (x + T ') - f (x) | \ leq 2 \ varepsilon.}

Předpokládejme, že $f$ a $g$ jsou ε-téměř periodické a jsou η1 a η2 takové, že oscilace $f$ v intervalu η1 je menší než ε a stejná pro $g$ . Nechť η je menší ze dvou čísel η1 a η2. Existují tedy dvě čísla ℓ1 a ℓ2 taková, že jakýkoli interval délky ℓ1 obsahuje téměř 2ε období $f$ a totéž pro ℓ2 a $g$ . Nechť L je větší než max (ℓ1, ℓ2). Pak každý interval délky L obsahuje alespoň téměř doba T 1 $f$ a téměř doba T 2 $g$ , které jsou oba násobky n.

V intervalu délky L jsou rozdíly | T 1 - T 2 | předchozí téměř období berou jen konečný počet různých hodnot a tvoří tak tolik tříd rovnocennosti. Každá třída se tak vyznačuje jedinečným párem. Nechť L 1 je maximum modulu T1, který se objeví v těchto párech. Existuje pouze konečné číslo.

$f$ a $g$ připouštějí periodu téměř 4ε běžnou v libovolném intervalu délky L + 2 L 1.

K tomu nechť x je libovolné číslo, T 3 a T 4 dvě téměř periody $f$ a $g$ umístěné v [ x + L 1, x + L + L 1]. Nechť T a T 'jsou zástupci třídy páru ( T 3, T 4). Takže máme | T - T ' | = | T 3 - T 4 | proto T ± T 3 = T '± T 4 = $τ$ .

Máme tedy nerovnosti (*)

{\ Displaystyle | f (x + \ tau) -f (x) | \ leq | f (x + T \ pm T3) -f (x + T) | + | f (x + T) -f (x) | \ leq 4 \ varepsilon}

a (**)

{\ Displaystyle | g (x + \ tau) -g (x) | \ leq | g (x + T '\ pm T4) -g (x + T') | + | g (x + T ') - g (x) | \ leq 4 \ varepsilon.}

$f + g$ je 8ε - téměř periodická funkce a jakýkoli interval délky L + 2 L 1 obsahuje téměř periodu.

Používáme nerovnosti (*) a (**), které ukazují téměř periodicitu:

{\ Displaystyle | f (x + \ tau) + g (x + \ tau) -f (x) -g (x) | \ leq | f (x + \ tau) -f (x) | + | g ( x + \ tau) -g (x) | \ leq 8 \ varepsilon.}

Pokud jsou $f$ a $g$ téměř periodické, je to také $fg$ .

Ukázali jsme, že je-li $f$ téměř periodické, pak platí i $f 2$ . Poté použijeme identitu

{\ displaystyle fg = {\ frac {1} {4}} (f + g) ^ {2} - {\ frac {1} {4}} (fg) ^ {2}}

a protože přidání zachovává téměř periodicitu, máme výsledek.

Pokud $f$ je téměř periodická funkce a F je rovnoměrně spojitá funkce, pak F ∘ $f$ je téměř periodická funkce. Tento výsledek se zobecňuje na několik proměnných za předpokladu, že F je v každé proměnné jednotně spojitý.
Pokud posloupnost téměř periodických funkcí konverguje rovnoměrně k funkci $f$ , pak $f$ je téměř periodické.
Pokud je $f$ téměř periodická diferencovatelná funkce, je jeho derivace $f '$ téměř periodická, pokud je rovnoměrně spojitá nad ℝ.
Primitiv téměř periodické funkce je téměř periodický právě tehdy, když je ohraničený.

Velké věty

Prvním významným výsledkem teorie je:

Jakákoli téměř periodická funkce připouští průměrnou hodnotu ${\ displaystyle M (f) = \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} {{\ frac {1} {T}} \ int _ {a} ^ {a + T} {f (u) ~ {\ rm {z}},}$ výsledek, ze kterého odvodíme druhý výsledek teorie týkající se zobecněné reprezentace Fourierových řad :
Jakákoli téměř periodická funkce $f je$ zapsána ${\ displaystyle f (t) = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ lambda _ {n} t} }.}$ vzorec, ve kterém $λ n$ je řada reálných čísel hrajících roli Fourierovy frekvence, kde $a n$ jsou Fourierovy koeficienty řady a máme nerovnost druhu Besselovy nerovnosti :

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {| a_ {n} | ^ {2}} \ leq M (| f | ^ {2}).}

Pak předvedeme:

Kamene Weierstrassova věta téměř periodických funkcí - Sada téměř periodických funkcí je adheze , v komplexní vektorový prostor ohraničených spojitých funkcí z ℝ na ℂ (dotovaný s normou jednotné konvergence) na dílčí kosmická generovány podle rodina funkcí , indexováno . ${\ displaystyle t \ mapsto \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda t}}$ $\ lambda \ in \ mathbb {R}$

Jinými slovy: jakoukoli téměř periodickou funkci lze přibližně aproximovat řadou generalizovaných trigonometrických polynomů.

Výpočet téměř period využívá Dirichletovu aproximační větu (která je odvozena z principu zásuvek ):

„ Nechť ( a i ) je konečná posloupnost n libovolných reálných čísel a celého čísla q > 0 , v intervalu [1, q n ] existuje celé číslo t a celá čísla x i tak, aby byla splněna každá z následujících n nerovností : | ta i - x i | ≤ 1 / q . "

Výpočet blízkých období

Nechť $f$ je téměř periodická funkce ve smyslu Bohra. $f$ je jednotný limit posloupnosti trigonometrických polynomů. Nechť ε> 0 je číslo tak malé, jak chceme. Jak máme

{\ displaystyle f (t) \ přibližně \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ Lambda _ {n} t }},}

existuje N takové, že trigonometrický polynom

{\ displaystyle P (t) = \ součet _ {n = 1} ^ {N} {a_ {n} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ Lambda _ {n} t}} }

se blíží $f$ ( t ) na méně než ε / 3. Proto máme pro všechny t

{\ displaystyle | f (t) -P (t) | \ leq \ varepsilon / 3.}

P ( t ) je ve smyslu Bohra téměř periodický, protože se jedná o trigonometrický polynom (ve zobecněném smyslu). Nechť ▼ se> 0 r skoro období P . Máme tedy

{\ Displaystyle | f (t + \ tau) -f (t) | \ leq | f (t + \ tau) -P (t + \ tau) | + | P (t + \ tau) -P (t) | + | P (t) -f (t) | \ leq \ varepsilon / 3 + \ eta + \ varepsilon / 3.}

Vezmeme-li η = ε / 3, τ bude ε téměř období pro $f$ .

Zbývá výpočet η-téměř období P .

Bereme tedy η takové

{\ displaystyle {\ frac {\ eta} {\ min _ {1 \ leq n \ leq N} | a_ {n} |}} <1,}

mít jistotu, že existuje

δ <π

takové, že

{\ displaystyle | \ exp ({\ rm {i}} \ delta) -1 | = {\ frac {\ eta} {\ min _ {1 \ leq n \ leq N} | a_ {n} |}} < 1.}

Potom musí τ uspokojit N nerovností tvaru

{\ displaystyle | \ Lambda _ {n} \ tau | \ leq \ delta \ mod 2 \ pi,}

kde n se pohybuje od 1 do N . A to se rovná použití Dirichletovy věty. My máme

${\ displaystyle | \ Lambda _ {n} \ tau -2 \ pi x_ {n} | \ leq \ delta}$ tedy vydělením $2π$ získáme (ve skutečnosti nás zajímá pouze τ): ${\ displaystyle | \ Lambda _ {n} \ tau '-x_ {n} | \ leq {\ frac {\ delta} {2 \ pi}} \ mathrm {~ o {\ grave {u}} ~} \ tau = 2 \ pi \ tau '.}$

Vezmeme-li $δ / 2π$ dostatečně malé, máme $δ / 2π$ ≥ 1 / q, což je q = [ $2π / δ$ ] + 1, takže zjistíme, za předpokladu, že t 0 = 1, že

{\ displaystyle \ tau = 2 \ pi \ tau '\ leq 2 \ pi \ left (\ left [{\ frac {2 \ pi} {\ delta}} \ right] +1 \ right) ^ {N},}

hodnota, která tedy zvyšuje 3η - téměř období $f$ .

Téměř periodické analytické funkce

Můžeme si snadno představit, že teorie téměř periodických funkcí reálné proměnné se zobecňuje na komplexní funkce komplexní proměnné, alespoň na jedné ose. Ve skutečnosti je úspěšně rozšířen na skupinu (ale ne na celý plán, Liouvilleova věta je ostražitá!).

O funkci $f ( z )$ spojité v pásmu [ a , b ] se říká, že je téměř periodická, pokud pro libovolné ε> 0 najdeme ℓ = ℓ (ε) takové, že jakýkoli interval délky ℓ na imaginární ose obsahuje číslo $iη$ takové, že

{\ displaystyle | f (z + {\ rm {i}} \ eta) -f (z) | \ leq \ varepsilon}

pro všechna z v uvažovaném pásmu. Jinými slovy, funkce $f$ ( x + $i$ y ) je v y téměř periodická , rovnoměrně jako funkce x , x zbývající v intervalu [ a , b ].

V teorii analytických funkcí proměnné umožňuje princip Phragmén-Lindelöf (en) , který je pouze rozšířením maximálního principu na neomezenou množinu (pásmo nebo úhlový sektor, zde pásmo), umožňuje ukázat následující výsledek (tzv. Doetschova věta o třech řádcích (de) ):

"Nechť $f ( z )$ je omezená analytická funkce v pásmu [ a , b ]."

{\ displaystyle M (x) = \ sup _ {y \ in \ mathbb {R}} | f (x + iy) |.}

Funkce M ( x ) je logaritmicky konvexní v libovolném pásmu uvnitř [ a , b ]:

Pokud a < $x 1 < x <x 2$ < b , máme

{\ displaystyle \ ln M (x) \ leq {\ frac {x_ {2} -x} {x_ {2} -x_ {1}}} \ ln M (x_ {1}) + {\ frac {x- x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ ln M (x_ {2}).}

V teorii téměř periodických komplexních analytických funkcí v pásmu se ve spojení s Phragmén-Lindelöfovým principem ukazuje, že derivace téměř periodické komplexní analytické funkce v pásmu $[σ 1 , σ 2 ]$ je sama o sobě dokonce téměř periodicky ve stejném pásmu. Ze všeho toho vyplývá, že téměř periodická pravidelná analytická funkce pro hodnotu $σ$ je téměř periodická v maximálním pásmu $[σ 1 , σ 2 ],$ kde zůstává omezená. Mimo toto pásmo buď již není pravidelné (póly ...), nebo již není omezeno, nebo zaniká. Jeho Fourierova řada jej představuje ve svém maximálním pásmu. Pokud se funkce stane téměř periodickou v jiném pásmu, připouští tam další Fourierovu řadu.

Rozšíření pojmu téměř periodická funkce

Ve srovnání se standardem téměř periodicita

Nechť ║ ║ je norma definovaná v prostoru spojitých funkcí. Říkáme, že funkce $f$ je téměř periodická ve smyslu normy ║ ║ if

$f$ je spojité,
║ $f$ ║ je konečné,
existuje pro všechny ε> 0 a ℓ ε takové, že jakýkoli interval délky ℓ ε obsahuje ε-téměř období $τ$ takové, že:

{\ displaystyle \ | f-t _ {\ tau} f \ | \ leq \ varepsilon.}

kde je funkce $f$ přeložená z $-τ$ . ${\ displaystyle t _ {\ tau} f (x) = f (x + \ tau)}$

V závislosti na volbě standardu tak získáme několik různých pojmů téměř periodicity. Nejběžnější možnosti jsou

Norma sup: která dává téměř periodicitu ve smyslu Bohra. ${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} | f (x) |}$
Stepanoff norma: což dává téměř periodicitu ve smyslu Stepanoff pro čísla l a p . ${\ displaystyle \ | f \ | _ {S_ {l} ^ {p}} = \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} \ vlevo | {\ frac {1} {l}} \ int _ { x} ^ {x + l} | f (u) | ^ {p} ~ {\ rm {d}} u \ vpravo | ^ {1 / p}}$
Weylova norma: která definuje téměř periodicitu ve smyslu Weyla . ${\ displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {p}} = \ limsup _ {l \ až \ infty} \ | f \ | _ {S_ {l} ^ {p}}}$
Besicovitchova norma: která dává téměř periodicitu v Besicovitchově smyslu . ${\ displaystyle \ | f \ | _ {B ^ {p}} = \ limsup _ {T \ až \ infty} \ vlevo ({\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {+ T} | f (u) | ^ {p} ~ {\ rm {d}} u \ vpravo) ^ {1 / p}}$

Téměř periodicita v Bohrově smyslu znamená všechny ostatní (jinými slovy, tyto další definice jsou obecnější). To ze Stepanoffa znamená, že Weyl za stejnou p .

Téměř periodické funkce v místně kompaktní abelianské skupině

Od roku 1930 připravovaly cestu pro obecnou teorii předchozí zevšeobecňování a objevování abstraktních metod, jako je Peter- Weylova věta nebo Pontryaginova dualita .

Jestliže G je lokálně kompaktní abelian skupina , můžeme říci, že F , která patří do $L$ $\infty$ ( G ) , je téměř periodické , pokud je sada ITS přeložil G je relativně kompaktní (tj. V případě, že dodržování tohoto souboru je kompaktní ). Prostor téměř periodických funkcí je uzávěr (pro normou stejnoměrné konvergence) všech lineárních kombinací ze znaků z G . Pokud G je kompaktní , že téměř periodické funkce jsou prostě spojité funkce.

Bohr compactified (en) z G je kompaktní abelian skupina B ( G ) všech (ne nutně spojitá) znaků dvojí skupiny G ; B ( G ) je kompaktní skupina, jejíž G je hustá podskupina. Prostor téměř periodických funkcí na G je identifikován s prostorem spojitých funkcí na B ( G ). Obecněji můžeme definovat Bohrovu komprimaci jakékoli topologické skupiny G ; prostor spojitých funkcí (nebo jednoduše $L p$ ) z B ( G ) může být viděn jako prostor téměř periodických funkcí na G .

Charakterizace téměř periodických funkcí

Případ funkcí reálné proměnné

V této části předpokládáme, že ( X , d ) je úplný metrický prostor . Pokud $f, g$ označují dvě funkce reálné proměnné s hodnotami v X , definujeme jejich vzdálenost pomocí:

{\ displaystyle d (f, g) = \ sup \ {d (f (x), g (x)) \; | \; x \ v \ mathbb {R} \} \ v [0, + \ infty] .}

Věta: Nechť je spojitá mapa. Máme ekvivalence:

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow X}

Ze skutečné pořadí $( H n ) n$ , lze extrahovat subsekvenci tak, že konverguje stejnoměrně na X ℝ . ${\ displaystyle (h _ {\ varphi (n)}) _ {n}}$ ${\ displaystyle (f_ {h _ {\ varphi (n)}}: x \ mapsto f (x + h _ {\ varphi (n)})) _ {n}}$
${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ existuje R (\ varepsilon)> 0, \, \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ , interval $] x , x + R (ε) [$ obsahuje ε téměř období.

Důkaz 2. ⇒ 1. používá proces extrakce úhlopříčkou a skutečnost, že pokud $f$ splňuje 2., pak:

$f$ je rovnoměrně spojité;
$f$ (ℝ) jev X hustá .

Důkaz 1. ⇒ 2.

By contraposée .

Předpokládejme, že existuje ε> 0 takové, že pro všechny R > 0 existuje interval] a , a + R [neobsahující ε-téměř-tečku.

Nechť h 1 je libovolné. Pak existuje interval] a 1 , b 1 [délky striktně větší než 2 | h 1 | neobsahující ε-téměř-období.

Nastavili jsme h 2 = ( a 1 + b 1 ) / 2. Protože h 2 - h 1 ∈] a 1 , b 1 [, h 2 - h 1 není ε - téměř perioda.

Pak existuje interval] a 2 , b 2 [délky striktně větší než 2 (| h 1 | + | h 2 |) neobsahující ε-téměř-tečku.

Nastavili jsme h 3 = ( a 2 + b 2 ) / 2. Pak: h 3 - h 1 , h 3 - h 2 ∈] a 2 , b 2 [nejsou ε-téměř-tečky.

Potom definujeme indukcí sekvenci $( h n )$ takovou, že:

${\ displaystyle \ forall i \ neq j, \; h_ {i} -h_ {j} {\ mbox {nejsou}} \ varepsilon {\ mbox {-most-period,}}}$

to znamená:

${\ displaystyle \ sup _ {t} d \ left (f (t + h_ {i} -h_ {j}), f (t) \ right) \ geq \ varepsilon.}$

Sekvence $( h n )$ proto neověří první tvrzení.

Složitý případ

Uvažujeme meromorfní funkci $f$ na ℂ. Definujeme: $T$ $ε$ množinu $ε$ -presque-period $f$ a

{\ displaystyle \ Delta (z_ {0}, R) = \ {z \ v \ mathbb {C} \, | \, | z-z_ {0} | <R \}.}

Sunyerova i Balaguerova věta - Máme ekvivalence:

Z jakékoli reálné posloupnosti $( h n ) n$ můžeme extrahovat subsekvenci $( h φ ( n ) ) n$ takovou, která konverguje rovnoměrně na ℂ. ${\ displaystyle (f_ {h _ {\ varphi (n)}}: z \ mapsto f (z + h _ {\ varphi (n)})) _ {n}}$
${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ existuje R> 0}$ takový, že jakýkoli interval typu] a , a + R [nebo] $i$ a , $i$ a + $i$ R [( a ∈ ℝ) obsahuje alespoň jednu $ε$ -presque-period.
${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ existuje R> 0, \, \ forall z_ {0} \ in \ mathbb {C}, \ Delta (z_ {0}, R) \ cap T _ {\ varepsilon} \ neq \ varnothing.}$

Poznámky a odkazy

Harald Bohr, „O téměř periodických funkcích“, CRAS , roč. 177, 1923, str. 737-739 .
Abychom to prokázali, můžeme použít obecnější výsledek uvedený později, nebo si všimnout, že $sin ( x + T ) - sin x = 2cos ( x + T / 2) sin ( T / 2)$ , a vybrat T ve tvaru 2 q $π$ , kde p / q je dobrá racionální aproximace √ 2 .
Princip zásuvek (nebo holubích otvorů nebo ponožek) je téměř zřejmým kombinatorickým výsledkem, který tvrdí, že pokud je v n zásuvkách distribuováno n + 1 objektů , alespoň jedna zásuvka obsahuje několik objektů a ze kterých Dirichlet dokázal nakreslit chytrá ukázka jeho věty.
W. [VV Stepanov] Stepanoff, „K některým zobecněním téměř periodických funkcí“, CR Acad. Sci. Paris , sv. 181, 1925, s. 90–92 .
(en) C. Corduneanu , Téměř periodické funkce , Interscience Publishers, al. "Intersciences plochy na čistou a aplikovanou matematiku" ( n O 22),1968.
(in) S. Ju. Favorov , „ Sunyer i Balaguer, Alliptic Functions Almost and Yosida's Normal Functions “ , Journal of Mathematical Analysis , Vol. 104,2008, str. 307-339, arXiv : 0802,1487

Bibliografie

(en) Amerio a Prouse, Almost periodic functions and Functional Equations , Van Nostrand Reinhold Company, Cincinnati, 1971.
(en) AS Besicovitch, Almost periodic functions , Dover, Cambridge, 1954, [ číst online ] .
(en) H. Bohr, Almost periodic functions , Chelsea publishing, New York, 1947.
Jean Favard , Poučení o téměř periodických funkcích , Gauthiers-Villars, Paříž, 1933.
(ru) Levitan, Pochti-periodicheskie funckii , Moskva, 1953.

Související články

Téměř periodická funkce (cs)