Funkce Hasse-Weil zeta

V matematice je funkce Hasse-Weil zeta připojená k algebraické odrůdě V definované přes pole čísel K je jedním ze dvou nejdůležitějších typů L funkcí . Takové funkce L se nazývají „globální“, jsou definovány jako Eulerianovy produkty z hlediska místních funkcí zeta . Tvoří jednu ze dvou hlavních tříd globálních funkcí L, druhou jsou funkce L spojené s automorfními reprezentacemi . Conjecturally, tam je prostě jeden základní typ globální funkce L, se dvěma popisy (pocházející z algebraického potrubí, pocházející z automorfní reprezentace); bylo by to široké zobecnění domněnky Shimura-Taniyama-Weil , která je sama o sobě nedávným a velmi hlubokým (v roce 2004 ) výsledkem teorie čísel .

Popis funkce Hasse-Weil zeta jako Eulerianova produktu je relativně jednoduchý, přinejmenším s konečným počtem faktorů. To vyplývá z počátečních návrhů Helmuta Hasse a Andrého Weila motivovaných případem, ve kterém V je izolovaný bod, a výsledky funkce Riemann zeta .

Vezmeme-li případ, kdy K je těleso ℚ z racionálních čísel a V projektivní odrůda není singulární , můžeme pro téměř všechny prime čísla p zvážit snížení V modulo p , algebraické odrůda V p o konečné pole F p k p prvky, jednoduše snížením rovnice pro v . Opět platí, že pro téměř všechny p to bude jiné než singulární. Definujeme

{\ displaystyle Z_ {V, Q} (s) \,}

jak být řada Dirichlet z komplexu proměnná y , která je nekonečná produkt místních funkcí zeta

{\ displaystyle \ zeta _ {V, p} \ vlevo (p ^ {- s} \ vpravo) \,}

Potom , podle naší definice, je jen dobře definované až do násobení pomocí racionálních funkcí v konečném počtu . ${\ displaystyle Z (s)}$ ${\ displaystyle p ^ {- s}}$

Jelikož neurčitost je relativně neškodná a má analytické rozšíření všude, lze pochopit, že její vlastnosti v zásadě nezávisí. Zejména zatímco přesná forma funkční rovnice pro , která se odráží ve svislé linii v komplexní rovině, závisí na „chybějících faktorech“, samotná existence takové rovnice na ní nezávisí. ${\ displaystyle Z (s)}$ ${\ displaystyle Z (s)}$

S rozvojem étale kohomologie je možné dosáhnout rafinovanější definice ; to úhledně vysvětluje, co dělat s chybějícími faktory „špatné redukce“. Podle principů obecné teorie větvení nesou „špatná“ prvočísla dobré informace ( ovladač teorie (ne) ). Ty se projevují v Etale teoreticky u kritéria Ogg-Nero-Shafarevich pro snížení dobrého ; to znamená, že v určitém smyslu existuje dobrá redukce ve všech prvočíslech p, pro která je Galoisova reprezentace ρ na étale cohomologických skupinách V nerozvětvená. Pro tyto definice místní zeta funkce může být vyjádřena z hlediska charakteristické polynomu z

{\ displaystyle \ rho (Frob (p)) \,}

${\ displaystyle Frob (p)}$ být prvkem Frobenius pro str . Co se stane s rozvětveným p je, že ρ je netriviální nad setrvačnou skupinou pro p . V těchto prvočíslech musí být definice „opravena“ tak, že se vezme největší podíl zastoupení ρ, na který setrvačná skupina působí triviálním zastoupením . S tímto zpřesnění definice může být rozšířen o „téměř všechny“ p o všechny p podílející se na produktu Euler. Důsledky pro funkční rovnici stanovili Jean-Pierre Serre a Pierre Deligne na konci 60. let; samotná funkční rovnice nebyla obecně prokázána. ${\ displaystyle I (p)}$ ${\ displaystyle Z (s)}$

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Funkce Hasse - Weil zeta “ ( viz seznam autorů ) .
J.-P. Serre , Místní faktory funkcí zeta algebraických variet (definice a domněnky) , 1969/1970, Sém. Delange-Pisot-Poitou, exponát 19