Centrální síla

V klasické mechanice hmotného bodu se silové pole nazývá centrální silové pole středu O, pokud to vyhovuje . Podpora síly prochází pevným středem O. F→(M){\ displaystyle {\ vec {F}} (M) \,}F→=FEr→{\ displaystyle {\ vec {F}} = F {\ vec {e_ {r}}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}} \,}

• Pokud je centrální síla konzervativní, pochází z potenciální energie (skalární), jak je uvedeno . Konstanta je často volena konvenčně, je-li to možné, tak .U(M)=U(r)=-∫0rF(r).dr+vs.tE{\ displaystyle U (M) = U (r) = - \ int _ {0} ^ {r} F (r) .dr + c ^ {te}}U(r=∞)=0{\ displaystyle U (r = \ infty) = 0}

• Studium pohybu centrální síly bylo jedním z prvních mechanických problémů, které Newton vyřešil .

Hookova lineární síla

Robert Hooke (1635-1703) ve své korespondenci z listopadu a prosince 1679 s Isaacem Newtonem uvedl zákon tohoto dostředivého silového pole.

F→(M)=-k⋅ÓM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} (M) = - k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}

Součinitel k je považován za konstantu vratné pružiny (nebo také: tuhost pružiny); k je vyjádřeno v N / m.

• Přidružená potenciální energie se obvykle bere stejně .U(M)=12⋅k⋅r2{\ displaystyle U (M) = {\ frac {1} {2}} \ cdot k \ cdot r ^ {2} \,}

• Poznámka: Hooke považován pohyb kulového kyvadla pro velmi malé výkyvy, neboť vzhledem k pohybu malé hmotnosti působením centrálního pole s , l je poloměr koule.-k⋅ÓM→{\ displaystyle -k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}k=m⋅Gl{\ displaystyle k = {\ frac {m \ cdot g} {l}} \,}

Zobecnil tak práci Galilea na jednoduchém kyvadle ( 1601 ). Pozorování je velmi snadné, protože trajektorie je jednoduchá elipsa se středem bodu O (ve Francii se mluví o elipsě Lissajous, ale přesněji o elipsě Galileo-Hooke).

Poznámka: pokud oscilace nejsou příliš malé, pak je to sférické kyvadlo , které je mnohem obtížnější studovat. Poznámka: Robert Hooke během zimy 1679/1680 zahájil korespondenci s Newtonem. Z této korespondence se zrodil v roce 1684 rukopis „ Motu corporum gyrum “, který lze asimilovat do zárodku „ Principia “. Všimněte si, že Newton se nezmínil o své „spolupráci“ s R. Hookem. V rukopisu z roku 1685 navrhl Robert Hooke metodu výpočtu oběžných drah, kterou úspěšně použil při výpočtu pohybu kónického kyvadla (obrázek sedmi 1685 - rukopisy Trinity College)

Newtonovské pole

Isaac Newton demonstroval v roce 1685 takzvanou Newton-Gaussovu větu (viz Gaussova věta aplikovaná na elektrostatiku ):

univerzální zákon gravitační přitažlivosti mezi sférickou hvězdou, středem O, hmotou M a poloměrem R, na malém bodě hmoty m umístěné v P , mimo kouli (tedy r = OP> R) se redukuje na jednoduchý střed síla . -G⋅M⋅mr2⋅u→r{\ displaystyle - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r ^ {2}}} \ cdot {\ vec {u}} _ {r} \,}

• Newtonovské pole má potencionální energii (ke které je nutné přidat konstantu, která se podle konvence často volí nula).U(r)=-G⋅M⋅mr{\ displaystyle U (r) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r}} \,}

• Pohyb planet pod působením newtonovského pole Slunce, kde je Gaussova konstanta známá s pozoruhodnou přesností (10 významných čísel), je popsán Keplerovými zákony , které v roce 1684 předvedl Newton v „De Motu“ “, který byl přepsán ( jakmile si Newton jasně uvědomil Newton-Gaussovu větu pomocí univerzálního gravitačního zákona ), v pojednání: Principia (1687) (viz Demonstrace Keplerových zákonů ).-kr2{\ displaystyle - {\ frac {k} {r ^ {2}}} \,}k=G⋅MS{\ displaystyle k = G \ cdot M_ {S} \,}

• Pohyb pozemských satelitů (včetně Měsíce) je chápán stejným způsobem.

Díky této teorii Newton spojil dva světy: pozemskou mechaniku a nebeskou mechaniku, jak předpokládal Galileo ve svých Dialogech (1632).

• Obecným studiem newtonovského pole je předmět ve vědách o Zemi, gravimetrii , v elektrostatice pole pevných nábojů přenášených izolátory, v matematice teorie potenciálu , předmět, který velmi rozvinuli Henri Poincaré , Ito a Doob .

• Poznámka k druhé kosmické rychlosti: na úrovni Země . Je proto nutné dát projektilu opačnou počáteční kinetickou energii, aby se mohl sám extrahovat z gravitačního pole: odpovídající rychlost, řádově 11,2 km / s , je druhá kosmická rychlost (druhá prostorová rychlost) :, nezávislá m (Galileův zákon: inertní hmota a gravitační hmotnostní náboj jsou vždy proporcionální, a proto, jsou-li zvoleny stejné jednotky, jsou identické. Tento zákon, zvýšený na princip principu ekvivalence, bude bodem d ukotvení Einsteinovy ​​teorie gravitace Tento princip musí být experimentálně ověřen satelitem „micron“.U(R)=-G⋅M⋅mR{\ displaystyle U (R) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {R}} \,} proti=2⋅G×R{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ cdot g \ krát R}} \,}

Newton-Gaussova věta

Newton-Gaussova věta je docela pozoruhodná a hluboce ohromená Newtonem, který ji považoval za jeden ze svých hlavních objevů.

Ve skutečnosti, okamžitě vyvodit, že na Zemi, hmotnosti , považována za sférické, pozemní gravitace g je , a že na Měsíci, „považuje za jablko“ od šedesáti pozemních paprsků, vliv Země je (60) 2 = 3600krát menší: tento výpočet zůstal slavný, a správně, a proslavil Newtona. MT{\ displaystyle M_ {T}}G⋅MTR2{\ displaystyle {\ frac {G \ cdot M_ {T}} {R ^ {2}}} \,}

• Newtonovo jablko  : slavný apokryfní citát od Newtona zní:

Nebo jablko nad mou hlavou: je přitahováno nalevo levou pozemskou polokoulí o hmotnosti M / 2 silou, kterou lze těžko vypočítat, směřující k bodu C1, který není těžištěm polokoule a symetricky jej přitahuje doprava druhá polokoule o hmotnosti M / 2 směrem k bodu C2. Symetricky jsou tyto dvě síly složeny v síle směřující do středu O Země (a jablko padá na mou hlavu), ale je pozoruhodně jednoduché , že zákon je v 1 / OM². Tato anekdota, dědictví fyziky (trochu jako Einstein ‚s E = mc 2 či Archimedes ‘ Eureka ) se nazývá na Newtonova jablka po celém světě .

• poznámka k a-gravitaci  : zejména tento bezprostřední důsledek má za následek, také pozoruhodný, ale Newtonem rychle pochopitelný: pro sférickou hromadnou skořápku hmoty M, vnitřního poloměru , vnějšího poloměru, vnější gravitace je , ale vnitřní gravitace je nula! Jakýkoli předmět se tam vznáší v beztíže (je to skutečně beztíže a ne beztíže ). Věta ze slonoviny zobecňuje tohoto mimořádného stavu beztíže na elipsoidu pláště. Cavendish to využije v elektrostatice, viz experiment s hemisférami Cavendish . Jules Verne byl tímto zvědavým úkazem pobaven v jednom ze svých 80 románů.R1{\ displaystyle R_ {1}}R2{\ displaystyle R_ {2}}-G⋅Mr2{\ displaystyle - {\ frac {G \ cdot M} {r ^ {2}}} \,}

Bez ohledu na to, jak blízko jste k vnitřní stěně trupu, blízká stěna přitahuje tolik jako zbytek trupu v opačném směru a způsobuje absolutně nulovou sílu, ať už definujete „blízko“ jakkoli. Po pravdě řečeno, toto je „skutečná“ Newton-Gaussova věta, pozoruhodná věta . Protože navenek bylo to pole v 1 / r ² jasnou intuicí pro Newtona od jeho uvažování podobností z roku 1671, na homotetických Keplerových elipsách. Kromě toho byl Newton, hluboce zbožný, s touto větou také velmi spokojen: pokud byla sluneční soustava ve vnitřním obalu sférického vesmíru, pak pravá část vesmíru vyvažovala sílu vyvíjenou levou částí. Jediný bůh mohl vládnout tomuto vesmíru: pro Newtona mohl být prostor a čas od počátku absolutní.

Galileo, Huygens a mnoho dalších se však pustili do demonstrace principu galileovské relativity . Newtonova mistrovská práce potlačí rovnocennost hypotéz . Ani McLaurin, který se pokusí bránit Huygensův „princip lodi“, nebude dodržen (1742). Bude nutné počkat, až Fresnel , Michelson , poté Ernst Mach, až tento princip relativity najde druhý dech.

Pole silového práva

Pole je tentokrát , tedy potenciální energie (kromě n = 1). F(r)=-krne{\ displaystyle F (r) = - {\ frac {k} {r ^ {n}}} \,}U(r)=-k(ne-1)⋅rne-1{\ displaystyle U (r) = - {\ frac {k} {(n-1) \ cdot r ^ {n-1}}} \,}

Pokud je n záporné, obecně to označujeme potenciální energií . F(r)=-k⋅rp{\ displaystyle F (r) = - k \ cdot r ^ {p} \,}U(r)=+k⋅rp+1p+1+vs.tE{\ displaystyle U (r) = + {\ frac {k \ cdot r ^ {p + 1}} {p + 1}} + c ^ {te} \,}

U dostředivé síly se potenciální energie zvyšuje: říkáme, že se částice pohybuje v potenciální studni .

Ukazujeme, že pro n <3

pokud moment hybnosti (konstanta) není nula, L→=m⋅ÓM→∧PROTI→{\ displaystyle {\ vec {L}} = m \ cdot {\ overrightarrow {OM}} \ klín {\ vec {V}} \,}

trajektorie zůstává blokována mezi pericentrickým kruhem a apocentrickým kruhem, hustým v koruně, s výjimkou počátečních podmínek z fyzikálního hlediska nepravděpodobných.

Dva výjimečné případy jsou případy zmíněné výše: n = 2 (Newton) a p = 1 (Hooke): toto je Bertrandova věta , protože existuje degenerace: radiální perioda je násobkem úhlové periody. (viz Pohyb s centrální silou ).

Podívejte se také

• Centrální pohyb síly

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">