Bertrandova věta

Bertrand věta je výsledkem mechanické , pojmenované po matematik Joseph Bertrand (1822-1900), který prokázal v roce 1873. Stanoví, že v pohybu centrální síly , pouze silou zákona Hooke (v $- k OM$ , což vytváří elipsu kde pericentrum P a apocentrum A tvoří úhel (POA) rovný 90 °) a Newtonova (en $- k / r 2 u r$ , která vytváří elipsu, kde úhel (POA) je 180 °) vytváří uzavřenou trajektorii (pokud trajektorie je předem ohraničena), bez ohledu na počáteční podmínky .

Arnoldova demonstrace

Lemma 1 : je ukázáno, že úhel AOP k silovému zákonu $1 / r n$ , je, když energie $E 0$ má sklon k nule zápornými hodnotami, a tedy apocentrum je vysoce excentrické ,; ( $n$ $<3$ , aby nedošlo ke zhroucení odstředivé bariéry ). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ nad {3-n}}}$
Lemma 2 : Ukážeme, že $U ( r )$ musí být mocenský zákon, a to při pohledu na kvazi-kruhový případ (viz pohyb s centrální silou ): (logaritmický případ $n$ $= 1$ je vyloučen přímým zkoumáním). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ over {\ sqrt {3-n}}}}$
Závěr : potřebujeme $3 - n = 1$ ; to je případ Keplerových drah .
Lema 3 : případ síly v $r p$ je řešen dualitou transmutace síly : $(3 + p ) (3 - n ) = 4$ ; následně $n = 2$ odpovídá $p = 1$ : to je případ Hookovy elipsy

První, kdo si uvědomil, že Hookův lineární případ (velmi jednoduchý) poskytl řešení Keplerova problému, je Isaac Newton. Édouard Goursat , Tullio Levi-Civita , poté Karl Bohlin znovu objevil tuto větu prostřednictvím konformní transformace $z \to z 2$ , která transformuje Hookeovu trajektorii na Keplerovu, a změnou časové škály se Hookeův pohyb změnil na pohyb Keplera, ale samozřejmě síla se změní z $-kr$ na $- k ' / r 2$ : říká se tomu regularizace „šoku“ při téměř nulovém momentu hybnosti .

Zobecnění Bertrandova problému

Pokud nepředpokládáme centrální pole, existuje samozřejmě více možností. Některé z nich známe. Pro dva stupně volnosti se to stane, když má systém oddělitelnou Hamiltonovu a Jacobiho rovnici ve dvou souřadnicových systémech. Tyto případy odkazují na supersymetrii uvedenou v článku potenciálních jamek .

Volný pohyb na oblast S 3 dává tím stereografické projekce na hamiltonián jehož trajektorie jsou samozřejmě zavřeny. ${\ displaystyle H = {p ^ {2} \ nad (1 + q ^ {2}) ^ {2}}}$
Volný pohyb hrušky Julesa Tanneryho , kartézská rovnice $16 a 2 ( x 2 + y 2 ) = z 2 (2 a 2 - z 2 )$ je periodický (1892)
Pokud se vyžaduje, aby trajektorie být kuželosečky , Darboux (1877) a Halphen (1877) zjistili, dvě centrální jednotky (není konzervativní, protože v závislosti na polárním úhlu) v $r / d 3$ , kde $d$ představuje vzdálenost přímky od roviny ( zobecňuje Newtona pomocí poláru) a v $r / D 3$ , s $D 2 = ax 2 + 2 bxy + cy 2$ .
Pokud opustíme myšlenku centrální síly, trajektorie mohou být kuželovité prostřednictvím paralelních sil dvou typů.
A konečně na kouli S 2 dává Besse (1978) deformace metriky vedoucí k uzavřeným křivkám bez symetrie otáčení.

Poznámky a odkazy

Akademie věd, roč. 77, s. 849
demonstrace z Herbert Goldstein , Classical mechaniky , 2 nd ed., 1980 je jednodušší s počítačovým algebraickým systémem, jako je Maple nebo Mathematica .

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

Původní článek Josepha Bertranda (1873) [1] a anglický překlad [2] .
Herbert Goldstein, Classical Mechanics , 1964, PUF .
Perelomov, ' ' Integrable system s (1990), ed. Birkhaüser, ( ISBN 3-76432-336-1 )
Eddie Saudrais, demonstrace založená na ukázce H. Goldsteina, Classical Mechanics, druhé vydání, 1980. [3]
Další ukázka: Inverzní problém a Bertrandova věta . [4]
Další důkaz: Neporušující důkaz Bertrandovy věty . [5]