Pauliho matice
Tyto Pauli matrice , vyvinuté Wolfgang Pauli , formy, až k faktoru I , A základ o lži algebry skupiny SU (2) .
Jsou definovány jako sada komplexních matic rozměrů 2 × 2 následující:
σ1=σX=(0110){\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {x} = {\ začátek {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ konec {pmatrix}}}
σ2=σy=(0-ii0){\ displaystyle \ sigma _ {2} = \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}
σ3=σz=(100-1){\ displaystyle \ sigma _ {3} = \ sigma _ {z} = {\ začátek {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ konec {pmatrix}}}
(kde i je imaginární jednotka komplexních čísel).
Tyto ukazatele se používají v kvantové mechaniky reprezentovat rotaci z částic , a to zejména od roku 1927 v nerelativistické studie spinu elektronu: na Pauli rovnice .
Vlastnosti
Totožnosti
- σ12=σ22=σ32=(1001)=Já2{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 a 1 \ end {pmatrix}} = I_ {2}}
![{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 a 1 \ end {pmatrix}} = I_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deeb07e89c75b8b4535c36cb201bef08be1b867b)
- σ1σ2=iσ3{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f14a48c2491aa6784a709e23541bfd11f2e3fa7)
- σ3σ1=iσ2{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a9de5c8ab1b7dfdb8d6225eb27c9fc254d5e0c)
- σ2σ3=iσ1{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb2091f6c488d21063eb945309b3c784a64e925)
- σiσj=-σjσi pro i≠j{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {for}} i \ neq j \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {for}} i \ neq j \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a070e8c0a02956d3378011b3a04d542e05be03f)
Tyto identity znamenají vzorec (na→⋅σ→)(b→⋅σ→)=na→⋅b→Já2+ina→×b→⋅σ→{\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} \, I_ {2} + i \, {\ vec {a}} \ časy {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}
Vlastní čísla a vlastní vektory
Determinant a stopy z Pauli matic jsou:
det(σi)=-1Tr(σi)=0pro i∈{1;2;3}{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 & \\ [1ex] \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 & \ end {matrix}} \ quad {\ hbox {for}} \ i \ in \ {1; 2; 3 \}}![{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 & \\ [1ex] \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 & \ end {matrix}} \ quad {\ hbox {for}} \ i \ in \ {1; 2; 3 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae363b1b4da40faf339f42f5c93a4ee23093e77)
Proto jsou vlastní čísla každé matice ± 1.
Každá ze tří matic má dva vlastní vektory:
- Pro : aσ1{\ displaystyle \ sigma _ {1}}
(11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
(1-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}
- Pro : aσ2{\ displaystyle \ sigma _ {2}}
(1i){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ i \ end {pmatrix}}}
(1-i){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}
- Pro : aσ3{\ displaystyle \ sigma _ {3}}
(10){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}
(01){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
Další vlastnosti
Pauliho matice se řídí následujícími komutačními a anticommutačními vztahy :
[σi,σj]=2iϵijkσk{σi,σj}=2δij⋅Já{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \, \ epsilon _ {ijk} \, \ sigma _ {k} \\ [1ex] \ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} \ cdot I \ end {matrix}}}![{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \, \ epsilon _ {ijk} \, \ sigma _ {k} \\ [1ex] \ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} \ cdot I \ end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373615c65651dbf9e1535b39b46839dc9c9a74cb)
kde je symbol Levi-Civita , je symbolem Kroneckera a je maticí identity . Výše uvedené vztahy lze ověřit pomocí:
ϵijk{\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}
δij{\ displaystyle \ delta _ {ij}}
Já{\ displaystyle I}![Já](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
σiσj=iϵijkσk+δij⋅Já{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}![{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351f859748ca4047b3d9800581d4b60ba3ac367a)
.
Tyto komutativní vztahy jsou podobné těm na Lieově algebře a lze je interpretovat jako Lieovu algebru všech lineárních kombinací imaginárních časů Pauliho matice , tj. Jako anti matice - Hermitians 2 × 2 se stopou 0 V tomto smyslu se generují Pauliho matice . Z tohoto důvodu může být viděn jako nekonečně generátory z na odpovídající lži skupiny SU (2) .
su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
i{\ displaystyle i}
iσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}
su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
iσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}![{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58d81b893a4b7c78fcf19f9093c4a88bcf00ebe)
Algebra je isomorfní s Lieovou algebrou , což odpovídá Lieově skupině SO (3) , skupině trojrozměrných rotací. Jinými slovy, jsou to realizace „nekonečně malých“ rotací v trojrozměrném prostoru (ve skutečnosti jsou to realizace nižší dimenze).
su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
sÓ(3){\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}
iσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}![{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58d81b893a4b7c78fcf19f9093c4a88bcf00ebe)
Pro trojrozměrný rotační vektor a vektor složený z Pauliho matic máme následující vztah:
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
σ→=(σ1,σ2,σ3){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}![{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0afa4e0df870104dfa10e48846db373e9675e9)
E-iσ→⋅ω→/2=Já⋅cos(ω/2)-iω^⋅σ→hřích(ω/2){\ displaystyle e ^ {- i {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {\ omega}} / 2} = I \ cdot \ cos (\ omega / 2) -i {\ hat {\ omega} } \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ sin (\ omega / 2)}
kde je úhel natočení (norma ) a .
ω{\ displaystyle \ omega}
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
ω^=ω→/ω{\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}![{\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f4c1eb1ba592be5b1fe453594532a60e3b0d4e)
Jiné formulace
Matice σ+ a σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {a}} \ sigma ^ {-}}
V kvantové mechanice lze Pauliho matice nahradit maticemi , které definuje
σ+ a σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {a}} \ sigma ^ {-}}![{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {a}} \ sigma ^ {-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11e36254f571da2889bb2565c41f0d46dba39c9)
σ+=12(σX+iσy)=(0100){\ displaystyle \ sigma ^ {+} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} + i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
a .
σ-=12(σX-iσy)=(0010){\ displaystyle \ sigma ^ {-} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} -i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle \ sigma ^ {-} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} -i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a942db695024204374798137759bc868abf5803)
Jejich přepínač je .
[σ+,σ-]=σz{\ displaystyle [\ sigma ^ {+}, \ sigma ^ {-}] = \ sigma ^ {z}}![{\ displaystyle [\ sigma ^ {+}, \ sigma ^ {-}] = \ sigma ^ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca54c6e091a57163ffd210e6cf413841b214ba86)
Volbou vektorů jako základů se matice chovají jako a .
VS2{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}
|↑⟩=(10),|↓⟩=(01){\ displaystyle | \ uparrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, | \ downarrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
σ+ a σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {a}} \ sigma ^ {-}}
σ+|↑⟩=0,σ+|↓⟩=|↑⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {+} | \ uparrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {+} | \ downarrow \ rangle = | \ uparrow \ rangle}
σ-|↓⟩=0,σ-|↑⟩=|↓⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {-} | \ downarrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {-} | \ uparrow \ rangle = | \ downarrow \ rangle}![{\ displaystyle \ sigma ^ {-} | \ downarrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {-} | \ uparrow \ rangle = | \ downarrow \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014b7b1971f4e28bb0ba0b14913df222ffb1d176)
Čtveřice
Tyto čtveřice ověřit vlastnosti blízké těm z Pauliho matice. Je skutečně možné určit skutečnou jednotu čtveřic s maticí identity a tří jednotek , a s Pauli matic (s výjimkou multiplikativní faktor ).
i{\ displaystyle i}
j{\ displaystyle j}
k{\ displaystyle k}
±i{\ displaystyle \ pm i}![\ pm i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b7df63745bc6839de7b7df413c192f5816ff2e)
Fyzický
V kvantové mechanice iσ j představují generátory rotací na non-relativistických částic z spinem ½. Stav těchto částic je reprezentován dvousložkovými spinory , což je základní reprezentace SU (2). Zajímavou vlastností ½ spinových částic je to, že pro návrat do své původní konfigurace musí podstoupit rotaci 4π radiánů. To je způsobeno skutečností, že SU (2) a SO (3) nejsou globálně izomorfní, a to navzdory skutečnosti, že jejich nekonečně malý generátor su (2) a tak (3) jsou izomorfní. SU (2) je ve skutečnosti „povlak stupně dva“ SO (3): každému prvku SO (3) odpovídají dva prvky SU (2).
V kvantové mechanice více částic je také užitečná Pauli (en) skupina G n . Je definován jako všechny n-rozměrné tenzorové produkty Pauliho matic.
S maticí I identity, někdy označované σ 0 , se Pauli matrice tvoří základ tohoto skutečného vektorového prostoru 2 x 2 složitých hermitovských matic. Tento vektorový prostor je ekvivalentní sady čtveřic . Je-li použit jako základ pro operátor rotace ½ rotace, je stejný jako u odpovídající reprezentace rotace čtveřice.
Související články
Odkaz
-
(en) Richard L. Liboff (en) , Úvodní kvantová mechanika , Addison-Wesley , 2002 ( ISBN 0805387145 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">