Fibonacciho slovo fraktální

Fibonacciho slovo fraktální je rovina fraktální křivka definována od slova Fibonacci .

Definice

Tato křivka je konstruována iterativně tak, že na Fibonacciho slovo  : 0100101001001 ... použije pravidlo OEDR (Pravidlo lichého-sudého kreslení). Pro každou číslici na pozici k  :

• pokud je číslo 1: nakreslete segment délky 1 v předchozím směru
• je-li číslo 0, nakreslete po délce čtvrt otáčky segment délky 1:
  • napravo, pokud je k sudé
  • vlevo, pokud je k liché

Ve Fibonacciho délce slova, která je n - tým Fibonacciho číslem , je spojena s křivkou vytvořenou ze segmentů. Křivka je prezentována ve třech různých aspektech podle toho, zda n je ve tvaru 3 k , 3 k +1 nebo 3 k +2. Fne{\ displaystyle F_ {n}}Fne{\ displaystyle F_ {n}}Fne{\ displaystyle F_ {n}}

Vlastnosti

Vlastnosti.

• Křivka se segmenty představuje pravé a ploché úhly.Fne{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}Fne{\ displaystyle F_ {n}}Fne-1{\ displaystyle F_ {n-1}}Fne-2{\ displaystyle F_ {n-2}}
• Křivka nikdy nemá vlastní průnik nebo dvojité body. Nakonec představuje nekonečno asymptoticky blízkých bodů.
• Křivka ukazuje podobnosti na všech stupnicích. Redukční faktor je platný . Toto číslo, nazývané také stříbrné číslo , je přítomno v mnoha geometrických vlastnostech popsaných níže.1+2{\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}} δNAG=φ2{\ displaystyle \ delta _ {Ag} = \ varphi _ {2}}
• Autosimilární počet kopií na stupni n je Fibonacciho číslo minus 1 (přesněji :) .F3ne+3-1{\ displaystyle F_ {3n + 3} -1}
• Křivka ohraničuje nekonečno čtvercových struktur s klesající velikostí v poměru .1+2{\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}
• Tento počet čtverců je Fibonacciho číslo.
• Křivku lze také konstruovat různými způsoby (viz galerie ):
  • systém iterovaných funkcí s homothety poměru 4 a 1 a  ;1/(1+2){\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}1/(1+2)2{\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2}}
  • juxtapozice křivek n - 1 a n - 2;
  • Systém Lindermayer  ;
  • iterovaná konstrukce 8 čtvercových vzorů kolem každého čtvercového vzoru;
  • iterovaná konstrukce osmiúhelníků.
• Hausdorff z křivky , přičemž , se zlatým poměrem .3log⁡φlog⁡(1+2)≈1,6379{\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ přibližně 1 {,} 6379}φ=1+52{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}
• Zobecněním v libovolném úhlu mezi 0 a je jeho Hausdorffova dimenze rovna , s .α{\ displaystyle \ alpha}π/2{\ displaystyle \ pi / 2}3log⁡φlog⁡(1+na+(1+na)2+1){\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + a + {\ sqrt {(1 + a) ^ {2} +1}} \ right)}}}na=cos⁡α{\ displaystyle a = \ cos \ alpha}
• Hausdorffova dimenze jeho hranice je platná .log⁡3log⁡(1+2)≈12465{\ displaystyle {\ frac {\ log 3} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ přibližně 1 {,} 2465}
• Záměna role „0“ a „1“ ve slově Fibonacci nebo v pravidle generuje stejnou křivku, ale orientovanou na 45 °.
• Ze slova Fibonacci, můžeme definovat „hustý Fibonacci slovo“, na abecedě 3 písmena: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... (pokračování A143667 z OEIS ). Aplikace „přirozeného“ pravidla vykreslování na toto slovo umožňuje definovat nekonečnou množinu variant křivky, mezi které patří:
  • „diagonální“ varianta;
  • varianta „svastika“;
  • „kompaktní“ varianta.
• Domníváme se, že vzor fraktálu Fibonacciho slova lze najít pro jakékoli Sturmianovo slovo, jehož direktivní posloupnost (tedy rozšíření sklonu v pokračujících zlomcích ) končí nekonečnou posloupností „1“.

Galerie

• Křivka po iteracích. F23{\ displaystyle \ textstyle {F_ {23}}}

• Sebe-podobnosti

• Rozměry

• Stavba vedle sebe (1)

• Stavba vedle sebe (2)

• Konstrukční režim iterovaným odstraněním čtverců.

• Konstrukční metoda iterovaná osmiúhelníky.

• Iterační konstrukce ze čtverců.

• S úhlem 60 °.

• Inverze rolí „0“ a „1“.

• Varianty generované z hustého Fibonacciho slova.

• „Kompaktní“ varianta

• Varianta "svastika"

• „Diagonální“ varianta

• Varianta „pi / 8“

Fibonacciho dlaždice

Juxtapozice 4 Fibonacciho křivek typu umožňuje konstrukci uzavřené křivky ohraničující spojenou plochu nenulové oblasti. Tento údaj se nazývá „Fibonacciho dlaždice“. F3k{\ displaystyle F_ {3k}}

• Dlaždice Fibonacci téměř dláždí letadlo. Juxtapozice 4 dlaždic (viz obrázek) ponechává uprostřed volný čtverec, jehož povrch má sklon k nule, zatímco k má sklon k nekonečnu. Dlaždice Fibonacci nakonec dláždí letadlo.
• Pokud se Fibonacciho dlaždice vejde do čtverce se stranou 1, pak její plocha směřuje k .2-2≈0,5857{\ displaystyle 2 - {\ sqrt {2}} \ přibližně 0 {,} 5857}

Fibonacciho vločka

Fibonacciho vločka je dlaždice Fibonacci definovaná podle následujícího pravidla:

• qne=qne-1qne-2{\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} q_ {n-2}}pokud  ;ne≡2(mod3){\ displaystyle n \ equiv 2 {\ pmod {3}}}
• qne=qne-1qne-2¯{\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} {\ overline {q_ {n-2}}}} Pokud ne.

Pomocí a , „zahněte doleva“ a „zahněte doprava“, a , q0=ϵ{\ displaystyle q_ {0} = \ epsilon}q1=D{\ displaystyle q_ {1} = D}G={\ displaystyle G =}D={\ displaystyle D =}D¯=G{\ displaystyle {\ overline {D}} = G}

Některé pozoruhodné vlastnosti:

• Jedná se o dlaždici Fibonacci spojenou s dříve definovanou „diagonální“ variantou.
• Plán připraví při jakékoli iteraci (v jakékoli objednávce)
• Dláždilo letadlo překladem dvěma různými způsoby, takže je to dvojitý pseudo-čtverec.
• jeho obvod, na objednávku , stojí za to .ne{\ displaystyle n}4F3ne+1{\ displaystyle 4F_ {3n + 1}}
• jeho plocha, na objednávku , následuje postupné liché zařadil indexy v posloupnosti Pell (definované , a ).ne{\ displaystyle n}P0=0{\ displaystyle P_ {0} = 0}P1=1{\ displaystyle P_ {1} = 1}Pne=2Pne-1+Pne-2{\ displaystyle P_ {n} = 2P_ {n-1} + P_ {n-2}}

Poznámky a odkazy

1. (in) A. Monnerot-Dumaine, Fibonacciho fraktální slovo , březen 2009, o HAL .
2. (en) A. Blondin-Massé, S. Labbé a S. Brlek, dlaždice Christoffel a Fibonacci , září 2009.
3. (in) A. Blondin Masse, S. Labbé, S. Brlek a Mendes-France, „  Fibonacci snowflakes  “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? ) ,2010.

Podívejte se také

Související článek

Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze

Externí odkaz

(en) S. Brlek, kombinatorické aspekty dvojitých čtverců ,července 2009 (konferenční materiál, s A. Blondin-Massé a S. Labbé)