Zdarma skupina
Ve skupině Teoreticky je volný skupina na scéně S je skupina F , obsahující S a charakterizován následujícím univerzální vlastnost : pro každou skupinu G a jakékoliv satelitní f : S → G , existuje jedinečná morphism skupin z F na G , probíhající f .
Nebo opět se říká , že skupina G je volná nad podmnožinou S z G, pokud je každý prvek G napsán jedinečným způsobem jako redukovaný součin prvků S a inverze prvků S ( redukovaný význam: bez výskytu a vedlejší produkt ve formě xx −1 ). Taková skupina je jedinečná s výjimkou izomorfismu, který ospravedlňuje kvalifikátor le v definici. Obecně to bude označeno F S nebo L ( S ). Intuitivně je F S skupina generovaná S , bez vztahů mezi prvky S kromě těch, které ukládá struktura skupiny.
Dějiny
Walther von Dyck studoval v roce 1882 koncept volné skupiny, aniž by mu dal jméno, ve svém článku Gruppentheoretische Studien (Studies in group theory) publikovaném v Mathematische Annalen . Termín volná skupina představil v roce 1924 Jakob Nielsen , který definoval transformace (en), které generují skupinu automorfismů této skupiny (en) .
Konstrukce
Nechť S ' je množina ekvipotentní k S a disjunktní od S , obdařená bijekcí od S do S'. Pro každý prvek to z S , označíme s ‚ odpovídající prvek v S‘.
Označme M set slov na sjednocením S a S ‚to znamená, že konečný řetězce znaků tvořených prvků S a S‘. Dva takové řetězce budou považovány za rovnocenné, pokud je možné přejít z jednoho do druhého odstraněním nebo přidáním řetězců ve tvaru ss nebo s v jakékoli poloze . To definuje vztah rovnocennosti R na M . Definujeme F S jako soubor modulo R tříd ekvivalence . Identifikace každý prvek ů o S s své třídě F S pro zahrnutí S ⊂ F S .
Zřetězení dvou slov definuje zákon o M zachovaný ekvivalencí. Předáním do kvocientu, dostaneme zákon skupiny o E S . Neutrální prvek je třída prázdného slova a inverzní třída s 1 s 2 ... s n je třída s ' n ... s' 2 s ' 1 a každá třída obsahuje minimálně kanonického zástupce . délka: „zmenšené“ slovo, to znamená, že neobsahuje žádné pod-slovo ve tvaru ss nebo s.
Ověření univerzální vlastnosti : Pokud G je skupina, libovolná množina mapující f : S → G zasahuje do morfismu monoidů φ: M → G definovaného φ ( s 1 s 2 … s n ) = f ( s 1 ) f ( s 2 )… f ( s n ). Tento morfismus je konstantní nad třídami ekvivalence, a proto indukuje skupinový morfismus φ: F S → G, který se rozkládá na f . Navíc φ je jedinečný morfismus skupin F S → G, který rozšiřuje f , protože jakýkoli prvek F S lze zapsat jako třídu slova.
První vlastnosti
- Pokud S a T mají stejný mohutnost , pak F S a F T jsou izomorfní (o functoriality z S ↦ F S ). Naopak, pokud F S a F T jsou izomorfní, můžeme ukázat, že S a T mají stejnou mohutnost (mohutnost S je ve skutečnosti hodnost skupiny F S ). Kromě toho, je-li S je nekonečný, F S má stejnou velikost jako S , a S je hotový nebo ne, všechny morfizmy F S v ℤ / 2ℤ i hlavní, že všechny části S .
- Každá skupina generované dávkové S je podíl volné skupiny F S na S . Zejména jakákoli skupina je kvocientem volné skupiny, tedy pojmu prezentace skupiny (generátory a vztahy).
- Funktor volný objekt na nějaký soubor S v sobě spojuje volná skupina F S je náměstek odešel na zapomnětlivý funktor z kategorie skupin v sadách.
- Pokud má S mohutnost větší nebo rovnou dvěma, pak F S není komutativní. Ve skutečnosti pro všechna x , y ∈ S odlišná, xy ≠ yx jedinečností psaní.
Příklady
- Volná skupina na prázdné množině je triviální skupina a volná skupina na singletonu je izomorfní s ℤ.
- Nechť n je přirozené číslo. Základní skupina soukromého rovinu n bodů je volné uskupení na sadě kardinála n .
Podskupiny volné skupiny
- Podle Nielsen-Schreier teorém , kterákoliv podskupina volné skupiny F S je volná skupina F T , ale hlavní z T není nutně menší než nebo stejná jako S . Například, ve volné skupině F { , b } se dvěma generátory je podskupina generované podle n ba -N (pro všechna celá čísla n ) nepřipouští žádné konečné systému generátorů: je to skupina zdarma spočetná nekonečno generátorů.
- Skupina odvozená od F { , b } je rovněž volná skupina spočetné nekonečno generátorů: na komutátorů [ m , b n ] pro všechny nenulové celá čísla m , n .
Tedy ani pro rozlišené podskupiny nemáme žádný neabelovský analog s následujícím výsledkem: jakákoli podskupina volné abelianské skupiny je volná abelianská skupina, jejíž hodnost je kardinálem menším nebo rovným hodnosti skupiny.
Odkaz
(en) Marshall Hall, Jr. , Theory of Groups [ detail vydání ], kapitola 7