Sférická harmonická
Podstatu tohoto článku o matematice je třeba zkontrolovat (prosince 2016).
Vylepšete to nebo diskutujte o věcech, které chcete zkontrolovat .
Pokud jste právě připojili banner, zde označte body, které chcete zkontrolovat .
V matematiky , sférických jsou jednotlivé harmonické funkce , to znamená, že funkce, jejichž Laplacian je nula. Sférické harmonické jsou zvláště užitečné pro řešení problémů neměnných rotací, protože jsou vlastními vektory určitých operátorů souvisejících s rotací.
Harmonické polynomy P ( x , y , z ) stupně l tvoří vektorový prostor dimenze 2 l + 1 a lze je vyjádřit ve sférických souřadnicích ( r , θ , φ ) jako lineární kombinace funkcí ( 2 l + 1 ) :
rlYl,m(θ,φ){\ displaystyle r ^ {l} \, Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}, s .
-l≤m≤+l{\ displaystyle -l \ leq m \ leq + l}Sférické souřadnice ( r , θ , φ ) jsou vzdálenost ke středu koule, zeměpisná šířka a délka .
Jakýkoli homogenní polynom je zcela určen jeho omezením na jednotkovou sféru S 2 .
Definice - Funkce v oblasti získané omezením homogenních harmonických polynomů jsou sférické harmonické.
Proto se zde neobjevuje radiální část Laplaceovy rovnice, odlišná podle studovaného problému.
Sférické harmonické se používají v matematické fyzice, jakmile vstoupí do hry pojem orientace ( anizotropie ) a tedy rotace ( skupina ortogonální symetrie SO (3) ) a Laplacian:
Řešení Laplaceovy rovnice
Hledáme funkce Y l , m ( θ , φ ) ve formě součinu dvou funkcí jedné proměnné:
Yl,m(θ,φ)=kPl,m(cosθ)E+imφ{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = kP_ {l, m} (\ cos \ theta) \ mathrm {e} ^ {+ \, i \, m \, \ varphi}}
kde k je konstanta, která bude fixována později normalizací. Rovnice vlastního čísla se stává lineární diferenciální rovnicí řádu dva pro funkci P l , m (cos θ ) :
-1hříchθd dθ(hříchθdPl,m(cosθ)dθ)+m2hřích2θPl,m(cosθ)=El,mPl,m(cosθ){\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m} (\ cos \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta }} P_ {l, m} (\ cos \ theta) = E_ {l, m} P_ {l, m} (\ cos \ theta)}
Provedeme změnu proměnné: což vede k zobecněné diferenciální rovnici Legendre:
θ↦X=cosθ{\ displaystyle \ theta \ mapsto x = \ cos \ theta}
-d dX[(1-X2)dPl,m(X)dX]+m2(1-X2)Pl,m(X)=El,mPl,m(X){\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m } (x)} {\ mathrm {d} x}} \ doprava] + {\ frac {m ^ {2}} {(1-x ^ {2})}} P_ {l, m} (x) = E_ {l, m} P_ {l, m} (x)}
Vlastní čísla této rovnice jsou nezávislá na m :
El,m=l(l+1) {\ displaystyle E_ {l, m} = l (l + 1) ~}
Vlastní funkce P l , m ( x ) jsou přidružené Legendrovy polynomy . Jsou postaveny z Legendrových polynomů P l ( x ), což jsou vlastní funkce běžné Legendrovy diferenciální rovnice, odpovídající případu m = 0 :
-d dX[(1-X2)dPl(X)dX]=l(l+1)Pl(X){\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l} ( x)} {\ mathrm {d} x}} \ vpravo] = l (l + 1) P_ {l} (x)}
Máme generující vzorec Olinde Rodrigues :
Pl(X)=12ll!dl dXl[X2-1]l{\ displaystyle P_ {l} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {l} l!}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l}}} \ vlevo [x ^ {2} -1 \ vpravo] ^ {l}}
Poté zkonstruujeme vlastní funkce P l , m ( x ) podle vzorce:
Pl,m(X)=(-1)m[1-X2]m/2dmPl(X)dXm{\ displaystyle P_ {l, m} (x) = (- 1) ^ {m} \ vlevo [1-x ^ {2} \ vpravo] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {m} P_ {l} (x)} {\ mathrm {d} x ^ {m}}}}
buď výslovně:
Pl,m(X)=(-1)m2ll![1-X2]m/2dl+m dXl+m[X2-1]l{\ displaystyle P_ {l, m} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} l!}} \ left [1-x ^ {2} \ right] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l + m} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l + m}}} \ vlevo [x ^ {2} -1 \ vpravo] ^ {l}}
Poznámka: v praxi stačí vypočítat funkce P l , m ( x ) pro m ≥ 0 , protože mezi P l , m ( x ) a P l , - m ( x ) existuje jednoduchý vztah :
Pl,-m(X)=(-1)m(l-m)!(l+m)!Pl,m(X){\ displaystyle P_ {l, -m} (x) = (- 1) ^ {m} {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} P_ {l, m} (x)}
Vyjádření sférických harmonických
Poté získáme výraz uvedený níže. Snadný způsob, jak si tento výraz zapamatovat, je následující:
Yl,0=Pl(cosθ)⋅2l+14π{\ displaystyle Y_ {l, 0} = P_ {l} (\ cos \ theta) \ cdot {\ sqrt {\ frac {2l + 1} {4 \ pi}}}},
kde P l ( x ) je legendární polynom stupně l .
Poté získáme:
J+Yl,m=(l2-m2)+(l-m)⋅Yl,m+1{\ displaystyle J _ {+} Y_ {l, m} = {\ sqrt {(l ^ {2} -m ^ {2}) + (lm)}} \ cdot Y_ {l, m + 1}}
nebo
J+=Eiϕ(∂∂θ+iopáleníθ⋅∂∂ϕ){\ displaystyle J _ {+} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} + {\ frac {\ mathrm {i }} {\ tan \ theta}} \ cdot {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ phi}} \ vpravo)}
je operátor „vzestupného žebříku“.
Pro záporné m ,Yl,m=(-1)m⋅Yl,-m∗{\ displaystyle Y_ {l, m} = (- 1) ^ {m} \ cdot Y_ {l, -m} ^ {*}}
Často je tato základna známá :
|lm⟩{\ displaystyle | lm \ rangle}
lze tedy napsat jakoukoli funkci na kouli S 2 :
F(θ,ϕ)=Fl,m⋅|lm⟩{\ displaystyle f (\ theta, \ phi) = f ^ {l, m} \ cdot | lm \ rangle}
(v Einsteinově sčítací konvenci ), komplexní koeficienty f l , m hrající roli složek f v základu (někdy říkáme zobecněné Fourierovy koeficienty).
|lm⟩{\ displaystyle | lm \ rangle}
V chemii nebo geofyzice se stává, že dáváme přednost použití „skutečných“ sférických harmonických a skutečných Fourierových koeficientů.
Matematické vyjádření
Sférické harmonické tvořící ortogonální základ na jednotkové kouli, jakákoli spojitá funkce f ( θ , φ ) se rozpadá na řadu sférických harmonických:
F(θ,φ)=∑l=0+∞∑m=-l+lVSlm⋅Ylm(θ,φ){\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ součet _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ součet _ {m = -l} ^ {+ l} C_ {l} ^ {m} \ cdot Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
kde l a m jsou celočíselné indexy , Cm
l je konstantní koeficient a často v matematice přebírá název zobecněného Fourierova koeficientu vzhledem k tomuto základu.
Expanze sférických harmonických je ekvivalentem, aplikovaným na úhlové funkce, vývoje ve Fourierových řadách pro periodické funkce .
Ym
lje skutečnou součástí komplexní funkce Ym
l
Ylm(θ,φ)=Re(Ylm_(θ,φ)){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = \ operatorname {Re} \ left ({\ underline {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) \ right )}
Ym
l se nazývá „asociovaná funkce Legendre“ a je definována
Ylm_(θ,φ)=2⋅(l-m)!(l+m)!⋅Plm(cosθ)⋅Eimφ{\ displaystyle {\ underline {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} m \ varphi}}
kde i je imaginární a Pm
lje přidružený Legendrov polynom :
Plm(X)=(-1)m2l⋅l!⋅(1-X2)m/2⋅∂m+l∂Xm+l[(X2-1)l]{\ displaystyle P_ {l} ^ {m} (X) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot (1-X ^ {2} ) ^ {m / 2} \ cdot {\ frac {\ částečné ^ {m + l}} {\ částečné X ^ {m + l}}} \ vlevo [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ že jo]}
Takže máme
Ylm(θ,φ)=2⋅(l-m)!(l+m)!⋅Plm(cosθ)⋅cos(mφ){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ cos (m \ varphi)}
Máme například:
-
P00(cosθ)=1{\ displaystyle P_ {0} ^ {0} (\ cos \ theta) = 1}( Y0
0 je izotropní);
-
P10(cosθ)=cosθ{\ displaystyle P_ {1} ^ {0} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta} ;
-
P11(cosθ)=-hříchθ{\ displaystyle P_ {1} ^ {1} (\ cos \ theta) = - \ sin \ theta} ;
-
P31(cosθ)=32⋅hříchθ⋅(-5⋅cos2θ+1){\ displaystyle P_ {3} ^ {1} (\ cos \ theta) = {\ frac {3} {2}} \ cdot \ sin \ theta \ cdot (-5 \ cdot \ cos ^ {2} \ theta + 1)} ;
Y funkcem
l( θ , φ ) prezentuje stále více symetrií s rostoucím l (kromě případů, kdy l = 0 , protože Y0
0 je konstantní funkce, a proto popisuje sféru).
Legendární polynomy
Pro kruhové harmonické se používají polynomy P l kosinové funkce :
Yl(θ)=Pl(cosθ){\ displaystyle Y_ {l} (\ theta) = P_ {l} (\ cos \ theta)}
Polynomů P l použity jsou Legendrovy polynomy :
Pl(X)=12l⋅l!⋅dldXl[(X2-1)l]{\ displaystyle P_ {l} (X) = {\ frac {1} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot {\ frac {d ^ {l}} {dX ^ {l}}} \ vlevo [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ vpravo]}
(
Rodriguesův vzorec , francouzský matematik)
Získáváme:
-
P0(cosθ)=1 {\ displaystyle P_ {0} (\ cos \ theta) = 1 ~} (izotropní funkce);
-
P1(cosθ)=cosθ {\ displaystyle P_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta ~} ;
-
P2(cosθ)=12(3cos2θ-1){\ displaystyle P_ {2} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1)} ;
-
P3(cosθ)=12(5cos3θ-3cosθ){\ displaystyle P_ {3} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (5 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta)} ;
Standardizované sférické harmonické
Ortonormální základ sférických harmonických
Mezi funkcemi 2 l +1 se stalo zvykem vybrat ortonormální základ pro kouli opatřenou opatřením
S2{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}
dμ=14πhříchθdθdϕ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mu = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi},
nebo skalární součin ( ve skutečnosti Hermitian ):
⟨F1∣F2⟩=14π∬S2F1∗F2hříchθdθdϕ{\ displaystyle \ langle f_ {1} \ mid f_ {2} \ rangle = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iint _ {S ^ {2}} f_ {1} ^ {*} f_ { 2} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi}
Sférické harmonické jsou řešení rovnice vlastních čísel:
-ΔYl,m(θ,φ)=l(l+1)Yl,m(θ,φ){\ displaystyle - \ Delta Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = l (l + 1) Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
kde je laplaciánský operátor zapsán ve sférických souřadnicích na kouli o poloměru jednotky J 2 :
ΔF(θ,φ)=dEFJ2F=1hříchθ∂ ∂θ(hříchθ∂F∂θ)+1hřích2θ∂2F∂φ2{\ displaystyle \ Delta f (\ theta, \ varphi) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} J ^ {2} f = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné ~} {\ částečné \ theta}} \ levé (\ sin \ theta {\ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta}} \ pravé) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2 } \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné \ varphi ^ {2}}}}
Jsou to správné funkce obsluhy :
J3=-i∂∂ϕ{\ displaystyle J_ {3} = - \ mathrm {i} {\ tfrac {\ částečné} {\ částečné \ phi}}}
J3Yl,m=m⋅Yl,m{\ displaystyle J_ {3} Y_ {l, m} = m \ cdot Y_ {l, m}}
Tito, jakmile se normalizují na kouli, se pak obvykle označují Y l, m ( θ , φ ) , kde úhly ( θ , φ ) jsou sférické souřadnice na kouli poloměru jednotky a l a m jsou celá čísla dvou čísel, například 0 ≤ l a - l ≤ m ≤ + l
Standardizace
Sférické harmonické tvoří ortonormální základ vlastních funkcí laplaciánského operátora na sféře poloměru jednotky S 2 v tom smyslu, že:
Jsou kolmé pro následující skalární součin:
∬S2dΩ(θ,φ)Y¯l′,m′(θ,φ)Yl,m(θ,φ)=δl,l′δm,m′{\ displaystyle \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l ', m'} (\ theta, \ varphi) Y_ { l, m} (\ theta, \ varphi) = \ delta _ {l, l '} \ delta _ {m, m'}}
V tomto vzorci, dΩ ( θ , φ ) reprezentuje základní pevný úhel :
dΩ(θ,φ)=hříchθdθdφ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) = \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ varphi}
Jakákoli dostatečně pravidelná funkce f ( θ , φ ) připouští sériové rozšíření:
F(θ,φ)=∑l=0+∞∑m=-l+lnal,mYl,m(θ,φ){\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ součet _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ součet _ {m = -l} ^ {+ l} a_ {l, m} Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
kde komplexní koeficienty a l , m se počítají podle:
nal,m=∬S2dΩ(θ,φ)Y¯l,m(θ,φ)F(θ,φ){\ displaystyle a_ {l, m} = \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l, m} (\ theta, \ varphi) f (\ theta, \ varphi)}
Vyjádření normalizovaných sférických harmonických
Zobecněné sférické harmonické jsou definovány na kouli S 3 . Normalizace sférických harmonických vede k závěrečnému vyjádření:
Yl,m(θ,φ)=(-1)12(m+|m|)(2l+1)4π(l-|m|)!(l+|m|)!Pl,|m|(cosθ)Eimφ{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} (m + | m |)} {\ sqrt {{\ frac {( 2l +1)} {4 \ pi}} {\ frac {(l- | m |)!} {(L + | m |)!}}}} P_ {l, | m |} (\ cos \ theta ) \ mathrm {e} ^ {i \, m \, \ varphi}}
„Skutečná“ forma sférických harmonických
Pokud m m 0 mají sférické harmonické komplexní hodnoty. Je však možné pro danou hodnotu definovat lineární kombinace, které jsou skutečné, a přitom stále tvoří normalizovanou základnu na jednotkové sféře.
Yℓ,m{\ displaystyle Y _ {\ ell, m}}ℓ{\ displaystyle \ ell}Yℓ,m{\ displaystyle Y _ {\ ell, m}}
Stačí, když vezmeme následující lineární kombinace:
Y~ℓm={i2(Yℓm-(-1)mYℓ-m)-li m<0,Yℓ0-li m=0,12(Yℓ-m+(-1)mYℓm)-li m>0.={i2(Yℓ-|m|-(-1)mYℓ|m|)-li m<0,Yℓ0-li m=0,12(Yℓ-|m|+(-1)mYℓ|m|)-li m>0.{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ tilde {Y}} _ {\ ell m} & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ over {\ sqrt {2}}} \ vlevo (Y _ {\ ell} ^ {m} - (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {- m} \ doprava) & {\ text {si}} \ m <0, \ \\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text {si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell } ^ {- m} + (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {m} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \ \ & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ přes {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} - (- 1) ^ { m} \, Y_ {\ ell} ^ {| m |} \ vpravo) & {\ text {si}} \ m <0, \\\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text { si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} + (- 1) ^ {m} \ , Y _ {\ ell} ^ {| m |} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \\\ end {aligned}}}Je snadné zkontrolovat, zda jsou tyto výrazy normalizovány na jednotu. Tyto vztahy lze snadno zvrátit a získat:
Yℓm={12(Y~ℓ|m|-iY~ℓ,-|m|)-li m<0,Y~ℓ0-li m=0,(-1)m2(Y~ℓ|m|+iY~ℓ,−|m|)si m>0.{\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left({\tilde {Y}}_{\ell |m|}-\mathrm {i} {\tilde {Y}}_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{si}}\ m<0,\\\displaystyle {\tilde {Y}}_{\ell 0}&{\text{si}}\ m=0,\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left({\tilde {Y}}_{\ell |m|}+\mathrm {i} {\tilde {Y}}_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{si}}\ m>0.\end{cases}}}Nahrazením sférických harmonických v předchozích výrazech získáme následující obecné výrazy:
Y~ℓm={2(2ℓ+1)4π(ℓ−|m|)!(ℓ+|m|)!Pℓ|m|(cosθ)sin|m|φsi m<0,(2ℓ+1)4πPℓ0(cosθ)si m=0,2(2ℓ+1)4π(ℓ−m)!(ℓ+m)!Pℓm(cosθ)cosmφsi m>0.{\displaystyle {\tilde {Y}}_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\sin |m|\varphi &{\mbox{si }}m<0,\\\displaystyle {\sqrt {(2\ell +1) \over 4\pi }}P_{\ell }^{0}(\cos \theta )&{\mbox{si }}m=0,\\\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi &{\mbox{si }}m>0.\end{cases}}}Tyto funkce se často používají v kvantové chemii k reprezentaci úhlových částí různých atomových orbitalů spojených s různými elektrony elektronického zpracování atomů .
Grafická znázornění
Sférické znázornění
Použijeme-li sférické vyjádření
ρ=ρ0+ρ1⋅Ylm(θ,φ){\displaystyle \rho =\rho _{0}+\rho _{1}\cdot Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
pak reprezentativní povrch je hrbolatá koule; hrboly odpovídají částem, kde Ym
lje pozitivní, údolí v částech, kde Ym
lje negativní. Když θ a φ popisují interval [0; 2π [ , Ym
l( θ , φ ) mizí podle l kruhů:
Parametr l se nazývá „stupeň“, m se nazývá „azimutální řád“. Mezi kruhy zrušení je funkce střídavě kladná nebo záporná.
Níže jsou zobrazeny čtyři průřezy sférické harmonické Y2
3 :
Stejně jako dříve můžeme funkci reprezentovat křivkou ve sférických souřadnicích:
Y32{\displaystyle Y_{3}^{2}}
|
|
ρ=ρ0+ρ1⋅Y32(θ,φ){\displaystyle \rho =\rho _{0}+\rho _{1}\cdot Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )} části v bílé barvě jsou kladné, v modré záporné
|
ρ=|Y32(θ,φ)|2{\displaystyle \rho =|Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )|^{2}}
|
Částečné zastoupení
Sférické harmonické lze znázornit jednodušším způsobem bez vibrací břicha, přičemž si ponecháme pouze uzly, jak ukazuje následující tabulka. Jedná se o koule horní postavy, promítnuté do svislé roviny. Na posledním řádku najdeme čtyři koule prvního obrázku výše, kde l = 3 . Čtyři hodnoty m y se pohybují od 0 do 3 v absolutní hodnotě. Na obrázku níže rozlišujeme záporné hodnoty, abychom zohlednili, že rotaci lze provádět v jednom nebo druhém směru pro m > 0 . Abychom ukázali shodu s harmonickými, jejich nejjednodušší výraz je uveden pod každou sférou.
Rozpoznáváme sekundární kvantová čísla l , která odpovídají magnetickým podvrstvám atomu vodíku s , p , d , f a m . Hlavní kvantové číslo n se neobjevuje, protože radiální režimy se liší podle studovaného problému, akustické rezonance, atomu vodíku apod.
Abychom ukázali shodu s literaturou, je pod každou sférou uveden výraz sférických harmonických. Počet a hodnota nul přidružených nenormalizovaných Legendrových polynomů udává počet rovnoběžek a jejich polohu na svislé ose. Imaginární exponenciální exp (i mϕ ) jednotkového modulu, který se obvykle používá místo sinusů a kosinů, udává počet meridiánů. Hodnoty l ≥ 4 jsou pozorovány pouze ve vzrušených stavech nebo na Rydbergových atomech, kde je obvyklá hodnota l 50 a jejichž orbitál není reprezentován sférou, ale prstencem.
Kartézské a polární znázornění
Můžeme reprezentovat kruhové harmonické třemi způsoby:
Tři první kruhové harmonické
|
Kartézské zastoupení
|
Polární reprezentace (ruční kreslení)
|
Polární reprezentace (přesný graf)
|
---|
Y 1 |
|
|
|
Y 2 |
|
|
Y 3 |
|
|
Jiné harmonické
Kruhové harmonické
V rovině je zapsán rozklad:
f(θ)=∑l=0+∞Cl⋅Yl(θ){\displaystyle f(\theta )=\sum _{l=0}^{+\infty }C_{l}\cdot Y_{l}(\theta )}
Y 0 je konstantní funkce, reprezentativní křivka v polárních souřadnicích r = Y 0 ( θ ) je tedy kruh o poloměru r 0 .
Y l je funkce neměnná otočením o úhel1/l +1 turné, to znamená
Yl(θ+2πl+1)=Yl(θ){\displaystyle Y_{l}\left(\theta +{\frac {2\pi }{l+1}}\right)=Y_{l}(\theta )}
říkáme, že Y l připouští symetrii řádu l + 1 .
Zobecněné sférické harmonické
Při zvažování orientace objektu v prostoru je nutné apelovat na tři úhly; obecně používáme Eulerovy úhly ( ψ , θ , φ ) .
Uvažujme spojitou funkci orientace f ( ψ , θ , φ ) ; stejně jako dříve lze tuto funkci rozdělit na zobecněné sférické harmonické
f(ψ,θ,φ)=∑l=0+∞∑m=−l+l∑n=−l+lClmn⋅Ylmn(ψ,θ,φ){\displaystyle f(\psi ,\theta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}\sum _{n=-l}^{+l}C_{l}^{mn}\cdot Y_{l}^{mn}(\psi ,\theta ,\varphi )}
kde C.mn
lje konstanta. Funkce Y.mn
l je psáno:
Ylmn(ψ,θ,φ)=eimφ⋅Plmn(cosθ)⋅einψ{\displaystyle Y_{l}^{mn}(\psi ,\theta ,\varphi )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }\cdot P_{l}^{mn}(\cos \theta )\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\psi }}
Polynom Pmn
l je zobecněný Legendrov polynom
Plmn(X)=(−1)l−m⋅in−m2l⋅(l−m)!⋅[(l−m)!(l+n)!(l+m)!(l−n)!]1/2⋅(1−X)−n−m2{\displaystyle P_{l}^{mn}(X)={\frac {(-1)^{l-m}\cdot \mathrm {i} ^{n-m}}{2^{l}\cdot (l-m)!}}\cdot \left[{\frac {(l-m)!(l+n)!}{(l+m)!(l-n)!}}\right]^{1/2}\cdot (1-X)^{-{\frac {n-m}{2}}}}⋅(1+X)−n+m2⋅∂l−n∂Xl−n[(1−X)l−m(1+X)l+m]{\displaystyle \cdot (1+X)^{-{\frac {n+m}{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{l-n}}{\partial X^{l-n}}}\left[(1-X)^{l-m}(1+X)^{l+m}\right]}
Když X popisuje interval [-1; 1] , tato funkce Pmn
lje buď skutečné, nebo čisté imaginární. Y00
0( ψ , θ , φ ) je izotropní funkce (sférická symetrie).
Podle zákona o složení rotací máme:
Ylmn(ψ1+ψ2,θ1+θ2,φ1+φ2)=∑s=−l+lYlms(ψ1,θ1,φ1)⋅Ylsn(ψ2,θ2,φ2){\displaystyle Y_{l}^{mn}(\psi _{1}+\psi _{2},\theta _{1}+\theta _{2},\varphi _{1}+\varphi _{2})=\sum _{s=-l}^{+l}Y_{l}^{ms}(\psi _{1},\theta _{1},\varphi _{1})\cdot Y_{l}^{sn}(\psi _{2},\theta _{2},\varphi _{2})}
a hlavně
Plmn(cos(θ1+θ2))=∑s=−l+lPlms(cosθ1)⋅Plsn(cosθ2){\displaystyle P_{l}^{mn}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2}))=\sum _{s=-l}^{+l}P_{l}^{ms}(\cos \theta _{1})\cdot P_{l}^{sn}(\cos \theta _{2})}
Obecně máme:
Plmn=Plnm=Pl−m−n{\displaystyle P_{l}^{mn}=P_{l}^{nm}=P_{l}^{-m-n}}
Například pro l = 1 :
P1mn(cosθ){\displaystyle P_{1}^{mn}(\cos \theta )}
m
|
ne
|
---|
-1
|
0
|
+1
|
-1
|
12(1+cosθ){\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )}
|
−i2sinθ{\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }
|
12(cosθ−1){\displaystyle {\frac {1}{2}}(\cos \theta -1)}
|
0
|
−i2sinθ{\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }
|
cosθ{\displaystyle \cos \theta }
|
−i2sinθ{\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }
|
1
|
12(cosθ−1){\displaystyle {\frac {1}{2}}(\cos \theta -1)}
|
−i2sinθ{\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }
|
12(1+cosθ){\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )}
|
Pro l = 2 :
P2mn(cosθ){\displaystyle P_{2}^{mn}(\cos \theta )}
m
|
ne
|
---|
-2
|
-1
|
0
|
+1
|
+2
|
-2
|
14(cosθ+1)2{\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta +1)^{2}}
|
−i2sinθ(cosθ+1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}
|
−1232(1−cos2θ){\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}
|
−i2sinθ(cosθ−1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}
|
14(cosθ−1)2{\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta -1)^{2}}
|
-1
|
−i2sinθ(cosθ+1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}
|
12(2cos2θ+cosθ−1){\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1)}
|
−32isinθcosθ{\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }
|
12(2cos2θ−cosθ−1){\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta -\cos \theta -1)}
|
−i2sinθ(cosθ−1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}
|
0
|
−1232(1−cos2θ){\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}
|
−32isinθcosθ{\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }
|
12(3cos2θ−1){\displaystyle {\frac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)}
|
−32isinθcosθ{\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }
|
−1232(1−cos2θ){\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}
|
1
|
−i2sinθ(cosθ−1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}
|
12(2cos2θ−cosθ−1){\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta -\cos \theta -1)}
|
−32isinθcosθ{\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }
|
12(2cos2θ+cosθ−1){\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1)}
|
−i2sinθ(cosθ+1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}
|
2
|
14(cosθ−1)2{\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta -1)^{2}}
|
−i2sinθ(cosθ−1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}
|
−1232(1−cos2θ){\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}
|
−i2sinθ(cosθ+1){\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}
|
14(cosθ+1)2{\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta +1)^{2}}
|
Poznámky a odkazy
-
Zavedli jsme znaménko mínus, abychom měli kladná vlastní čísla . Laplaciánský operátor je ve skutečnosti záporný operátor v tom smyslu, že pro každou hladkou funkci ϕ s kompaktní podporou máme:∫ϕΔϕ=−∫‖gradϕ‖2{\displaystyle \int \phi \Delta \phi =-\int \|\mathrm {grad} \phi \|^{2}}
Tato rovnost je demonstrována pomocí vztahu Δ = div grad a integrací po částech .
-
Bernard Schaeffer, Relativities and quanta objasněn , Publibook, 2007
-
Kruhové atomy: vlastnosti a příprava
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
Bibliografie
- Isaac Todhunter, Základní pojednání o Laplaceových funkcích, Chromých funkcích a Besselových funkcích , Macmillan a spol., 1875.
- Norman McLeod Ferrers, Základní pojednání o sférických harmonických a tématech s nimi souvisejících , Macmillan a spol., 1877.
- William Ellwood Byerly, Základní pojednání o Fourierově sérii a sférických, válcových a elipsoidních harmonických s aplikacemi na problémy v matematické fyzice , Ginn & Co, 1893.
- René Lagrange, Polynômes et functions de Legendre coll. "Matematické vědy Memorial" n o 97 Gauthier-Villars, 1939.
- IS Gradshteyn a IM Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products , eds. Alan Jeffrey a Daniel Zwillinger, Academic Press ( 6 th edition, 2000) ( ISBN 0-12-294757-6 ) . Errata na webu vydavatele: [http: //www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com].
- John D. Jackson, Classical Electrodynamics - Course and Exercises in Electromagnetism , Dunod, 2001) ( ISBN 2-10-004411-7 ) . Francouzský překlad 3 třetím vydání velkého amerického klasika.
-
JL Basdevant a J. Dalibard, Kvantová mechanika [ detail vydání ].
-
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu a F. Laloë , Kvantová mechanika [ detail vydání ].
-
Albert Messiah , Quantum Mechanics [ detail vydání ].
- H.-J. Bunge, Analýza textur ve vědě o materiálech - Matematické metody , ed. Butterworths, 1969 (anglický překlad 1982): pro zobecněné sférické harmonické.
-
Yvette Kosmann-Schwarzbach , Skupiny a symetrie: konečné skupiny, skupiny a Lieovy algebry, reprezentace , Éditions de l'École polytechnique,července 2006 ; kapitola 7, „Sférické harmonické“ ( ISBN 978-2-7302-1257-1 ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">