Přidružený Legendrov polynom
V matematice , přidruženém Legendrově polynomu , je uvedeno konkrétní řešení obecné Legendrovy rovnice:
Pℓm(X){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}
(1-X2)y„-2Xy′+(ℓ(ℓ+1)-m21-X2)y=0,{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ vpravo) \, y = 0, \,}který má pravidelné řešení pouze v intervalu [-1,1] a pokud , s a m celá čísla. Redukuje se na Legendrovu diferenciální rovnici, pokud m = 0.
-ℓ≤m≤+ℓ{\ displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}
Tato funkce je polynomem, pokud m je sudé celé číslo . Název „polynom“ však, i když je nesprávný, stále zůstává v případě, že m je liché celé číslo .
S obecnou Legendrovou rovnicí se setkáváme zejména ve fyzice , například při řešení Helmholtzovy rovnice ve sférických souřadnicích . Zejména související Legendrovy polynomy hrají důležitou roli při definování sférických harmonických .
Definice a obecné výrazy
Legendrova obecná rovnice ve fyzice
Obecná Legendrova rovnice se objeví přirozeně v vyřešení trojrozměrné Helmholtzova rovnice ve sférických souřadnicích (označené , s , s konstantou, použitím metody separace proměnných . Přesněji řečeno, odpovídá úhlové části podle colatitude této rovnice a odpovídající separačním konstantám.
Δ2F+k2F=0{\ displaystyle \ Delta ^ {2} f + k ^ {2} f = 0}(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}F=F(r→)=F(r,θ,ϕ){\ displaystyle f = f ({\ vec {r}}) = f (r, \ theta, \ phi)}k2{\ displaystyle k ^ {2}}θ{\ displaystyle \ theta}ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}m2{\ displaystyle m ^ {2}}
Ve skutečnosti je v tomto případě odpovídající úhlová rovnice ve tvaru:
1hříchθddθ(hříchθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2hřích2θ)Θ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \ Theta (\ theta) = 0}
Demonstrace
Ve sférických souřadnicích je Helmholtzova rovnice zapsána:
1r2hříchθ[hříchθ∂∂r(r2∂F∂r)+∂∂θ(hříchθ∂F∂θ)+1hříchθ∂2F∂ϕ2]+k2F=0,{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo (r ^ {2} { \ frac {\ částečné f} {\ částečné r}} \ pravé) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ levé (\ sin \ theta {\ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné \ phi ^ {2}}} \ vpravo] + k ^ { 2} f = 0,}pokud se nyní hledá řešení oddělením proměnných , co po nahrazení a dělení :
F(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ displaystyle f (r, \ theta, \ phi) = R (r) \ theta (\ theta) \ phi (\ phi)}R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}
1R(r)r2ddr(r2dRdr)+1Θ(θ)r2hříchθddθ(hříchθdΘdθ)+1Φ(ϕ)r2hřích2θd2Φdϕ2=-k2.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ vlevo (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ vpravo) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}Protože tato rovnice musí platit pro všechny hodnoty a je konstantní, musí se každý z prvních tří členů rovnat konstantě. Pokud se tedy ptáme:
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}k2{\ displaystyle k ^ {2}}
1Φ(ϕ)d2Φdϕ2=-m2,{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}rovnice je přeskupena ve tvaru:
1R(r)ddr(r2dRdr)+k2r2=-1Θ(θ)hříchθddθ(hříchθdΘdθ)+m2hřích2θ.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ vlevo (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ vpravo) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}Tato rovnice je ve formě samostatných proměnných, každý člen se musí rovnat stejné zaznamenané konstantě a úhlová část podle je proto uvedena ve tvaru:
ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}Θ(θ){\ displaystyle \ Theta (\ theta)}
1hříchθddθ(hříchθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2hřích2θ)Θ(θ)=0.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \ Theta (\ theta) = 0.}Radiální rovnice odpovídá diferenciální rovnici sférických Besselových funkcí .
Změna proměnné pak umožňuje dát tuto rovnici ve formě obecné rovnice Legendre.
X=cosθ{\ displaystyle x = \ cos \ theta}
Výraz jako funkce Legendrových polynomů
Přidružené Legendrovy polynomy jsou odvozeny z Legendrových polynomů podle vzorce:
Pℓ(X){\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}
Pℓm(X)=(-1)m (1-X2)m/2 dmdXm(Pℓ(X)).{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ vlevo (P _ {\ ell} (x) \ vpravo).}.
Za předpokladu, že 0 ≤ m ≤ ℓ, s celými čísly m ,,, polynomy splňují následující podmínku ortogonality pro pevné m :
∫-11PkmPℓmdX=2(ℓ+m)!(2ℓ+1)(ℓ-m)! δk,ℓ,{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}kde je symbol Kronecker .
δk,ℓ{\ displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}
Rovněž sledují následující podmínku ortogonality na ℓ fixní:
∫-11Pℓm(X)Pℓne(X)1-X2dX={0-li m≠ne(ℓ+m)!m(ℓ-m)!-li m=ne≠0∞-li m=ne=0.{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {cases}}.}
Spojení s sférickými harmonickými
Sférické harmonické zasahují zejména do kvantové fyziky , kde odpovídají vlastním funkcím orbitálního momentu hybnosti , tedy těm, které jsou společné operátorům (kvadrát momentu hybnosti) a její součásti , s rovnicemi vlastních čísel:
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}
L^2Yℓ,m(θ,ϕ)=ℏ2ℓ(ℓ+1)Yℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}a
L^zYℓ,m(θ,ϕ)=ℏmYℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}.
Ve sférických souřadnicích jsou tyto operátory umístěny ve tvaru:
L^z=-iℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ phi}},}
L^2=-ℏ2(1hříchθ∂∂θ[hříchθ∂∂θ]+1hřích2θ∂2∂ϕ2).{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ vlevo ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta }} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ pravé] + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné \ phi ^ {2}}} \ vpravo).}
V důsledku toho odpovídá úhlové části Laplacian a rovnice vlastních čísel jsou ve skutečnosti totožné s rovnicemi získanými při řešení Helmholtzovy rovnice. Z tohoto důvodu sférické harmonické jsou úměrné a , a po normalizaci jejich podobu:
L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}Pℓm(cosθ){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta)}Ejámϕ{\ displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}
Yℓm(θ,ϕ)=(-1)m(2ℓ+1)4π(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm(cosθ)Eimϕ.{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi) = (- 1) ^ {m} {\ sqrt {{{((2 \ ell +1) \ přes 4 \ pi} {( \ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ phi}.}
Tabulky prvních přidružených polynomů Legendre
První přidružené polynomy Legendru jsou:
Pℓm(X){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
m{\ displaystyle m}
|
---|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
nd
|
nd
|
nd
|
nd
|
1
|
X{\ displaystyle x}
|
-(1-X2)1/2{\ displaystyle - (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
nd
|
nd
|
nd
|
2
|
12(3X2-1){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}
|
-3X(1-X2)1/2{\ displaystyle -3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
3(1-X2){\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}
|
nd
|
nd
|
3
|
12(5X3-3X){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}
|
-32(5X2-1)(1-X2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {3} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {2} -1) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
15X(1-X2){\ displaystyle 15x (1-x ^ {2})}
|
-15(1-X2)3/2{\ displaystyle -15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
nd
|
4
|
18(35X4-30X2+3){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {8}} \ end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3)}
|
-52(7X3-3X)(1-X2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {5} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {3} -3x) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
152(7X2-1)(1-X2){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {15} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}
|
-105X(1-X2)3/2{\ displaystyle -105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
105(1-X2)2{\ displaystyle 105 (1-x ^ {2}) ^ {2}}
|
Pro záporné hodnoty m stačí použít vztah:
Pℓ-m=(-1)m(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm,{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}který je odvozen přímo z výše uvedeného vzorce.
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Z této rovnice vyplývá, že máme nějakou formu , ale protože nutně musí být v daném intervalu nehodnoceno, m musí být relativní celé číslo .Φ(ϕ){\ displaystyle \ Phi (\ phi)}Φ(ϕ)=VSexp(jámϕ), s VS∈VS{\ displaystyle \ Phi (\ phi) = C \ exp (\ imath m \ phi), {\ text {s}} C \ v \ mathbb {C}}ϕ(ϕ){\ displaystyle \ phi (\ phi)}[0,2π[{\ displaystyle [0,2 \ pi [}
-
Faktor je ve skutečnosti fázový faktor, řekl Condon-Shortley, který někteří autoři vynechali(-1)m{\ displaystyle (-1) ^ {m}}
-
Ve sférických souřadnicích je tedy snadné ověřit, že Laplacian má podobu . Tato vlastnost se používá zejména při kvantové studii atomu vodíku : Laplacián zasahující do termínu kinetické energie a potenciál invariantní sférickou symetrií, Hamiltonián systému pak dojíždí s a . Schrödingerova rovnice pro elektron tak může být vyřešen tím, že oddělí proměnné a roztok se podává jako produkt radiální funkce a sférické harmonické .Δ=1r2∂∂r(r2∂F∂r)-L^2ℏ2r2{\ displaystyle \ Delta = {\ tfrac {1} {r ^ {2}}} {\ tfrac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo (r ^ {2} {\ tfrac {\ částečné f} { \ partial r}} \ right) - {\ tfrac {{\ hat {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}}L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
Reference
-
Viz zejména Arfken, Mathematical Methods for Physicists , Sedmé vydání, ( ISBN 978-0-12-384654-9 ) .
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">