Trochoidní bobtnání

V dynamice tekutin je trochoidní bobtnání přesným řešením Eulerových rovnic . Objevený v roce 1802 baronem von Gerstnerem popisuje gravitační vlny periodického tvaru, které se v ustáleném stavu šíří na povrchu nestlačitelné tekutiny nekonečné hloubky . Volným povrchem toku je cykloid (nebo trochoid , pro použití Gerstnerova výrazu).

Toto je klasický příklad vírového toku a použití Lagrangeových souřadnic. Vír je obálka trajektorií částic kapaliny , což jsou kruhy, jejichž poloměr se mění s hloubkou. Tato hypotéza není v souladu s experimentálními pozorováními, která se projevují Stokesovým driftem . Na druhou stranu je fázová rychlost v tomto modelu nezávislá na amplitudě bobtnání, teoreticky nelineárně motivovaná vlnou teoretického studia nelineární (jako Stokesova vlna a vlna cnoidní ). Z těchto důvodů (a bez ohledu na skutečnost, že tento jednoduchý model nelze přizpůsobit průtoku v konečné hloubce) je trochoidní zvětšení dnes pouze teoretického a didaktického zájmu.

Stále se však používá v počítačové grafice pro realistické vykreslování vln . Pole je rozšířeno na dvě dimenze, často se používá rychlý algoritmus Fourierovy transformace pro animaci (v reálném čase).

Předpoklady a popis

Hledáme trvalý a periodický tok ve vesmíru a používáme lagrangický popis . Předpokládáme :

tok probíhá podél válcových válců s vodorovnou osou, což eliminuje rozměr prostoru (rovinné deformace);
v klidu zabírají homologické prvky kapaliny vodorovné čáry v hloubce ; $y$
všechny částice kapaliny obíhají kolem kruhů s pevným středem a poloměrem s rovnoměrnou pulzací; ${\ displaystyle r (y)}$
Poloměr je klesající funkcí; ${\ displaystyle r (y)}$
Fázový posun mezi dvěma částicemi, jejichž středy otáčení jsou vodorovně vyrovnány, je úměrný vodorovné vzdálenosti mezi těmito středy.

Pohyb kapalných částic na povrchu je tedy

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} X (a, b, t) & = a + {\ frac {\ mathrm {e} ^ {kb}} {k}} \ sin \ left (k (a + ct) \ right), \\ Y (a, b, t) & = b - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {kb}} {k}} \ cos \ left (k (a + ct) \ right) , \ end {zarovnáno}}}

kde a jsou polohy částic kapaliny v rovině v daném okamžiku , kde je vodorovná souřadnice a svislá souřadnice (počítáno pozitivně nahoru, ve směru opačném k gravitaci). Lagrangián koordinovat lokalizaci částice kapaliny, označují centry kruhové dráze popsané částice kapaliny s rychlostí konstantou Kromě toho je na vlnové číslo (a na vlnové délce ), přičemž je rychlost fáze vlny ve směru . Fázová rychlost uspokojuje disperzní vztah : ${\ displaystyle x = X (a, b, t)}$ ${\ displaystyle y = Y (a, b, t)}$ $(x, y)$ $t$ $X$ $y$ $(a, b)$ ${\ displaystyle (x, y) = (a, b)}$ ${\ displaystyle c \, \ exp (kb).}$ $k = 2 \ pi / \ lambda$ $\ lambda$ $vs.$ $X$

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {k}},}

který nezávisí na žlabu , a tato fázová rychlost je stejná jako rychlost vzduchu v hluboké vodě. $H$ $vs.$

Volná plocha, která je přirozeně isobarem, postačuje k určení, že představuje , kde je konstanta (pozitivní). Nejvyšší vlny odpovídají : jejich hřeben je řada hrbolků . Zatímco nejvyšší řád (irrotační) Stokesova vlna má vrcholový úhel 120 °, úhel trochoidní vlny je nulový. ${\ displaystyle b = b_ {s}}$ ${\ displaystyle b_ {s}}$ ${\ displaystyle b_ {s} = 0}$

Trochoidní bobtnat žlab je . Je to periodická vlna prostorově podle , vlnové délky a také periodická v čase, periody ${\ displaystyle H = (2 / k) \ exp (kb_ {s})}$ $X$ ${\ displaystyle \ lambda;}$ ${\ displaystyle T = \ lambda / c = {\ sqrt {2 \ pi \ lambda / g}}.}$

Vír z trochoidní vlnách je: $\ varpi$

{\ displaystyle \ varpi (a, b, t) = - {\ frac {2 \, k \, c \, \ mathrm {e} ^ {2kb}} {1- \ mathrm {e} ^ {2kb}} },}

Závisí to na (Lagrangeově) hloubce a vidíme, že rychle klesá. $b$

Aplikace na počítačovou grafiku

Je snadné rozšířit výše uvedené rovnice na 2D povrchový model (tedy 3D) pro animaci moří a jezer v počítačové grafice, protože Gerstnerovo klasické řešení přesně uspokojuje nelineární rovnice toku dokonalé tekutiny pod volnou hladinou; 2D rozšíření však tyto rovnice nevyhoví přesně (i když to dělá přibližně, pokud linearizovaný Lagrangianův popis využívá rychlostní potenciál ). Díky rychlé Fourierově transformaci (FFT) můžeme snadno velmi efektivně animovat vodní hladinu rozrušenou větrem . Vykreslení je o to přesvědčivější, že deformace volné plochy představuje nepravidelnosti (z Lagrangeova popisu toku): zúžené hřebeny a zploštělé prohlubně.

Matematický popis volného povrchu trochoidní vlnobití se provádí následujícím způsobem: horizontální poloha je uvedeno a a svislá souřadnice ,, průměr volný povrch , je , pokud se počítá pozitivně směrem nahoru, ve směru opačném ke gravitaci intenzity . Volná plocha je popsán parametrické rovnice parametrů , a času, které jsou funkcí souřadnic bodů střední plochy: kolem kterého povrchu částice tekutiny víření. Parametrická rovnice volné plochy je a s: $X$ $z$ $y$ $y = 0$ $y$ $G$ $\ alfa$ ${\ displaystyle \ beta,}$ $t$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (\ alfa, 0, \ beta)}$ ${\ displaystyle x = \ xi (\ alfa, \ beta, t),}$ ${\ displaystyle y = \ zeta (\ alfa, \ beta, t)}$ ${\ displaystyle z = \ eta (\ alfa, \ beta, t)}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ xi & = \ alpha - \ sum _ {m = 1} ^ {M} {\ frac {k_ {x, m}} {k_ {m}}} \ \, {\ frac {a_ {m}} {\ tanh \ left (k_ {m} \, h \ right)}} \, \ sin \ left (\ theta _ {m} \ right), \\\ eta & = \ beta - \ sum _ {m = 1} ^ {M} {\ frac {k_ {z, m}} {k_ {m}}} \, {\ frac {a_ {m}} {\ tanh \ left (k_ { m} \, h \ right)}} \, \ sin \ left (\ theta _ {m} \ right), \\\ zeta & = \ sum _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} \ , \ cos \ left (\ theta _ {m} \ right) \ quad {\ text {et}} \\\ theta _ {m} & = k_ {x, m} \, \ alpha + k_ {z, m } \, \ beta - \ omega _ {m} \, t- \ phi _ {m}, \ end {zarovnáno}}}

kde je hyperbolický tangens funkce , počet komponent vlnových zvážit amplituda složek a jejich fází. Na druhou stranu je vlnové číslo a pulsace . Tyto poslední dva a nejsou nezávislé kvůli rozptylovému vztahu : ${\ displaystyle \ tanh}$ $M$ $a_ {m}$ ${\ displaystyle {m = 1 \ tečky M}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {m}}$ ${\ displaystyle {k_ {m} = \ scriptstyle {\ sqrt {(k_ {x, m} ^ {2} + k_ {z, m} ^ {2})}}}}$ $\ omega _ {m}$ $k_ {m}$ ${\ displaystyle \ omega _ {m},}$

{\ displaystyle \ omega _ {m} ^ {2} = g \, k_ {m} \, \ tanh \ vlevo (k_ {m} \, h \ vpravo),}

kde je střední hloubka toku. V hluboké vodě ( ) hyperbolické tangenta tendenci a: . Složky a horizontální vlnový vektor určují směr šíření složky $h$ ${\ displaystyle h \ to \ infty}$ ${\ displaystyle {\ tanh (k_ {m} \, h) \ až 1}}$ ${\ displaystyle k_ {x, m}}$ ${\ displaystyle k_ {z, m}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}} _ {m}}$ ${\ displaystyle m.}$

Volba různých parametrů a pro a průměrné hloubky určuje tvar volné plochy. Odůvodněná volba umožní rychlé aktualizace ze strany FFT. Nejčastěji volíme čísla vln na pravidelné mřížce v prostoru . Amplitudy a fáze jsou tedy libovolné, ale jejich spektrum rozptylu a hustoty definuje určitý stav moře . A konečně, díky algoritmu FFT můžeme simulovat mořskou hladinu jako periodické kontinuum v prostoru a čase pomocí algoritmu facetizace; časová periodicita je simulována mírným posunem frekvencí daných pro ${\ displaystyle a_ {m}, k_ {x, m}, k_ {z, m}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {m}}$ ${\ displaystyle {m = 1, \ tečky, {M},}}$ $h$ ${\ displaystyle (k_ {x}, k_ {z})}$ $a_ {m}$ ${\ displaystyle \ phi _ {m}}$ $\ omega _ {m}$ ${\ displaystyle \ omega _ {m} = m \, \ Delta \ omega}$ ${\ displaystyle {m = 1, \ tečky, {M}.}}$

Pro vykreslení také často potřebujeme normální vektor na mřížce bodů pro osvětlení fazet. Získali jsme ho díky produktu cross ( ) jako: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$ $\ krát$

{\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} = {\ frac {\ částečný {\ boldsymbol {s}}} {\ částečný \ alpha}} \ krát {\ frac {\ částečný {\ boldsymbol {s}}} {\ částečná \ beta}} \ quad {\ text {with}} \ quad {\ boldsymbol {s}} (\ alpha, \ beta, t) = {\ begin {pmatrix} \ xi (\ alpha, \ beta, t) \\\ zeta (\ alpha, \ beta, t) \\\ eta (\ alpha, \ beta, t) \ end {pmatrix}}.}

Jednotka normálový vektor je pak , kde je euklidovská norma z ${\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {n} = {\ boldsymbol {n}} / \ | {\ boldsymbol {n}} \ |,}$ ${\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {n}} \ |}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}.}$

Poznámky a odkazy

Poznámky

Trochoidní bobtnání není odvozeno od potenciálu rychlosti, a podle předpokladů obecně přijatých v hydraulice proto není odvozeno od potenciálu tlaku. Právě to přimělo G. Stokese k napsání, že „zájem Gerstnerova bobtnání nevyplývá z jeho fyzického významu, ale z nedokonalosti matematické analýzy; z toho vyplývá zájem „studovat“ fenomén, jehož všechny okolnosti jsou matematicky vyjádřitelné ve vší přísnosti a který hraje roli vhodného schématu pro upevňování myšlenek. » Citováno z Bouasse 1924 , str. 261.

Reference

Srov. J. Tessendorf , SIGGRAPH 2001 , Simulation Nature: Realistic and Interactive Techniques ,2001( číst online ) , „Simulace vody oceánu“
Podle H. Bouasse , bobtná , vrásek, kyselých a přílivových vln , Librairie Delagrave,1924„1. Progresivní bobtnání“, s. 26-27
Podle A. Boulangera , Hydraulique générale , roč. I: Základní principy a problémy , Octave Doin & Fils,1909„II. Mořské vlnění, lapování “, str. 98-102
Srov. Bouasse 1924 , s. 41
Srov. Boulanger 1909 , s. 111
H. Lamb , Hydrodynamika , Cambridge University Press,1879( dotisk 1932, 6.) ( ISBN 978-0-521-45868-9 , OCLC 30070401 ) , „§251“.
Srov. GG Stokes , Mathematical and Physical Papers , sv. Já, Cambridge University Press,1880( OCLC 314316422 , číst online ) , „Dodatek k článku o teorii oscilačních vln“, str. 314-326
Viz např. Tessendorf 2001 .

Bibliografie

(de) Theorie der Wellen , Monografie Královské české akademie,1804
- trad. A. Barré de Saint-Venant , „ Teorie vln “, Annales des Ponts et Chaussées , sv. 1,1887, str. 31-86
PŘIDAT Craik , „ Počátky teorie vodních vln “, Annual Review of Fluid Mechanics , sv. 36,2004, str. 1–28 ( DOI 10.1146 / annurev.fluid.36.050802.122118 , Bibcode 2004AnRFM..36 .... 1C )
WJM Rankine , „ O přesné formě vln blízko povrchu hluboké vody “, Philosophical Transaction of the Royal Society of London , sv. 153,1863, str. 127–138 ( DOI 10.1098 / rstl.1863.0006 )