Hypercube

Hyperkostka je, v geometrii , An n rozměrný analog ze čtverce ( n = 2) a kostky ( n = 3). Jedná se o uzavřenou , kompaktní , konvexní postavu složenou ze skupin protilehlých paralelních segmentů zarovnaných v každé z dimenzí prostoru v pravém úhlu k sobě.

N -rozměrná hyperkrychle se také nazývá n- krychle . Pojem „měřicí polytop“ se také používal (zejména Coxeter ), ale přestal se používat. A konečně, konkrétní případ 4-krychle je často označován termínem tesseract .

Definice

Pokud E je euklidovský prostor dimenze n opatřený ortonormálním základem , definujeme jednotkovou hyperkrychli jako hypervolume ohraničený 2 n body v E majícími souřadnice rovné 0 nebo 1 spojené úsečkami. Hyperkrychle jsou údaje získané z jednotkové hyperkrychle podobnostmi .

Představují hyperkrychli dimenze n

Abychom představili hyperkrychli dimenze n , postupujeme následovně:

dimenze 1: bod je hyperkrychle dimenze nula. Pokud tento bod posuneme o délku jednotky, zametne úsečku, což je jednotková hyperkrychle dimenze 1

kóta 2: pokud posuneme tento segment o jednotku délky ve směru kolmém na sebe; zametá dvourozměrný čtverec.

dimenze 3: pokud posuneme čtverec o délku jednotky ve směru kolmém na jeho umístění, vygeneruje se trojrozměrná krychle.

dimenze 4: posuneme-li kostku o délku jednotky ve čtvrté dimenzi, vygeneruje čtyřrozměrnou jednotkovou hyperkrychli (jednotkový tesseract).

(Dimenze n > 3: nakreslíme hyperkrychli dimenze n - 1, reprodukujeme její obraz a spojíme body dva po druhém.)

Stručně řečeno, konstrukce hyperkrychle se provádí překladem krychle spodní dimenze podél osy kolmé na rozměry této krychle.

Hypercubes jsou jednou ze tří rodin pravidelných polytopů, které jsou zastoupeny v libovolném počtu dimenzí (další dva jsou simplexes a hyperoctahedra ). Dual polytope z hyperkrychli je hyperoctahedron . 1- kostra hyperkrychle je hyperkrychlový graf .

Zevšeobecňování krychle na rozměry n větší než 3, se nazývá n rozměrné hypercube nebo n -CUBE. Tesseract je čtyřrozměrná nebo čtyřkrychlová hyperkrychle. Je to obyčejný mnohostěn . Jde také o speciální případ rovnoběžníku : hyperkrychle je pravý rovnoběžník, jehož hrany jsou stejně dlouhé.

4 rozměry

4-kostka se také nazývá tesseract, podle Charlese Howarda Hintona .

Ze vzorce Sommerville (en) ( viz níže ) se tesseract skládá z:

16 vrcholů;
32 hran;
24 čtvercových plochých ploch;
8 kubických trojrozměrných ploch (kostky).

Pro 4 krychli strany c máme následující rozměry:

„Objem“ (čtyřrozměrný): c 4 ;
„Vnější povrch“ (trojrozměrný): 8c 3 ;
„Celková plocha“ (dvourozměrná): 24c 2 .

Tváře 4-krychle jsou:

před vzadu;
levá, pravá ;
Nahoru dolů;
ana / kata.

n rozměry

Pro n- krychli strany c :

objem je c n . Pokud ho nakrájíme na n řezů hyperplany kolmými na úhlopříčku, objemy řezů jsou Eulerova čísla;
celková plocha je F n c 2 s F n počet 2 tváří ( viz níže );
dvojí polytope je příčný mnohostěn v n rozměrech (také nazývaný n -polytope zkřížené).

Elementy

Poznámkou, N n, k počtu k- -cubes na hranici s n -CUBE (což je nula, pokud k <0 nebo k> n , a, což je rovno 1, když k = n = 0), máme:

{\ displaystyle N_ {n, k} = 2N_ {n-1, k} + N_ {n-1, k-1}}

Proto,

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} N_ {n, k} X ^ {k} = \ vlevo (2 + X \ vpravo) ^ {n}}

proto

{\ displaystyle N_ {n, k} = 2 ^ {nk} {\ binom {n} {k}}}

Například v n -cube:

počet N n , 2 = F n 2 tváří je n ( n - 1) 2 n –3 ;
počet N n , n –1 „stran“ je 2 n (1-rozměrný segment má dva koncové body; 2-rozměrný čtverec má čtyři hrany; 3-rozměrná krychle má 6 2-rozměrných ploch; hyperkrychle 4 -dimenzionální (tesseract) má 8 buněk).

Hypercube prvky

Jména	Symbol Schläfli Coxeter-Dynkin	Vrcholy (0 tváří)	Hrany (1 tváře)	Tváře (oboustranné)	Buňky (3stranné)	(Čtyřstranný)	(5stranný)
n- kostka		$2 n$	$n 2 n -1$	$n ( n - 1) 2 n -3$	$n ( n - 1) ( n - 2) / 3 2 n -4$	$n ( n - 1) ( n - 2) ( n - 3) / 3 2 n -7$	atd.
0-krychlový bod		1
1-krychlový segment	{} nebo {2}	2	1
2-krychlový čtvercový tetragon	{4}	4	4	1
3-kostka Cube Hexahedron	{4.3}	8	12	6	1
4 kostka Tesseract Octachore	{4.3.3}	16	32	24	8	1
5-cube Penteract	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1

Sousedství v hyperkrychlové mřížce

Předchozí vzorec odpovídá na otázku: v běžné mřížce hyperkrychlí, kolik sousedů má hyperkrychle? Pro každý prvek hranice existuje soused, tj. Pomocí binomického vzorce : $v_ {n}$

{\ displaystyle v_ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {n-1} 2 ^ {nk} {\ binom {n} {k}} = 3 ^ {n} -1}

Můžeme například zkontrolovat, že každý čtverec obkladu má 3 2 - 1 = 8 sousedů, nebo že každá krychle běžného stohu kostek má 3 3 - 1 = 26 sousedů.

Rotace n- krychle

Definice rotací v jakémkoli euklidovském prostoru prochází lineární algebrou a jejich vlastnosti nelze snadno odvodit od vlastností rotací v dimenzi 3. Je však ukázáno, že stejně jako je možné otočit krychli kolem jedné z jejích 12 hran (nebo libovolné osy), můžeme otočit tesseract kolem jedné z jeho 24 čtvercových ploch (nebo libovolného povrchu) a 5-dimenzionální hyperkrychle se může otáčet kolem jedné z jejích 40 celých kostek atd.

Literární a umělecká reprezentace

V nepředvídatelný domu , je sci-fi povídku od Robert Heinlein , architekt staví dům, jehož plán je hypercube vzor; po zemětřesení se dům sklopí a stane se skutečnou hyperkrychlí.
Ve sci-fi filmu Cube 2 jsou hrdinové uvězněni v tesseractu, nebo se alespoň vyvíjejí pohybem od krychle k krychli mezi tvářemi hyperkrychle. Od jedné krychle k druhé se orientace gravitace může lišit (v každém případě to postavy cítí, když přecházejí z jedné krychle do druhé), čas se může rozšiřovat nebo smršťovat a postavy se kvůli superpozici možné futures. Souvislost mezi těmito vlastnostmi a skutečností, že se příběh odehrává v tesseractu, není explicitní a možná dokonce zbytečná, čtvrtá dimenze je více pokryta než dotyčná hyperkrychle.
V architektuře je Arche de la Défense poblíž Paříže ve Francii trojrozměrnou projekcí čtyřrozměrné hyperkrychle.
Obraz Corpus hypercubus ( Salvador Dalí , 1954 ) popisuje ukřižovaného Ježíše na patronovi hyperkrychle.
Román Factoring Humanity ( Robert J. Sawyer , 1998 ) zabývající se tématem komunikace s mimozemskou civilizací popisuje hypotézu, podle níž se mimozemské zprávy objevují ve formě hyperkrychle.
Ve hře FEZ je postava DOT (která hrdinu doprovází) 3D projekcí hyperkrychle.
V britské sérii Doctor Who , sezóna 6 epizoda 4, doktor obdrží tesseract od Time Lord v nouzi. V seriálu funguje tesseract jako audio / video elektronická pošta a také jako maják geoprostoroprostorové lokalizace.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Hypercube “ ( viz seznam autorů ) .

Coxeter 1973 , str. 122 v Knihách Google .
(in) DMY Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions , London, Methuen ,1929( číst online ) , s. 29.
(in) Tesseract a (in) 4D Visualization vysvětlují a ilustrují čtyřrozměrné rotace pomocí animací.

Podívejte se také

Související článek

Magická hyperkrychle

externí odkazy

(en) Vidět do čtyř dimenzí : jak zobrazit hyperkrychli, Ken Perlin .
( fr ) Hypercube , od Milosze: projekce hypercube s perspektivou nebo bez ní, otáčení myší kolem 4 os.
(en) 4dimensions : vysvětlení pojmu čtyřrozměrného prostoru pomocí hyperkrychle. Vytvořil Florian Mounier.

Bibliografie

(en) HSM Coxeter , pravidelné polytopy , Dover ,1973, 3 e ed. ( 1 st ed. 1943), 321 str. ( ISBN 978-0-486-61480-9 , číst online ) , s. 295, Tabulka I (iii): Pravidelné Polytopy, tři pravidelné Polytopy v rozměrech n (n ≥ 5) .
(en) Jonathan Bowen , „ Hypercubes “ , Practical Computing (en) , sv. 5, n O 4,1982, str. 97–99 ( číst online )