Hyperoperace
V matematiky , hyperoperations (nebo hyperoperators ) tvoří nekonečnou řadu operací , které logicky rozšiřuje sérii následujících elementárních aritmetických operací:
-
doplnění (n = 1):
H1(na,b)=na+b=na+1+1+⋯+1⏟b podmínky{\ displaystyle {{H_ {1} (a, b) = a + b} \ atop \,} {= \ atop \,} {a \, + \ atop \,} {{\ spodní výztuha {1 + 1 + \ cdots +1}} \ na vrcholu b {\ text {terms}}}}
-
násobení (n = 2):
H2(na,b)=na×b= na+na+⋯+na⏟b podmínky{\ displaystyle {{H_ {2} (a, b) = a \ krát b = \} \ nahoře {\}} {{\ podprsenka {a + a + \ cdots + a}} \ nahoře b {\ text { podmínky}}}}
-
umocňování (n = 3):
H3(na,b)=nab= na×na×⋯×na⏟b faktory{\ displaystyle {{H_ {3} (a, b) = a ^ {b} = \} \ nahoře {\}} {{\ podprsenka {a \ times a \ times \ cdots \ times a}} \ na vrcholu b {\ text {faktory}}}}
Reuben Goodstein navrhl pokřtít operace nad rámec umocňování pomocí řeckých předpon: tetrace ( n = 4), pentace ( n = 5), hexace ( n = 6) atd. Hyperoperaci v pořadí n lze zaznamenat pomocí Knuthovy šipky na pozici n - 2 ..
Hne(na,b)=na↑ne-2b{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = a \ uparrow ^ {n-2} b}
Knuthova šipka na hodnosti m je rekurzivně definována pomocí: a
na↑-1b=na+b{\ displaystyle a \ uparrow ^ {- 1} b = a + b \,}na↑mb=na↑m-1(na↑m-1[na↑m-1(...[na↑m-1(na↑m-1na)]...)])⏟b kopie na,m≥0{\ displaystyle a \ uparrow ^ {m} b = \ underbrace {a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m-1} \ left [a \ uparrow ^ {m-1} \ left (\ ldots \ left [a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m-1} a \ right) \ right] \ ldots \ right) \ right] \ right)} _ {\ displaystyle b {\ mbox {kopie}} a}, \ quad m \ geq 0}
Lze jej také definovat pomocí pravidla . Každý roste rychleji než ten předchozí.
na↑mb=na↑m-1(na↑m(b-1)){\ displaystyle a \ uparrow ^ {m} b = a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m} (b-1) \ right)}
Podobné sady historicky nesly různá jména, například Ackermannova funkce (3 body), hierarchie Ackermanna , hierarchie Grzegorczyk (obecněji), verze Goodsteina Ackermannovy funkce , hyper- n .
Definice
Sekvence hyperoperátoru je sekvence binárních operací indexovaných podle , definovaná rekurzivně následujícím způsobem:
Hne:NE×NE→NE{\ displaystyle H_ {n}: \ mathbb {N} \ krát \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}}ne∈NE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
Hne(na,b)={b+1-li ne=0na-li ne=1,b=00-li ne=2,b=01-li ne≥3,b=0Hne-1(na,Hne(na,b-1))Pokud ne{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = {\ začátek {případů} b + 1 & {\ text {si}} n = 0 \\ a & {\ text {si}} n = 1, b = 0 \ \ 0 & {\ text {si}} n = 2, b = 0 \\ 1 & {\ text {si}} n \ geq 3, b = 0 \\ H_ {n-1} (a, H_ {n} (a, b-1)) & {\ text {jinak}} \ end {případy}}}(Poznámka: pro n = 0 můžeme první argument ignorovat, protože pak hyperoperátor jednoduše sestává z zvýšení druhého argumentu o jednu jednotku: posloupnost.)
Pro n = 0, 1, 2, 3 tato definice reprodukuje základní aritmetické operace v pořadí: posloupnost, sčítání, násobení, umocňování. Podle konvence se tedy za hyperoperátory považují také základní aritmetické operace.
U n ≥ 4 tato sekvence pokračuje novými operacemi.
Zde je seznam prvních 7 hyperoperací:
ne
|
Hne{\ displaystyle H_ {n}}
|
Chirurgická operace
|
Definice
|
Jména
|
Oblasti platnosti
|
---|
0
|
H0(na,b){\ displaystyle H_ {0} (a, b)}
|
b+1{\ displaystyle b + 1}
|
1+1+1+1+⋯+1⏟b{\ displaystyle {1 + {\ underbrace {1 + 1 + 1 + \ cdots +1} _ {b}}}}
|
nástupce , „zerace“
|
b skutečné
|
---|
1
|
H1(na,b){\ displaystyle H_ {1} (a, b)}
|
na+b{\ displaystyle a + b}
|
na+1+1+1+⋯+1⏟b{\ displaystyle {a + {\ underbrace {1 + 1 + 1 + \ cdots +1} _ {b}}}}
|
přidání
|
a a b skutečné
|
---|
2
|
H2(na,b){\ displaystyle H_ {2} (a, b)}
|
na⋅b{\ displaystyle a \ cdot b}
|
na+na+na+⋯+na⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a + a + a + \ cdots + a}} \ na vrcholu {b}}}
|
násobení
|
a a b skutečné
|
---|
3
|
H3(na,b){\ displaystyle H_ {3} (a, b)}
|
na↑b=nab{\ displaystyle a \ uparrow b = a ^ {b}}
|
na⋅na⋅na⋅na⋅...⋅na⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a}} \ na vrcholu {b}}}
|
umocňování
|
> 0, b skutečné, nebo nenulová, b celé číslo. Rozšíření v sadě komplexních čísel .
|
---|
4
|
H4(na,b){\ displaystyle H_ {4} (a, b)}
|
na↑↑b= bna{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = \ ^ {b} a}
|
na↑na↑na↑⋯↑na⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ uparrow a \ uparrow a \ uparrow \ cdots \ uparrow a}} \ na vrcholu {b}}}
|
tetování
|
a > 0, b celé číslo ≥ −1 (navrhovaná rozšíření)
|
---|
5
|
H5(na,b){\ displaystyle H_ {5} (a, b)}
|
na↑↑↑b{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b} nebo na↑3b{\ displaystyle a \ uparrow ^ {3} b}
|
na↑↑na↑↑⋯↑↑na⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ uparrow \ uparrow a \ uparrow \ uparrow \ cdots \ uparrow \ uparrow a}} \ na vrcholu {b}}}
|
trest
|
celá čísla a a b , a > 0, b ≥ 0
|
---|
6
|
H6(na,b){\ displaystyle H_ {6} (a, b)}
|
na↑4b{\ displaystyle a \ uparrow ^ {4} b}
|
na↑3na↑3⋯↑3na⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ uparrow ^ {3} a \ uparrow ^ {3} \ cdots \ uparrow ^ {3} a}} \ na vrcholu {b}}}
|
hexace
|
celá čísla a a b , a > 0, b ≥ 0
|
---|
Speciální případy
H N (0, b ) =
0, kde n = 2 nebo n = 3, b ≥ 1 nebo n ≥ 4, b liché (≥ −1)
1, kde n = 3, b = 0, nebo n ≥ 4, b sudé (≥ 0)
b , kde n = 1
b + 1, kde n = 0
H n ( , 0) =
0, kde n = 2
1, kde n = 0, nebo n ≥ 3
a , kde n = 1
H n ( a , -1) =
0, kde n = 0, nebo n ≥ 4
a - 1, kde n = 1
- a , kde n = 2
1/na, kde n = 3
H N ( 2, 2 ) =
3, kde n = 0
4, kde n ≥ 1, snadno prokazatelné indukcí.
Dějiny
Jednou z prvních diskusí o hyperoperátorech byla diskuse Alberta Benneta v roce 1914, který vyvinul teorii komutativních hyperoperací .
O 12 let později definuje Wilhelm Ackermann funkci,
která se blíží sekvenci hyperoperátorů.
ϕ(na,b,ne){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}
Ve svém článku z roku 1947, Reuben Goodstein představila posloupnost operací, které se nyní nazývají hyperoperations a navrhl jména tetration , pentation , atd. pro operace nad rámec umocňování (protože odpovídají indexům 4, 5 atd. níže). Je to funkce se třemi argumenty :, sekvenci hyperoperací lze přirovnat k Ackermannově funkci . Původní Ackermann funkce používá stejný rekurzivní pravidlo jako Goodsteinem ale liší se od něj dvěma způsoby: Za prvé, definuje řadu operací, počínaje přidáním ( n = 0), spíše než z posloupnosti. Počáteční podmínky pro se pak v tomto liší od hyperoperací nad rámec umocňování. Význam b + 1 v předchozím výrazu je, že = , kde b počítá počet subjektů spíše než počet operandy dobu , stejně jako b v , atd pro operace na vyšší úrovni (viz Ackermann funkce pro více detailů).
G(ne,na,b)=Hne(na,b){\ displaystyle G (n, a, b) = H_ {n} (a, b)} ϕ(na,b,ne){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ(na,b,ne){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ(na,b,3)=na↑↑(b+1){\ displaystyle \ phi (a, b, 3) = a \ uparrow \ uparrow (b + 1)}ϕ(na,b,3){\ displaystyle \ phi (a, b, 3)}nana⋅⋅⋅na{\ displaystyle a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}}}na↑↑b{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}
Zápisy
Bylo vyvinuto mnoho notací, které lze použít u hyperoperátorů.
Příjmení
|
Zápis ekvivalentní k Hne(na,b){\ displaystyle H_ {n} (a, b)}
|
Komentář
|
---|
Knuthovy šipky
|
na↑ne-2b{\ displaystyle a \ uparrow ^ {n-2} b}
|
Používá Knuth (pro n ≥ 2) a setkal se s různými pracemi.
|
Goodsteinova notace
|
G(ne,na,b){\ displaystyle G (n, a, b)}
|
Používá Reuben Goodstein .
|
Originální
funkce Ackermann |
ϕ(na,b,ne-1) pro 1≤ne≤3ϕ(na,b-1,ne-1) pro ne>3{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ phi (a, b, n-1) \ {\ text {pro}} 1 \ leq n \ leq 3 \\\ phi (a, b-1, n-1) \ {\ text {for}} n> 3 \ end {matrix}}}
|
Používá Wilhelm Ackermann .
|
Ackermannova funkce - prdění
|
NA(ne,b-3)+3 pro na=2{\ displaystyle A (n, b-3) +3 \ {\ text {for}} a = 2}
|
To odpovídá hyperoperacím základny 2 ( ).
Hne(2,b){\ displaystyle H_ {n} (2, b)} |
Nambiarská notace
|
na⊗neb{\ displaystyle a \ otimes ^ {n} b}
|
Používá Nambiar |
Zápis pole
|
naneb{\ displaystyle a {\, {\ začátek {pole} {| c |} \ hline {\! n \!} \\\ hline \ end {pole}} \ \,} b}
|
Používá Rubtsov a Romerio.
|
Exponent notace
|
na(ne)b{\ displaystyle a {} ^ {(n)} b}
|
Používá Robert Munafo.
|
Hodnocení indexu
|
na(ne)b{\ displaystyle a {} _ {(n)} b}
|
Používají John Donner a Alfred Tarski (pro n ≥ 1).
|
Konzoly notace
|
na[ne]b{\ displaystyle a [n] b}
|
Používá se na fórech, pro jednoduchost.
|
Conwayovy řetězové šipky
|
na→b→(ne-2){\ displaystyle a \ rightarrow b \ rightarrow (n-2)}
|
Používá John Horton Conway (pro n ≥ 3).
|
Bowersova notace
|
{na,b,ne,1}{\ displaystyle \ {a, b, n, 1 \}}
|
Používá Jonathan Bowers (pro n ≥ 1).
|
Výchozí varianta z a
V roce 1928 definoval Wilhelm Ackermann funkci se třemi argumenty, která se postupně vyvinula ve funkci se dvěma argumenty známou jako funkce Ackermann . Původní Ackermannova funkce byla méně podobná moderním hyperoperacím, protože její počáteční podmínky začínají u všech n > 2. Dále je sčítání přiřazeno n = 0, násobení n = 1 a umocňování n = 2, takže počáteční podmínky produkují velmi odlišné operace od tetrace a následných hyperoperací.
ϕ(na,b,ne){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ(na,0,ne)=na{\ displaystyle \ phi (a, 0, n) = a}
ne
|
Chirurgická operace
|
Komentář
|
---|
0
|
F0(na,b)=na+b{\ displaystyle F_ {0} (a, b) = a + b}
|
|
---|
1
|
F1(na,b)=na⋅b{\ displaystyle F_ {1} (a, b) = a \ cdot b}
|
|
---|
2
|
F2(na,b)=nab{\ displaystyle F_ {2} (a, b) = a ^ {b}}
|
|
---|
3
|
F3(na,b)=na↑↑(b+1){\ displaystyle F_ {3} (a, b) = a \ uparrow \ uparrow (b + 1)}
|
Iterace této operace se liší od iteraci tetration.
|
---|
4
|
F4(na,b)=(X↦na↑↑(X+1))b(na){\ displaystyle F_ {4} (a, b) = (x \ mapsto a \ uparrow \ uparrow (x + 1)) ^ {b} (a)}
|
Nesmí být zaměňována s pentation .
|
---|
Další výchozí stav, který se používá, je (kde základna je konstantní ), vzhledem k Rózsa Péter , které netvoří hierarchii hyperoperations.
NA(0,b)=2b+1{\ displaystyle A (0, b) = 2b + 1}na=2{\ displaystyle a = 2}
Počínaje varianta od 0
V roce 1984 CW Clenshaw a FWJ Olver začali diskutovat o použití hyperoperací, aby se zabránilo chybě počítače s plovoucí desetinnou čárkou . Od té doby, mnoho jiných autorů měla zájem na použití hyperoperations k vyjádření s plovoucí čárkou (protože H n ( , b ) jsou definovány pro b = -1). Při diskusi o tetraci Clenshaw a kol. podporován počáteční stav , a provedl Dalším hierarchie hyperoperations. Stejně jako v předchozí variantě je čtvrtá operace velmi podobná tetraci, ale liší se od ní.
Fne(na,0)=0{\ displaystyle F_ {n} (a, 0) = 0}
ne
|
Chirurgická operace
|
Komentář
|
---|
0
|
F0(na,b)=b+1{\ displaystyle F_ {0} (a, b) = b + 1}
|
|
---|
1
|
F1(na,b)=na+b{\ displaystyle F_ {1} (a, b) = a + b}
|
|
---|
2
|
F2(na,b)=na⋅b=Eln(na)+ln(b){\ displaystyle F_ {2} (a, b) = a \ cdot b = e ^ {\ ln (a) + \ ln (b)}}
|
|
---|
3
|
F3(na,b)=nab{\ displaystyle F_ {3} (a, b) = a ^ {b}}
|
|
---|
4
|
F4(na,b)=na↑↑(b-1){\ displaystyle F_ {4} (a, b) = a \ uparrow \ uparrow (b-1)}
|
Iterace této operace se liší od iterace tetrace.
|
---|
5
|
F5(na,b)=(X↦na↑↑(X-1))b(0)=0 -li na>0{\ displaystyle F_ {5} (a, b) = \ left (x \ mapsto a \ uparrow \ uparrow (x-1) \ right) ^ {b} (0) = 0 {\ text {si}} a> 0}
|
Nesmí být zaměňována s Pentation .
|
---|
Podívejte se také
Reference
(
fr ) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z
anglického článku Wikipedie s názvem
„ Hyperoperace “ ( viz seznam autorů ) .
-
(en) Daniel Geisler: „ Co leží mimo umocňování? " ,2003(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(in) AJ Robbins, „ Home of tetration “ ,listopadu 2005(zpřístupněno 17. dubna 2009 )
-
(en) CA Rubtsov a GF Romerio, „ Ackermannova funkce a nová aritmetická operace “ ,prosince 2005(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(en) RL Goodstein, „ Transfinitní ordinály v teorii rekurzivních čísel “ , Journal of Symbolic Logic , sv. 12, n O 4,1947, str. 123-129 ( DOI 10.2307 / 2266486 , JSTOR 2266486 ).
-
(in) Harvey Friedman, „ Long Finite Sequences “ , Journal of Combinatorial Theory, Series A , sv. 95, n o 1,2001, str. 102-144 ( DOI 10.1006 / jcta.2000.3154 , číst online , přistupováno 17. dubna 2009 ).
-
.
-
(in) Marc Wirz, „ Charakterizace hierarchie Grzegorczyk bezpečnou rekurzí “ , CiteSeer,1999(zpřístupněno 21. dubna 2009 ) .
-
(in) Markus Müller, „ Reihenalgebra “ ,1993(zpřístupněno 17. dubna 2009 )
-
(en) Robert Munafo, „ Vynález nových operátorů a funkcí “ , velká čísla na MROB ,Listopadu 1999(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(in) IN Galidakis, „ Mathematics “ ,2003(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(in) Albert Bennett, „ One year Note Operation of the Third Grade “ , Annals of Mathematics , 2 E series, sv. 17, n O 2Prosinec 1915, str. 74-75 ( JSTOR 2007124 ).
-
(de) Wilhelm Ackermann, " Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen ' " , Mathematische Annalen , sv. 99,1928, str. 118-133 ( DOI 10.1007 / BF01459088 ).
-
(in) Paul E. Black, „ Ackermannova funkce “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? ) , Dictionary of Algorithms and Data Structures , US National Institute of Standards and Technology (NIST)16. března 2009(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(in) Robert Munafo, „ Versions of Ackermann's Function “ , velká čísla na MROB ,3. listopadu 1999(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(in) J. Cowles a T. Bailey, „ Několik verzí Ackermannovy funkce “ , odd. informatiky, University of Wyoming, Laramie, WY,30. září 1988(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(in) Donald E. Knuth, „ Mathematics and Computer Science: Coping with finiteness “ , Science , sv. 194, n O 4271,Prosinec 1976, str. 1235-1242 ( PMID 17797067 , DOI 10.1126 / science.194.4271.1235 , číst online , přístup k 21. dubnu 2009 ).
-
(in) Daniel Zwillinger, Standardní matematické tabulky a vzorce CRC , Boca Raton, CRC Press ,2002, 31 th ed. ( ISBN 978-1-58488-291-6 ) , str. 4.
-
(in) Eric W. Weisstein, CRC Stručná encyklopedie matematiky , Boca Raton, CRC Press ,2003, 2 nd ed. , 3242 s. ( ISBN 978-1-58488-347-0 , LCCN 2002074126 ) , s. 127-128.
-
(in) KK Nambiar, „ Ackermann Functions and Transfinite ordinals “ , Applied Mathematics Letters , sv. 8, n O 6,1995, str. 51-53 ( DOI 10.1016 / 0893-9659 (95) 00084-4 , číst online , přístup k 21. dubnu 2009 ).
-
(in) John Donner a Alfred Tarski, „ Rozšířená aritmetika řadových čísel “ , Fundamenta Mathematicae , sv. 65,1969, str. 95-127.
-
(in) CW Clenshaw a FWJ Olver, „ Beyond floating point “ , Journal of the ACM , vol. 31, n O 2
Duben 1984, str. 319-328 ( DOI 10.1145 / 62.322429 , číst online ).
-
(in) WN Holmes, „ Composite Arithmetic: Proposal for a New Standard “ , Computer , roč. 30, n o 3,
Březen 1997, str. 65-73 ( DOI 10.1109 / 2.573666 , číst online , přístup k 21. dubnu 2009 ).
-
(in) R. Zimmermann, „ Computer Arithmetic: Principles, Architecture, and VLSI Design “ , Poznámky k přednášce, Laboratoř integrovaných systémů, ETH Zürich,
1997(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) .
-
(in) T. Pinkiewicz N. Holmes a T. Jamil, „ Návrh kompozitní aritmetické jednotky pro racionální čísla “ , Sborník IEEE,2000(zpřístupněno 17. dubna 2009 ) ,s. 245-252.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">