Rogers-Ramanujan Identities

V kombinatorika se Rogers-Ramanujan identity jsou následující dvě Hypergeometrické q-série rovnosti (en) , což lze interpretovat jako rovnosti mezi počty rozdělí celá čísla :

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {červená} n ^ {2}}} {(1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +1}) (1-q ^ {5k \ color {Red} +4})}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {červená} n (n + 1)}} {(1-q) (1-q ^ {2} ) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {červená} +2} ) (1-q ^ {5k \ color {Red} +3})}}.}

Dějiny

Byly objeveny a prokázány původně Leonardem Jamesem Rogersem (v roce 1894), poté byly nalezeny (ale bez důkazů) Srinivasa Ramanujan krátce před rokem 1913. Ramanujan objevil Rogersovu sekci v roce 1917; poté společně zveřejnili nový důkaz. Issai Schur také objevil tyto identity a demonstroval je (nezávisle) v roce 1917.

Definice

Pomocí Pochhammerova q-symbolu jsou identity Rogers-Ramanujan:

G (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2}}}} {(q; q) _ {n}}} = { \ frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + \ cdots \,

(pokračování A003114 z OEIS )

H (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2} + n}}} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + \ cdots \,

(pokračování A003106 z OEIS ).

Pochhammerovy symboly

Pochhammerovy symboly, které zasahují, jsou:

{\ displaystyle (q; q) _ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1-q ^ {k}) = (1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}

{\ displaystyle (q; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 1})}

{\ displaystyle (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 4})}

{\ displaystyle (q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 2})}

{\ displaystyle (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 3})}

Kombinatorické interpretace

Pro první identitu ( $G$ ) lze pravou stranu interpretovat jako počet oddílů n, jejichž části se liší alespoň o 2, a levá strana je počet oddílů n v částech shodných s ± 1 modulo 5 (1 , 4, 6, 9 atd. ).

Pro druhé ( $H$ ):

${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}}}$ je řada generující oddíly v n částech tak, že dvě sousední části se liší alespoň o 2 a tak, že nejmenší část je alespoň 2.
${\ displaystyle {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}}}$ je řada generující oddíly tak, aby každá část odpovídala 2 nebo 3 modulo 5.

Počet oddílů n tak, že se dvě sousední části liší alespoň o 2 a takový, že nejmenší část je alespoň 2, se rovná počtu oddílů n tak, aby každá část odpovídala 2 nebo 3 modulo 5.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Rogers - Ramanujan identity “ ( viz seznam autorů ) .

GH Hardy a EM Wright ( přeloženo z angličtiny F. Sauvageotem), Úvod do teorie čísel [„ Úvod do teorie čísel “], Vuibert -Springer,2007, str. 375, th. 362 a 363.
(in) Leonard James Rogers , „ Třetí monografie o rozšiřování některých nekonečných produktů “ , Proc. London Math. Soc. , sv. 26, n o 1,1894, str. 15-32 ( DOI 10.1112 / plms / s1-26.1.15 ).
Sdělil je Percymu Alexandrovi MacMahonovi, který je zahrnul do své knihy Kombinovaná analýza , Cambridge University Press, sv. 2, 1916, bez demonstrace.
(in) Leonard James Rogers a Srinivasa Ramanujan , „ Důkaz některých identit v kombinatorické analýze “ , Cambr. Phil. Soc. Proc. , sv. 19, 1919, str. 211-216.
(De) Issai Schur , „ Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche “ , Sitzungsberichte der Berliner Akademie ,1917, str. 302-321.
Hardy a Wright 2007 , s. 376, tis. 364.
„ Identita Rogers-Ramanujan “ , na Publimath .

Podívejte se také

Bibliografie

(en) Cilanne Boulet a Igor Pak (en) , „ Kombinatorický důkaz identit Rogers-Ramanujan a Schur “ , Journal of Combinatorial Theory , a, sv. 113, n O 6,2006, str. 1019-1030 ( DOI 10.1016 / j.jcta.2005.09.007 , arXiv math / 0411072 , číst online )
(en) David Bressoud , „ Snadný důkaz totožnosti Rogers-Ramanujan “ , J. Theory Number , sv. 16, n O 21983, str. 235-241 ( DOI 10.1016 / 0022-314X (83) 90043-4 )

Související články

Externí odkaz

(en) Eric W. Weisstein , „ Rogers-Ramanujan Identities “ , na MathWorld