Rogers-Ramanujan Pokračující zlomek

Řetězový zlomek Rogers-Ramanujan je celkový řetězový zlomek objeven Leonard James Rogers  (v) v roce 1894 a nezávisle Srinivasa Ramanujan v roce 1910, který je těsně spojen s Rogers-Ramanujan identit  ; je možné dát mu explicitní formu pro mnoho hodnot jeho argumentu.

Definice

Vzhledem k funkcím G ( q ) a H ( q ), které se objevují v identitách Rogers-Ramanujan ,

G(q)=∑ne=0∞qne2(1-q)(1-q2)⋯(1-qne)=∑ne=0∞qne2(q;q)ne=1(q;q5)∞(q4;q5)∞=∏ne=1∞1(1-q5ne-1)(1-q5ne-4)=qj602F1(-160,1960;45;1728j)=q(j-1728)602F1(-160,2960;45;-1728j-1728)=1+q+q2+q3+2q4+2q5+3q6+⋯{\ displaystyle {\ begin {aligned} G (q) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {{1-q) (1 -q ^ ​​{2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} \\ & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5n-1}) (1-q ^ {5n-4}) }} \\ & = {\ sqrt [{60}] {qj}} \, _ {2} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {1} {60}}, {\ tfrac {19} { 60}}; {\ tfrac {4} {5}}; {\ tfrac {1728} {j}} \ vpravo) \\ & = {\ sqrt [{60}] {q \ vlevo (j-1728 \ vpravo )}} \, _ {2} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {1} {60}}, {\ tfrac {29} {60}}; {\ tfrac {4} {5}}; - {\ tfrac {1728} {j-1728}} \ right) \\ & = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + \ cdots \ end {zarovnáno}}}

a

H(q)=∑ne=0∞qne2+ne(1-q)(1-q2)⋯(1-qne)=∑ne=0∞qne2+ne(q;q)ne=1(q2;q5)∞(q3;q5)∞=∏ne=1∞1(1-q5ne-2)(1-q5ne-3)=1q11j11602F1(1160,3160;65;1728j)=1q11(j-1728)11602F1(1160,4160;65;-1728j-1728)=1+q2+q3+q4+q5+2q6+2q7+⋯{\ displaystyle {\ begin {aligned} H (q) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n }} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ { 5}) _ {\ infty}}} \\ & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt [{60}] {q ^ {11} j ^ {11}}}} \, _ {2} F_ {1} \ left ({\ tfrac {11} {60}}, {\ tfrac {31} {60}}; {\ tfrac {6} {5}}; {\ tfrac {1728} {j}} \ right) \ \ & = {\ frac {1} {\ sqrt [{60}] {q ^ {11} \ left (j-1728 \ right) ^ {11}}}} \, _ {2} F_ {1} \ vlevo ({\ tfrac {11} {60}}, {\ tfrac {41} {60}}; {\ tfrac {6} {5}}; - {\ tfrac {1728} {j-1728}} \ vpravo ) \\ & = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + 2q ^ {7} + \ cdots \ end {zarovnáno} }}

kde představuje nekonečný Pochhammerův q-symbol , j je j-invariant a 2 F 1 je hypergeometrická funkce (koeficienty expanzí v celočíselných řadách tvoří sekvence OEIS A003114 a A003106 ), pokračující zlomek Rogers-Ramanujan je (na;q)∞{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty}}   

R(q)=q1160H(q)q-160G(q)=q15∏ne=1∞(1-q5ne-1)(1-q5ne-4)(1-q5ne-2)(1-q5ne-3)=q1/51+q1+q21+q31+⋱{\ displaystyle {\ begin {aligned} R (q) & = {\ frac {q ^ {\ frac {11} {60}} H (q)} {q ^ {- {\ frac {1} {60} }} G (q)}} = q ^ {\ frac {1} {5}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(1-q ^ {5n-1}) ( 1-q ^ {5n-4})} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} \\ & = {\ cfrac {q ^ {1/5 }} {1 + {\ cfrac {q} {1 + {\ cfrac {q ^ {2}} {1 + {\ cfrac {q ^ {3}} {1+ \ ddots}}}}}}} } \ end {zarovnáno}}}

Modulární funkce

-Li , pak a , stejně jako jejich podíl , jsou modulární funkce s . Vzhledem k tomu, že mají celočíselné koeficienty, znamená teorie komplexního násobení, že jejich hodnoty, když mají formu , jsou algebraická čísla, která lze explicitně vypočítat. q=E2πiτ{\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi {\ rm {i}} \ tau}}q-160G(q){\ displaystyle q ^ {- {\ frac {1} {60}}} G (q)}q1160H(q){\ displaystyle q ^ {\ frac {11} {60}} H (q)}R(q){\ displaystyle R (q)}τ{\ displaystyle \ tau}τ{\ displaystyle \ tau}ip/q{\ displaystyle i {\ sqrt {p / q}}}

Příklady

R(E-2π)=E-2π51+E-2π1+E-4π1+⋱=5+52-ϕ=ϕ+2-ϕ{\ displaystyle R {\ big (} e ^ {- 2 \ pi} {\ big)} = {\ cfrac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi} {5}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi}} {1+ \ ddots}}}}}}} = = {{\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}} \ nad 2}} - \ phi} = {\ sqrt {\ phi +2}} - \ phi}R(E-25π)=E-2π51+E-2π51+E-4π51+⋱=51+(53/4(ϕ-1)5/2-1)1/5-ϕ{\ displaystyle R {\ big (} e ^ {- 2 {\ sqrt {5}} \ pi} {\ big)} = {\ cfrac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi} {\ sqrt { 5}}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}} }} {1+ \ ddots}}}}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {1 + {\ big (} 5 ^ {3/4} (\ phi -1) ^ {5/2 } -1 {\ big)} ^ {1/5}}} - {\ phi}}

kde je zlatý řez (tyto vzorce byly v prvním dopise, který Ramanujan poslal Hardymu , a byly mezi těmi, které ho ohromily). ϕ=1+52{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

Spojení s modulárními formami

R(q){\ displaystyle R (q)}lze vyjádřit pomocí Dedekindovy eta funkce , modulární formy váhy 1/2, protože máme (pózováním ): q=E2iπτ{\ displaystyle q = {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi \ tau}}

1R(q)-R(q)=η(τ5)η(5τ)+1{\ displaystyle {\ frac {1} {R (q)}} - R (q) = {\ frac {\ eta ({\ frac {\ tau} {5}})} {\ eta (5 \ tau) }} + 1} 1R5(q)-R5(q)=[η(τ)η(5τ)]6+11{\ displaystyle {\ frac {1} {R ^ {5} (q)}} - R ^ {5} (q) = \ left [{\ frac {\ eta (\ tau)} {\ eta (5 \ tau)}} \ doprava] ^ {6} +11}{{|}}

Odkazy s j-invariantem

Mezi mnoha vztahy ověřenými j-invariantem máme

j(τ)=(X2+10X+5)3X{\ displaystyle j (\ tau) = {\ frac {(x ^ {2} + 10x + 5) ^ {3}} {x}}}

nebo

X=[5η(5τ)η(τ)]6{\ displaystyle x = \ left [{\ frac {{\ sqrt {5}} \, \ eta (5 \ tau)} {\ eta (\ tau)}} \ right] ^ {6}}

Eliminováním kvocientu můžeme vyjádřit j ( τ ) z hlediska  : r=R(q){\ displaystyle r = R (q)}

j(τ)=-(r20-228r15+494r10+228r5+1)3r5(r10+11r5-1)5j(τ)-1728=-(r30+522r25-10005r20-10005r10-522r5+1)2r5(r10+11r5-1)5{\ displaystyle {\ begin {aligned} & j (\ tau) = - {\ frac {(r ^ {20} -228r ^ {15} + 494r ^ {10} + 228r ^ {5} +1) ^ { 3}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} \\ [6pt] & j (\ tau) -1728 = - {\ frac {( r ^ {30} + 522r ^ {25} -10005r ^ {20} -10005r ^ {10} -522r ^ {5} +1) ^ {2}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} \ end {zarovnáno}}}

kde čitatel a jmenovatel jsou polynomiální invarianty dvacetistěnu . Modulární vztah mezi a vede k R(q){\ displaystyle R (q)}R(q5){\ displaystyle R (q ^ {5})}

j(5τ)=-(r20+12r15+14r10-12r5+1)3r25(r10+11r5-1){\ displaystyle j (5 \ tau) = - {\ frac {(r ^ {20} + 12r ^ {15} + 14r ^ {10} -12r ^ {5} +1) ^ {3}} {r ^ {25} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1)}}}

Buď  ; tak z=r5-1r5{\ displaystyle z = r ^ {5} - {\ frac {1} {r ^ {5}}}}

j(5τ)=-(z2+12z+16)3z+11{\ displaystyle j (5 \ tau) = - {\ frac {\ vlevo (z ^ {2} + 12z + 16 \ vpravo) ^ {3}} {z + 11}}}

nebo

z∞=-[5η(25τ)η(5τ)]6-11, z0=-[η(τ)η(5τ)]6-11, z1=[η(5τ+25)η(5τ)]6-11,z2=-[η(5τ+45)η(5τ)]6-11, z3=[η(5τ+65)η(5τ)]6-11, z4=-[η(5τ+85)η(5τ)]6-11{\ displaystyle {\ begin {aligned} & z _ {\ infty} = - \ left [{\ frac {{\ sqrt {5}} \, \ eta (25 \ tau)} {\ eta (5 \ tau) }} \ right] ^ {6} -11, \ z_ {0} = - \ left [{\ frac {\ eta (\ tau)} {\ eta (5 \ tau)}} \ right] ^ {6} -11, \ z_ {1} = \ left [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +2} {5}})}} {\ eta (5 \ tau)}} \ right] ^ { 6} -11, \\ [6pt] & z_ {2} = - \ left [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +4} {5}})}} {\ eta (5 \ tau )}} \ vpravo] ^ {6} -11, \ z_ {3} = \ vlevo [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +6} {5}})}} \ \ eta (5 \ tau)}} \ vpravo] ^ {6} -11, \ z_ {4} = - \ vlevo [{\ frac {\ eta ({\ frac {5 \ tau +8} {5}})}} {\ eta (5 \ tau)}} \ vpravo] ^ {6} -11 \ end {zarovnáno}}}

což je j-invariant eliptické křivky , parametrizovaný pravidelnými body modulární křivky . y2+(1+r5)Xy+r5y=X3+r5X2{\ displaystyle y ^ {2} + (1 + r ^ {5}) xy + r ^ {5} y = x ^ {3} + r ^ {5} x ^ {2}} X1(5){\ displaystyle X_ {1} (5)}

Funkční rovnice

Nyní nastavujeme systematicky s q = e 2πiτ . Pokud ostatní modulární funkce, například j-invariant, ověřte: r(τ)=R(q){\ displaystyle r (\ tau) = R (q)}

j(-1τ)=j(τ){\ displaystyle j (- {\ tfrac {1} {\ tau}}) = j (\ tau)}

a máme pro eta funkci Dedekind:

η(-1τ)=-iτη(τ){\ displaystyle \ eta (- {\ tfrac {1} {\ tau}}) = {\ sqrt {-i \ tau}} \, \ eta (\ tau)}

funkční rovnice v Rogers - Ramanujan pokračování frakce zahrnuje zlatý poměr  : ϕ=1+52{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

r(-1τ)=1-ϕr(τ)ϕ+r(τ){\ displaystyle r (- {\ tfrac {1} {\ tau}}) = {\ frac {1- \ phi \, r (\ tau)} {\ phi + r (\ tau)}}}.

Máme to na druhou stranu . r(7+i10)=i{\ displaystyle r ({\ tfrac {7 + i} {10}}) = i}

Modulární rovnice

Existují modulární vztahy mezi a , zvláště elegantní pro některé malé primární hodnoty n  : R(q){\ displaystyle R (q)}R(qne){\ displaystyle R (q ^ {n})}

Buď a  ; tak : u=R(q){\ displaystyle u = R (q)}proti=R(qne){\ displaystyle v = R (q ^ {n})}

Pro ,ne=2{\ displaystyle n = 2}proti-u2=(proti+u2)uproti2.{\ displaystyle vu ^ {2} = (v + u ^ {2}) uv ^ {2}.}

Pro , ne=3{\ displaystyle n = 3}(proti-u3)(1+uproti3)=3u2proti2.{\ displaystyle (vu ^ {3}) (1 + uv ^ {3}) = 3u ^ {2} v ^ {2}.}

Pro , ne=5{\ displaystyle n = 5}(proti4-3proti3+4proti2-2proti+1)proti=(proti4+2proti3+4proti2+3proti+1)u5.{\ displaystyle (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1) v = (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1 ) u ^ {5}.}

Pro ,ne=11{\ displaystyle n = 11}uproti(u10+11u5-1)(proti10+11proti5-1)=(u-proti)12.{\ displaystyle uv (u ^ {10} + 11u ^ {5} -1) (v ^ {10} + 11v ^ {5} -1) = (uv) ^ {12}.}

Kromě toho si můžeme všimnout, že faktory, které se objevují, se nacházejí v případě , protože: ne=5{\ displaystyle n = 5}ne=11{\ displaystyle n = 11}

proti10+11proti5-1=(proti2+proti-1)(proti4-3proti3+4proti2-2proti+1)(proti4+2proti3+4proti2+3proti+1).{\ displaystyle v ^ {10} + 11v ^ {5} -1 = (v ^ {2} + v-1) (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1 ) (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1).}

Další výsledky

Ramanujan objevil mnoho dalších zajímavých vlastností R ( q ). Pózování , a zlaté číslo , u=R(qna){\ displaystyle u = R (q ^ {a})}proti=R(qb){\ displaystyle v = R (q ^ {b})}ϕ{\ displaystyle \ phi}

pokud tedynab=4π2{\ displaystyle ab = 4 \ pi ^ {2}}(u+ϕ)(proti+ϕ)=5ϕ.{\ displaystyle (u + \ phi) (v + \ phi) = {\ sqrt {5}} \, \ phi.} pokud tedy5nab=4π2{\ displaystyle 5ab = 4 \ pi ^ {2}}(u5+ϕ5)(proti5+ϕ5)=55ϕ5.{\ displaystyle (u ^ {5} + \ phi ^ {5}) (v ^ {5} + \ phi ^ {5}) = 5 {\ sqrt {5}} \, \ phi ^ {5}.}

Síly R ( q ) také uspokojí neočekávané vztahy. Tak,

R3(q)=αβ{\ displaystyle R ^ {3} (q) = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}

nebo

α=∑ne=0∞q2ne1-q5ne+2-∑ne=0∞q3ne+11-q5ne+3{\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {2n}} {1-q ^ {5n + 2}}} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {3n + 1}} {1-q ^ {5n + 3}}}} β=∑ne=0∞qne1-q5ne+1-∑ne=0∞q4ne+31-q5ne+4{\ displaystyle \ beta = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {5n + 1}}} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {4n + 3}} {1-q ^ {5n + 4}}}}

Pózování , máme w=R(q)R2(q2){\ displaystyle w = R (q) R ^ {2} (q ^ {2})}

R5(q)=w(1-w1+w)2,R5(q2)=w2(1+w1-w){\ displaystyle R ^ {5} (q) = w \ left ({\ frac {1-w} {1 + w}} \ right) ^ {2}, \; \; R ^ {5} (q ^ {2}) = w ^ {2} \ left ({\ frac {1 + w} {1-w}} \ right)}

Reference

1. (in) G. H. Hardy , „  Indický matematik Ramanujan  “ [„Indický matematik Ramanujan“], American Mathematical Monthly , sv.  44, n o  3,Březen 1937, str.  137-155 ( číst online )
2. (in) Duke, W. „Continued Fractions and Modular Functions“, http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
3. (in) Duke, W. „Continued Fractions and Modular Functions“ (str.9)
4. (en) Berndt, B. a kol. „Rogers - Ramanujan Continued Fraction“ [ číst online ] .
5. (en) Berndt, B. a kol. „Rogers - Ramanujan Continued Fraction“

• (en) LJ Rogers , „  Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products  “ , Proc. London Math. Soc. , sv.  s1-25, n o  1,1894, str.  318–343 ( DOI  10.1112 / plms / s1-25.1.318 )
• (en) BC Berndt , HH Chan , SS Huang , SY Kang , J. Sohn a SH Son , „  The Rogers - Ramanujan pokračující zlomek  “ , Journal of Computational and Applied Mathematics , sv.  105,1999, str.  9 ( DOI  10.1016 / S0377-0427 (99) 00033-3 , číst online )

externí odkazy

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Rogers - Ramanujanův pokračující zlomek  “ ( viz seznam autorů ) .

• ( fr ) Eric W. Weisstein , „  Identity of Rogers-Ramanujan  “ , na webu MathWorld
• ( fr ) Eric W. Weisstein , „  Continuing Fraction of Rogers-Ramanujan,  “ na webu MathWorld

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">