Identita Binet-Cauchy

V matematice , a zejména v algebře , identita Binet - Cauchy , kvůli Jacquesovi Philippe Marie Binet a Augustin-Louis Cauchy , říká, že:

(∑i=1nenaivs.i)(∑j=1nebjdj)=(∑i=1nenaidi)(∑j=1nebjvs.j)+∑1≤i<j≤ne(naibj-najbi)(vs.idj-vs.jdi){\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} d_ {j} {\ biggr)} = {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ suma _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} c_ {j} {\ biggr)} + ​​\ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

pro libovolné množiny reálných nebo komplexních čísel (nebo obecněji prvků komutativního kruhu ). Ve zvláštním případě, kdy i  =  c i a b j  =  d j , se redukuje na Lagrange identity .

Vztah k vnější algebře

Pomocí skalárního součinu a vnějšího součinu (který je identifikován pro n = 3 s křížovým součinem ) lze napsat identitu

(na⋅vs.)(b⋅d)=(na⋅d)(b⋅vs.)+(na∧b)⋅(vs.∧d){\ displaystyle (a \ cdot c) (b \ cdot d) = (a \ cdot d) (b \ cdot c) + (a \ klín b) \ cdot (c \ klín d) \,}

kde a , b , c , a d jsou vektory s n souřadnicemi. Stále to můžeme vidět jako vzorec, který dává bodový produkt dvou vnějších produktů jako funkci bodových produktů:

(na∧b)⋅(vs.∧d)=(na⋅vs.)(b⋅d)-(na⋅d)(b⋅vs.).{\ displaystyle (a \ klín b) \ cdot (c \ klín d) = (a \ cdot c) (b \ cdot d) - (a \ cdot d) (b \ cdot c). \,}

V konkrétním případě stejných vektorů ( a = c a b = d ) se vzorec stane ( Lagrangeova identita )

|na∧b|2=|na|2|b|2-|na⋅b|2{\ displaystyle | a \ klín b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | a \ cdot b | ^ {2}}

Demonstrace

Vypracováním posledního semestru a přidáním a odečtením dobře vybraných doplňkových součtů získáme:

∑1≤i<j≤ne(naibj-najbi)(vs.idj-vs.jdi){\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

=∑1≤i<j≤ne(naivs.ibjdj+najvs.jbidi)+∑i=1nenaivs.ibidi-∑1≤i<j≤ne(naidibjvs.j+najdjbivs.i)-∑i=1nenaidibivs.i{\ displaystyle = \ suma _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} + a_ {j} c_ {j} b_ {i} d_ { i}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {i} d_ {i} - \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ { i} d_ {i} b_ {j} c_ {j} + a_ {j} d_ {j} b_ {i} c_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {i} c_ {i}}

což umožňuje seskupit:

=∑i=1ne∑j=1nenaivs.ibjdj-∑i=1ne∑j=1nenaidibjvs.j.{\ displaystyle = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} - \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {j} c_ {j}.}

Faktorování výrazů indexovaných indexem i , výsledky identity.

Zobecnění

Obecnější forma, známá jako Binet-Cauchyův vzorec , říká, že pokud A je matice m × n a B je matice n × m , máme

det(NAB)=∑S⊂{1,...,ne}|S|=mdet(NAS)det(BS),{\ displaystyle \ det (AB) = \ součet _ {\ scriptstyle S \ podmnožina \ {1, \ ldots, n \} \ na vrcholu \ scriptstyle | S | = m} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S}),}

kde S je podmnožinou {1, ..., n } m prvků m , A S je matice m × m, jejíž sloupce jsou sloupce A mající jejich indexy v S , a podobně B S je matice m × m tvořené řadami B indexů v S  ; v tomto vzorci je součet převzat všechny možné podmnožiny.

Identita Binet-Cauchy je odvozena jako konkrétní případ, pózováním

NA=(na1...naneb1...bne),B=(vs.1d1⋮⋮vs.nedne).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & \ dots & a_ {n} \\ b_ {1} & \ dots & b_ {n} \ end {pmatrix}}, \ quad B = {\ začít {pmatrix} c_ {1} & d_ {1} \\\ vdots & \ vdots \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix}}.}

Poznámky a odkazy

• (en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Binet - Cauchy identity  “ ( viz seznam autorů ) .

1. (in) Eric W. Weisstein , CRC Stručná encyklopedie matematiky , CRC Press , 2003, 2 nd  ed. , 3242  s. ( ISBN  978-1-58488-347-0 ) , „Binet-Cauchy identity“ , s.  228