V matematice , An ideální v tom smyslu, že objednávky teorie je zvláštní podmnožina z uspořádané soustavě . Ačkoli tento termín původně pochází z algebraické představy o ideálu jednoho kruhu , to bylo zobecnit do samostatného sdělení. Ideály zasahují do mnoha konstrukcí v teorii řádu, zejména do mřížek .
Ideálem uspořádané množiny ( E , ≤) je neprázdná podmnožina I z E taková, že:
Tato definice rozšiřuje na libovolné objednávky původní definici ideálu mřížky :
V případě, že příkaz ( E , ≤) je mříž - tj. Pokud by každý pár { , b } v E má horní mez je ⋁ b a spodní mez je ⋀ B - počáteční úsek I je ideální tehdy a jen tehdy, pokud to je stabilní horními hranicemi hotové, to znamená, pokud není prázdný a je-li pro všechny a a B v i , má ⋁ b patří i .
Dvojí představa ideálu, to znamená, že kde ≤ jsou invertovány a ⋁ a ⋀ invertovány, je pojem filtru . Termíny „ideální pro objednávku“ a „poloideální“ se někdy používají k označení jednoduchých počátečních sekcí (a „filtr pro objednávku“ pro jednoduché koncové sekce ). Aby nedocházelo k nejasnostem, použijeme výrazy „ideální / filtr“ pouze pro sekce (začátek / konec), které filtrují (vpravo / vlevo) .
Pojmy Frinkův ideál (en) a pseudoideál (en) zobecňují představy o ideálu mřížky.
Ideální nebo filtr ( E , ≤) se říká, že čistý , pokud se jedná o vlastní podmnožina z E .
Pro každý prvek e z E , nejmenší ideální obsahující e je soubor, označený ↓ E , z dolní hranice e . O takovém ideálu se říká, že je hlavní, a e se pak nazývá hlavní prvek tohoto ideálu.
Ideální I z ( E , ≤) se říká, že je prvočíslo, pokud je jeho doplňkem filtr. Protože podle definice je každý filtr neprázdný, je každý primární ideál správný. O filtru se říká, že je primární, pokud je jeho doplněk ideální, a každý primární filtr je správný.
Když se ( E , ≤) je mříž, správné ideální I je připravit jestliže a pouze v případě, pro každý A a B o E tak, že ⋀ b patří do I , přičemž alespoň jeden z těchto dvou prvků nebo b je v I .
V úplném mřížky , čistý ideální je, že zcela první , pokud některý z E , je spodní koncová část je I obsahuje alespoň jeden prvek I .
Existence prvotřídních ideálů obecně není zřejmá a často nelze prokázat, že jich je v Zermelo-Fraenkelově teorii množin „dost“ (bez axiomu volby ): viz článek „ Prime ideal theorem in a Booleova algebra “.
O ideálu (resp. Filtru) se říká, že je maximální, pokud se jedná o maximální prvek (pro zahrnutí ) souboru správných ideálů (resp. Správných filtrů).
V distribuční mřížce je každý maximální ideál a každý maximální filtr primární. Opak je falešný obecně, ale je to pravda v Booleovy algebry .
Maximum filtrů se někdy nazývá ultrafiltry , ale tato terminologie je často vyhrazena pro booleovské algebry, ve kterých je filtr nebo ideál maximální právě tehdy, když pro jakýkoli prvek má algebru obsahuje jeden a pouze jeden ze dvou prvků a a ¬ a .
Můžeme také řešit relativní pojem maximality uvažuje o čisté filtru F , prvky M maximálním sadě ideálů disjoint od F . V distribuční mřížce je takové M vždy prvočíslo.
DemonstraceNechť M je maximální mezi nesouvislý ideály filtrační F a nechat a b nepatří do M , ukažme, že M neobsahuje si ⋀ b .
Je N množina prvků, které dolní hranice M ⋁ má pro alespoň jednu m v M . Potom N je ideální přísně obsahující M a tím splnění koncovou část F , takže je m v M tak, že m ⋁ je ve vlastnictví F . Podobně je není v M jako n ⋁ b patří F . Nechť p = m ⋁ n . Filtr F pak obsahuje p ⋁ má a p ⋁ b tedy také obsahuje ( p ⋁ ) ⋀ ( p ⋁ b ) = p ⋁ ( ⋀ b ), které proto nepatří k M . Nyní je ideální M obsahuje p , takže to nemůže obsahovat z ⋀ b .
Pro jakékoliv ideální I disjunktní z filtru F , existence maximální M mezi ideály, které obsahují I a disjunktnı z F není zaručena obecně. Je to tak za předpokladu axiomu výběru. V konkrétním případě, kdy uvažovaná uspořádaná množina je booleovská algebra, je touto teorémou již zmiňovaný primární ideál v booleovské algebře. Je přísně slabší než axiom výběru a je dostatečný pro většinu aplikací ideálů v teorii řádu.
Konstrukce ideálů a filtrů je důležitým nástrojem v mnoha aplikacích teorie objednávek.
Ideály zavedl do teorie řádu Marshall Stone , který jim dal stejné jméno jako ideály prstenu. Přijal tuto terminologii, protože pro booleovské algebry se tyto dva pojmy shodují.
Ideální (teorie množin )