Časoprostorový interval

Čtverec o intervalu časoprostoru mezi dvěma událostmi v časoprostoru o speciální relativity nebo obecně je ekvivalentní čtverci geometrická vzdálenost mezi dvěma body v euklidovském prostoru . Toto množství je neměnný změnou referenčního snímku na pozorovatele .

Když je kvadrát časoprostorového intervalu mezi dvěma událostmi kladný nebo nulový (termín kvadrát se zde používá pouze formálně), lze tyto dvě události spojit pomocí příčiny a následku a časoprostorový interval (definovaný vezme druhá odmocnina ) umožňuje definovat správný čas mezi těmito dvěma událostmi.

Když je čtverec časoprostorového intervalu mezi dvěma událostmi přísně záporný, pak ani jedna nemůže být příčinou druhé a časoprostorový interval je nedefinovaný (nebo v nejlepším případě jako imaginární číslo ), ale tím, že vezmeme druhou mocninu odmocnina protikladu čtverce získáme správnou vzdálenost mezi těmito událostmi.

Čtverec o prostorově časový interval slouží jako definice pseudo-metrický z Minkowského prostoru ve speciální relativitě, stejně jako nekonečně pseudo-metrický v zakřiveném prostoru obecné teorie relativity.

Speciální výraz relativity

V trojrozměrném euklidovském prostoru, čtverec vzdálenosti mezi dvěma body A a B, souřadnic ( x A , y , z A ) a ( x B , y B , z B ) se vzhledem k ortonormální kartézského souřadného systému je vyjádřeno ve formě: Δl{\ displaystyle \ Delta l}

(Δl)2=(XB-XNA)2+(yB-yNA)2+(zB-zNA)2,{\ displaystyle \, (\ Delta l) ^ {2} = (x _ {\ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} + (y _ {\ text {B} } - y_ {\ text {A}}) ^ {2} + (z _ {\ text {B}} - z _ {\ text {A}}) ^ {2} \ ,,}

co se běžně píše zhustenějším způsobem

Δl2=ΔX2+Δy2+Δz2.{\ displaystyle \ Delta l ^ {2} = \ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} \,.}

Je zřejmé, že v klasické fyzice je tato veličina neměnná změnou referenčního rámce. Ale to už v relativistické fyzice neplatí.

V časoprostorové geometrii speciální relativity napíšeme „druhou mocninu časoprostorového intervalu“ mezi dvě události A a B souřadnic ( t A , x A , y A , z A ) a ( t B , x B , y B , z B ) ve čtyřrozměrném časoprostoru (jeden čas, tj. t a tři prostor) ve formě Δs2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2}}

(Δs)2=vs.2(tB-tNA)2-(XB-XNA)2-(yB-yNA)2-(zB-zNA)2{\ displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = \, c ^ {2} (t _ {\ text {B}} - t _ {\ text {A}}) ^ {2} - (x _ { \ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} - (y _ {\ text {B}} - y _ {\ text {A}}) ^ {2} - (z _ {\ text {B}} -z _ {\ text {A}}) ^ {2}}

nebo

Δs2=vs.2Δt2-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}

výraz, ve kterém je faktor c 2 ( rychlost světla na druhou) uložen pomocí Lorentzových transformací nebo principů speciální relativity, podle metody použité k ospravedlnění jeho invariance změnou inerciálního referenčního rámce .

Pseudo-metrický , uvedeno , je definována , nebo v závislosti na znakové konvence nebo zvolena.  Δs{\ displaystyle \ \ Delta s} Δs2=-vs.2(Δt)2+(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs.2(Δt)2-(ΔX)2-(Δy)2-(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Invariance

Invariance čtverce časoprostorového intervalu změnou inerciálního referenčního rámce je ústřední vlastností speciální relativity . V závislosti na zvolené prezentaci lze tuto invariantnost považovat za základní axiom teorie, nebo ji lze odvodit přímo z původních axiomů relativity, konkrétně od principu relativity a invariance rychlosti světla změnou setrvačného referenčního rámce , nebo ještě odvodit z Lorentzových transformací, které transformují souřadnice během změny inerciálního referenčního rámce (tyto transformace lze odvodit ze dvou původních principů speciální relativity). Vzhledem k tomu, Hermann Minkowski , některé prezentace teorie zvolit jednu z prvních dvou možností, přijetí čistě geometrický úhel pohledu v dimenzi čtyři (tři prostoru a jeden z času). Třetí možnost lépe odpovídá historickému vývoji teorie.

Důkaz invariance ze dvou axiomů speciální relativity

Tyto dva axiomy jsou: princip relativity a invariance rychlosti světla změnou referenčního rámce (setrvačné, jako všechny zde uvažované referenční rámce).

• Pokud v úložišti, dvě události jsou odděleny od prostorové vzdálenosti a časovou vzdálenost tak, že rychlost světla, pak platí: . Δl{\ displaystyle \ \ Delta l} Δt{\ displaystyle \ \ Delta t}|Δl/Δt|=vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | \, = c} Δs2=vs.2Δt2-Δl2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0}

Pokud jsou stejné dvě události vidět z jiného referenčního rámce, pak jsou zde prostorové a časové vzdálenosti a s rychlostí světla, která má v tomto druhém rámci stejnou hodnotu, podle druhého axiomu. Dedukujeme, že i v tomto referenčním rámci ano Δl′{\ displaystyle \ \ Delta l '} Δt′{\ displaystyle \ \ Delta t '}|Δl′/Δt′|=vs.{\ displaystyle | \ Delta l '/ \ Delta t' | \, = c} Δs′2=vs.2Δt′2-Δl′2=0{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = c ^ {2} \ Delta t' ^ {2} - \ Delta l '^ {2} = 0} Pokud je tedy v jednom referenčním rámci, je stejný ve všech ostatních. Δs2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 0}

• V každém referenčním rámci a pro jakoukoli dvojici dostatečně blízkých událostí a jsou nekonečně malé stejného řádu, protože změny referenčních rámců jsou afinní funkce s konstantními koeficienty, tedy vztahy mezi nimi , z jednoho referenčního rámce do jiné jsou lineární nebo afinní. a navzájem se ruší současně, takže existuje řada takových . Toto číslo nemůže záviset na relativní poloze dvou referenčních rámců, protože se předpokládá, že časoprostor je homogenní , takže záleží pouze na relativní rychlosti dvou referenčních rámců. Nemůže to však záviset na směru této rychlosti, protože časoprostor má být izotropní . Takže záleží jen na absolutní hodnotě relativní rychlost, nebo jeho náměstí: . Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}} Δl,Δt{\ displaystyle \ \ Delta l \ ;, \ Delta t} Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}}na{\ displaystyle a} Δs2=na.Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a. \ Delta s '^ {2}} na=na(proti2){\ displaystyle \ a = a (v ^ {2})}
• Vezmeme-li v úvahu tři referenční rámce, princip relativity, který stanoví, že zákony jsou tam stejné, máme: a . Tak . Nyní záleží na úhlu mezi a , úhel nezasahuje dovnitř . Takže, je konstantní číslo, není závislá na relativní rychlosti z referenčních rámců. Δs2=na(proti2).Δs′2,{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v ^ {2}). \ Delta s '^ {2} \ ,,}  Δs′2=na(proti′2).Δs„2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = a (v' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} Δs2=na(proti„2).Δs„2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v '' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} na(proti„2)=na(proti2).na(proti′2){\ displaystyle \ a (v '' ^ {2}) = a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} proti„2{\ displaystyle \ v '' ^ {2}} proti{\ displaystyle \ v} proti′{\ displaystyle \ v '}na(proti2).na(proti′2){\ displaystyle a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} na(proti2)=na{\ displaystyle \ a (v ^ {2}) = a}
• Jako , máme . Δs2=1.Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 1. \ Delta s ^ {2}} na=1{\ displaystyle \ a = 1}

Závěr . Čtverec o prostorově časový interval je neměnný změnou úhlu pohledu. Δs2=Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = \ Delta s '^ {2}}   Důkaz invariance z Lorentzových transformací psaný klasickou formou

Kvůli lepší čitelnosti redukujeme problém na dvě dimenze, takže zanedbáváme podrobnosti prostorových rotací.

Když vezmeme v úvahu dva referenční rámce a v rovnoměrném přímočarém překladu jeden ve srovnání s druhým při rychlosti , použité Lorentzovy transformace jsou: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '} proti{\ displaystyle \ v}

 {vs.Δt′=y(vs.Δt-βΔX)ΔX′=y(ΔX-β.vs.Δt)Δy′=ΔyΔz′=Δz {\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {matrix} c \ Delta t '= \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x' = \ gamma \ left (\ Delta x- \ beta .c \ Delta t \ right) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matrix}} \ right. \, ~}s a ,β=protivs.{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}y=1/1-β2{\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} Nějakými jednoduchými algebraickými výpočty ukážeme, že máme vs.2Δt′2-ΔX′2-Δy′2-Δz′2=vs.2Δt2-ΔX2-Δy2-Δz2,{\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} - \ Delta y '^ {2} - \ Delta z' ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} - \ Delta z ^ {2} \ ,,}   Důkaz invariance Lorentzovými transformacemi vyjádřený pomocí hyperbolických funkcí

Následující výpočet ilustruje úzký vztah mezi Lorentzovými transformačními vzorci a invariancí čtverce časoprostorového intervalu a možností přechodu z jednoho formalismu na druhý.

V euklidovské geometrii rotace úhlu θ souřadného systému kolem osy Oz ponechává vzdálenost mezi dvěma body neměnnou. Tyto vzorce pro změnu souřadných os odpovídající této rotaci s uvedením nové souřadnice v závislosti na ty staré jsou zapsány:

{X′=Xcosθ+yhříchθy′=-Xhříchθ+ycosθz′=z.{\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \\ z '= z \ ,. \ end {cases}}}

Proto se stanou rozdíly souřadnic mezi dvěma body A a B.

{ΔX′=ΔXcosθ+ΔyhříchθΔy′=-ΔXhříchθ+ΔycosθΔz′=Δz.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ Delta x '= \ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta \\\ Delta y' = - \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta \\\ Delta z '= \ Delta z \ ,. \ End {případy}}}

Můžeme to odvodit

(ΔX′)2+(Δy′)2+(Δz′)2=(ΔXcosθ+Δyhříchθ)2+(-ΔXhříchθ+Δycosθ)2+(Δz)2≡(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2,{\ displaystyle (\ Delta x ') ^ {2} + (\ Delta y') ^ {2} + (\ Delta z ') ^ {2} = (\ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta) ^ {2} + (- \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ ekv (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ ,,}

vzorec jasně ukazující invariance tohoto součtu čtverců.

Ve speciální relativitě umožňují Lorentzovy transformace přechod z „fixního“ systému do systému animovaného rychlostí v podél osy Ox . Pomocí úhlového parametru θ definovaného

β=proti/vs., β=tanh⁡θ{\ displaystyle \ beta = v / c \ ,, \ \ beta \, = \, \ tanh \ theta}   je   θ=natnanehβ{\ displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \ beta}

Lorentzovy vzorce jsou psány jako vzorce rotace os, kromě toho, že trigonometrické funkce jsou nahrazeny hyperbolickými funkcemi. Máme výrazy  :

{vs.t′= vs.thovadinaθ-XsinhθX′=-vs.tsinhθ+Xhovadinaθy′=yz′=z{\ displaystyle {\ begin {cases} ct '= \ ct \ cosh \, \ theta -x \ sinh \, \ theta \\ x' = - ct \ sinh \, \ theta + x \ cosh \, \ theta \ \ y '= y \\ z' = z \ end {případů}}}

Pokud tedy vezmeme v úvahu dvě události, rozdíly souřadnic se transformují jako

{vs.Δt′= vs.Δthovadinaθ-ΔXsinhθΔX′=-vs.Δtsinhθ+ΔXhovadinaθΔy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle {\ begin {cases} c \ Delta t '= \ c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta \\\ Delta x' = - c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {případů}}}

Můžeme odvodit:

(vs..Δt′)2-(ΔX′)2-(Δy′)2-(Δz′)2=(vs.Δthovadinaθ-ΔXsinhθ)2-(-vs.Δtsinhθ+ΔXhovadinaθ)2-(Δy)2-(Δz)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta x') ^ {2} - (\ Delta y ') ^ {2} - (\ Delta z') ^ {2} = (c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta) ^ {2} - (- c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta ) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2} \,.}

Tak jako

(hovadina⁡θ)2-(sinh⁡θ)2=1{\ displaystyle \, (\ cosh \ theta) ^ {2} - (\ sinh \ theta) ^ {2} = 1}

skončíme oznámeným vzorcem invariance

(vs..Δt′)2-(Δl′)2=(vs..Δt)2-(Δl)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta l') ^ {2} = \, (c. \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta l) ^ { 2} \,.}  

Vztah mezi událostmi

Čtverec časoprostorového intervalu mezi dvěma událostmi může mít tři různé typy:

• jako čas,
• typ prostoru,
• laskavé světlo.

Rod z časoprostorového interval náměstí závisí na jeho znamení, a vzhledem k tomu, že je neměnný změnou inerciální vztažné soustavě, budou rodu prostorově časový interval být stejná pro každou pozorovatele. Budeme si tedy moci všimnout, že pokud jsou dvě události odděleny časoprostorovým časovým intervalem nebo světelným typem, mohou být spojeny přímou příčinnou souvislostí , na druhou stranu, pokud jsou odděleny jednou z prostorového typu , nemohou, a to bez ohledu na pozorovatele a jeho setrvačný referenční rámec.

Laskavý čas

Pokud časový interval cΔt převáží nad prostorovou vzdáleností Δl, říká se, že jde o časový typ a časoprostorový interval je kladný:

Δs2=vs.2Δt2-Δl2>0{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2}> 0}

Tento případ odpovídá situaci, kdy , což znamená, že v referenčním rámci, kde byla měření provedena, může být pohybující se těleso, které jde konstantní rychlostí správným směrem, v přesném místě a současně s první událostí, pak , po jeho posunutí, k druhému. V důsledku toho jsou v rámci (setrvačnosti) tohoto mobilního telefonu dvě události umístěny na stejném místě, ale ne ve stejnou dobu. V tomto konkrétním referenčním rámci a podle invariance čtverce časoprostorového intervalu se časový rozdíl oddělující tyto dvě události nazývá správný čas, který je odděluje, a je dán vzorcem: |Δl/Δt|<vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | <c}|Δl/Δt|{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |}Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}

Δs2=vs.2Δt2-Δl2 = vs.2Δτ2-0,{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2 } - \, 0 \ ,,}

což ukazuje, že správný čas je dán . Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}Δτ=Δs2/vs.{\ displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ Delta s ^ {2}}} / c}

V tomto případě časově podobného intervalu mohou být tyto dvě události spojeny příčinnou souvislostí: prostřednictvím částice pohybující se poměrně rychle z jedné události na druhou, nebo vlivem přenášeným světlem procházejícím z jedné do druhé a účinkem což by následně spustilo druhou událost.

Ve většině případů se na Zemi vyskytují situace časového typu, protože rozměry naší planety jsou malé (řádově 10 000 km) a že navíc u lidí považované události obvykle trvají řádově nejméně druhý. To neznamená, že všechny události mají vzájemnou příčinnou souvislost, ale že je fyzicky pravděpodobné, že ji budou mít.

Typ prostoru

Pokud prostorový interval Δl převažuje nad časovým intervalem cΔt , říká se , že je to interval prostorového typu a čtverec časoprostorového intervalu je záporný:

Δs2 = vs.2Δt2-Δl2<0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} <0 \,.}

Tento případ odpovídá situaci, kdy , což znamená, že v referenčním rámci, kde byla měření provedena, nemůže být žádné pohybující se těleso, které jde rychlostí nižší než je rychlost světla, ani žádný světelný signál na přesném místě a současně. než první událost, pak po jejím přemístění nebo šíření na události druhé. Mezi těmito dvěma událostmi tedy nemůže být příčinná souvislost . Můžeme ukázat, že pak existuje setrvačný referenční rámec, ve kterém jsou události simultánní: v tomto referenčním rámci je časový rozdíl mezi těmito dvěma událostmi nulový, tedy |Δl/Δt|>vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |> c}

Δs2=vs.2Δt2-Δl2 = 0-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ \, 0- \ Delta l ^ {2} \ ,}

V tomto konkrétním setrvačném referenčním rámci je tedy časový rozdíl mezi událostmi nulový a jejich prostorová vzdálenost, nazývaná správná vzdálenost , jeΔl=-Δs2.{\ displaystyle \ Delta l = {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}}.}

Tato situace odpovídá experimentu myšlenky na žebříku paradox .

Lehký žánr

Pokud je čtverec časoprostorového intervalu nula, znamená to, že světlo prochází přesně geometrickou vzdálenost mezi těmito dvěma událostmi během časového intervalu mezi těmito dvěma událostmi.

Δs2 = vs.2Δt2-Δl2=0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0 \,.}

Tento případ odpovídá situaci, kdy , což znamená, že v referenčním rámci, kde byla měření provedena , se mohou k těmto dvěma událostem připojit pouze částice s nulovou hmotností , které tedy jdou rychlostí světla . Rychlost světla je stejná ve všech setrvačných referenčních soustavách, je stejná, když jsou tyto události vidět z jakéhokoli jiného setrvačného referenčního rámce. To stále ponechává možnost příčinné souvislosti mezi těmito dvěma událostmi, která se vytváří rychlostí světla. |Δl/Δt|=vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | = c}

Příklad: pokud událost A sestává z vysílání laserového signálu ze Země na Měsíc a událost B sestává z příjmu tohoto signálu na Měsíci, bude časoprostorový interval mezi A a B nulový, protože vzdálenost Δl mezi Země a Měsíc se budou přesně rovnat vzdálenosti cΔt, kterou světlo uběhlo během času Δt . V druhém případě můžeme říci, že interval je typu světla .

Časový řád a pohlaví

Fyzicky realistické změny referenčního rámce v zásadě respektují orientaci časové osy: předpokládá se tedy, že při pohledu z jednoho nebo druhého referenčního rámce ručičky hodin nemění svůj směr otáčení, pouze pokud jablko spadne z jeho větev viděná z jedné, pak se nevrací zpět, když je viděna z jiné. Pokud jsou odděleni časovým intervalem, pozorují všichni pozorovatelé stejné časové pořadí mezi dvěma událostmi (ale s různými časovými mezerami).

Na druhou stranu se v určitých případech může časové pořadí pozorované mezi dvěma událostmi změnit z jednoho referenčního rámce na druhý: pokud jsou tyto dvě události odděleny mezerovým intervalem, jejich pozorované časové pořadí se může změnit z jednoho referenčního rámce na další a další a existují také úložiště, pro která jsou tyto dvě události simultánní.

Demonstrace invariance časového řádu pozorovaná pro časový rod

Invariance změnou referenčního rámce časového řádu mezi dvěma událostmi oddělenými časovým intervalem je v tautologické ekvivalenci s principem neinvertování časové osy změnou referenčního rámce.

Možná bychom se však chtěli přesvědčit pomocí některých matematických úvah, že tato invariance je skutečně důsledkem tohoto principu:

Jediné změny referenčního rámce, které fyzika umožňuje respektovat orientaci časové osy a orientaci trojrozměrných referenčních rámců (orientace jednomyslně akceptovaná jako pravá ruka ), jsou to také kontinuální změny od rámce reference. počáteční a nazývají se vlastní a ortochronní transformace .

Zvažte několik událostí časového typu, takže interval Δ t od A do F je kladný ( t (F) je větší než t (A) nebo F je později než A). Aby tento interval změnil znaménko (F se stalo dříve než A), musel by překročit nulovou hodnotu, což je nemožné. Ve skutečnosti se čtverec Δ t 2 časového intervalu rovná součtu dvou čtverců podle vzorce ,
vs.2Δt2=Δs2+Δl2{\ displaystyle c ^ {2} \, \ Delta t ^ {2} \, = \, \ Delta s ^ {2} + \ Delta l ^ {2}}

kde první člen druhého členu je přísně kladný (a neměnný změnou referenčního rámce) a druhý člen, čtverec čtverce euklidovské vzdálenosti, je kladný nebo nula. V důsledku toho nelze tento čtverec Δ t 2 zrušit. Totéž platí o samotném časovém intervalu Δ t , který se nemůže sám zrušit a nemůže nepřetržitě měnit znaménko. Pokud tedy A předchází F pro určitého pozorovatele, bude to vždy stejné pro každého fyzicky přípustného pozorovatele. Pokud byl A před F, nemůže F působit na A tím, že se stane sám před A.   Demonstrace, že pozorované časové pořadí lze u žánru vesmíru obrátit

Vzhledem k dvěma událostem A a B, například v referenčním rámci pozorovatele , a za předpokladu dobré volby osy . (R){\ displaystyle (R)} Δt=tB-tNA>0{\ displaystyle \ \ Delta t = t_ {B} -t_ {A}> 0} ΔX=XB-XNA>0{\ displaystyle \ \ Delta x = x_ {B} -x_ {A}> 0} X{\ displaystyle \ x}

Zvažte referenční rámec v translaci vzhledem k rámu (R), rychlostí podél osy x, s . (R′){\ displaystyle (R ')}proti→=uE→X{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}}0<u<vs.{\ displaystyle 0 <u <c}

Podle Lorentz transformacemi , čas mezi dvěma událostmi, mohli úložiště je: s: . být pozitivní, co negativní případ ? Gold: . Proto:, proto jsou tyto dvě události odděleny mezerou. Jednosměrná šipka bloky hovořit, ale musíme: existuje kladné číslo taková, že . Postavením člověk získá a vždy může vytvořit překlad v překladu rychlostí, pro kterou . (R′){\ displaystyle (R ')}
Δt′=y(Δt-u.ΔXvs.2),{\ displaystyle \ Delta t '= \ gamma (\ Delta t - {\ frac {u. \ Delta x} {c ^ {2}}}) \ ,,}y=(1-u2/vs.2)-1/2>0{\ displaystyle \, \ gamma = \ left (1-u ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- 1/2}> 0}
Δt{\ displaystyle \ Delta t}Δt′{\ displaystyle \ Delta t '}
Δt′<0⟺Δt<uvs.2ΔX⟺vs.2u<ΔXΔt.{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \;.}
0<u<vs.⟺vs.<vs.2u{\ displaystyle 0 <u <c \ Longleftrightarrow c <{\ frac {c ^ {2}} {u}}}
Δt′<0⟺Δt<uvs.2ΔX⟺vs.2u<ΔXΔt⇒vs.<ΔXΔt⟺vs.2.Δt2-ΔX2<0{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Longleftrightarrow c ^ {2}. \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} <0}
⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}vs.<ΔXΔt⇒{\ displaystyle c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow}ϵ<1{\ displaystyle \ epsilon <1}vs.<ϵ.ΔXΔt<ΔXΔt{\ displaystyle c <\ epsilon. {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}} u=vs..ϵ<vs.{\ displaystyle \ u = c. \ epsilon <c}vs.2u<ΔXΔt{\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {u}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}(R′){\ displaystyle (R ')}proti→=uE→X{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}} Δt′<0{\ displaystyle \ \ Delta t '<0}

Všimněte si, že tímto způsobem můžeme také určit referenční rámec, pro který jsou tyto dvě události simultánní.  

Kužel světla

Pokud opravíme konkrétní událost O jako objekt studia, můžeme rozdělit časoprostor do oblastí seskupujících události, které jsou odděleny od O časově podobným časoprostorovým intervalem, ty, které jsou od O odděleny světlem žánr a ty, které jsou od O odděleny vesmírným žánrem. Tato čtyřrozměrná časoprostorová přepážka má podobu trojrozměrného kužele: vnitřek odpovídá prvnímu případu, hrana druhému a vnější třetí. Tyto regiony odpovídají různým možnostem příčinné souvislosti s událostí O.

Každá událost má samozřejmě svůj vlastní světelný kužel.

Obtížnost reprezentace spočívá v tom, že k charakterizaci události jsou nezbytné čtyři souřadnice, jedna časová a tři prostorová, a že v našem trojrozměrném prostoru není možné reprezentovat bod se čtyřmi souřadnicemi. Pro graf proto snížíme počet prostorových dimenzí na 2.

Metrický

Speciální časoprostor relativity je vybaven druhou mocninou časoprostorového intervalu jakousi vzdáleností, která je neměnná změnou referenčního rámce. Z tohoto pohledu lze časoprostorový interval považovat za metriku prostoru, ze které je demonstrována řada matematických vlastností prostoru a relativistické teorie.

Když jsou dvě události A a B, mezi nimiž počítáme druhou mocninu časoprostorového intervalu, velmi blízké, jejich souřadnice se proto liší pouze o nekonečně malé veličiny . Tato úvaha je nadbytečná ve speciální relativitě, jejíž prostor je afinní , ale je nezbytná v obecné relativitě, jejíž prostor je zakřivená odrůda, kde nelze přesně definovat, ale kde jsou nekonečně malé prvky definovatelné a patří do prostoru . (dXμ)=(vs.dt,dX,dy,dz){\ displaystyle \ scriptstyle (dx ^ {\ mu}) \, = \, (c \, dt, dx, dy, dz)} (ΔXμ){\ displaystyle \ scriptstyle (\ Delta x ^ {\ mu}) \,}(dXμ){\ displaystyle (dx ^ {\ mu})}

Ve speciální relativitě, čtverec intervalu infinitezimálního časoprostoru je pak: . ds2=vs.2dt2-dX2-dy2-dz2{\ displaystyle \, ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

Metriku obecné relativity lze definovat z metriky speciální relativity s přihlédnutím k principu ekvivalence a principu relativity zobecněnému na všechny referenční rámce a je to základní prvek (z hlediska matematického pohledu) pro konstrukci této teorie. Umožňuje v této teorii definovat infinitezimální prvek čtverce časoprostorového intervalu.

V obecné relativitě platí, že vzorec pro druhou mocninu nekonečně časoprostorového intervalu je , kde se koeficienty metriky liší v jednom časoprostoru v časoprostoru v závislosti na zakřivení prostoru. ds2=∑μ=03∑ν=03Gμν dXμ dXν{\ displaystyle ds ^ {2} = \ součet _ {\ mu = 0} ^ {3} \ součet _ {\ nu = 0} ^ {3} g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d} } x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}Gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Máme také psát s Einstein konvence pro součtů: . ds2=Gμν dXμ dXν{\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}

Ale tato definice z nekonečně malých prvků a zakřivení časoprostoru ztěžují ospravedlnění vlastností podobných těm, které jsou vystaveny ve výše uvedených odstavcích, s výjimkou místního. Z události O však můžeme vždy udělat rozdělení časoprostoru jako celku na události spojené s O geodetikou druhu času, světla nebo prostoru (druh odpovídající konstantnímu znaménku dlouhé geodézie) . ds2{\ displaystyle ds ^ {2}}

Případ invariance jako hypotéza

Pokud je invariance čtverce časoprostorového intervalu změnou referenčního rámce považována za počáteční hypotézu v teorii relativity, jsou z ní odvozené dedukce matematicky konzistentní s teorií, ale některé musí být být zlikvidován z fyzických důvodů.

Ve speciální relativitě

Identifikace fyzického prostoru pomocí čtyřrozměrného matematického prostoru vybaveného podobnou vzdáleností (říkáme také pseudonorma ) vede k identifikaci referenčních hodnot afinního čtyřrozměrného prostoru a setrvačných referenčních rámců fyziky a hledáním všech změn referenčního rámce, který má tu vlastnost, že ponechá časoprostorový interval neměnný, najdeme některé, které, přestože jsou v souladu s matematikou relativistické teorie, nelze zachovat jako fyzicky realistické změny referenčního rámce, protože nerespektují konvenci orientace trojrozměrných orientačních bodů (orientace jednomyslně přijata jako orientace pravé ruky ) nebo orientace časové osy (směrem k budoucnosti ).

Transformace, které zachovávají orientaci prostoru a času, jsou Lorentzovy transformace vytvořené od počátku Lorentzem a nazývají se v rámci této problematické, vlastní a ortochronní Lorentzovy transformace . Ostatní transformace se nepoužívají v relativistické fyzice, ale používají se v relativistické kvantové fyzice k využití matematické symetrie rovnic. Například T symetrie a parita jsou interpretovány jako jednoduché změny v konvenci orientací os prostorových a časových souřadnic. Symetrie P tedy mění konvenci volby referenčních rámců pravou rukou na konvenci volby levé ruky.

Obecně relativita

V obecné teorii relativity , časoprostor je v zásadě strukturována algebra, je třeba dbát na to, vyloučit hypotézy či výsledky, které jsou matematicky správné, ale fyzicky nereálné. To platí zejména pro druhou mocninu časoprostorového intervalu, který je základním prvkem teorie (z matematického hlediska) kvůli své invariantnosti změnou referenčního rámce a jeho vazbě na gravitaci (což je projevem zakřivení). Již tvoří matici, která musí mít negativní determinant, aby měla fyzický význam. ds2=Gμν dXμ dXν{\ displaystyle \ textstyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}Gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Takže v realistickém referenčním rámci pro pozorovatele, pokud souřadnice odpovídá měření času a souřadnice odpovídají jakémukoli prostorovému referenčnímu rámci, musí být termíny ověřeny , stejně jako pro k = 1, 2, 3 (v krátký: podpis musí zůstat nezměněn od podpisu Minkowského metriky). X0{\ displaystyle x_ {0}}X1;X2;X3{\ displaystyle x_ {1}; x_ {2}; x_ {3}}Gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}G00>0{\ displaystyle g_ {00}> 0}Gkk<0{\ displaystyle g_ {kk} <0}

Pro stanovení vlastností časoprostoru však matematika obecné relativity umožňuje použití jakéhokoli referenčního systému v tomto čtyřrozměrném prostoru, aniž by bylo nutné se zabývat realismem, a v tomto případě nejsou koeficienty vystaveny těmto omezením. Gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Poznámky a odkazy

1. Konvence odpovídá volbě provedené v anglosaských textech; konvence odpovídá volbě například ve slavných pedagogických textech Leva Landaua . Tato poslední volba je Rogerem Penrosem považována za „fyzičtější“, protože metrika je pozitivní pro časové linie vesmíru , které jsou jediné povolené pro masivní částice. (-;+;+;+){\ displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}
2. Viz například Lev Landau a Evgueni Lifchits , Teoretická fyzika [ detail vydání ], díl 2 „teorie pole“, kapitola 1, §2.
3. viz např. ( In ) EF Taylor, JA Wheeler, Spacetime Physics, Introduction to special relativity, druhé vydání, Freeman 1992
4. Viz Lev Landau a Evgueni Lifchits , Teoretická fyzika [ detail vydání ] Svazek 2, §2
5. V geometrické rozměry v systému geometrických jednotek z obecné teorie relativity interval cΔt se říká, že temporální.
6. Protože čas je matematický prostor pouze jedné dimenze, směr a jednotka času jsou definovatelné, počínaje libovolnými dvěma událostmi typu čas a libovolnými po sobě jdoucími (po sobě jdoucí pozice ručiček hodin, začátek a konec času) pád jablka, nebo ...). Jakékoli trvání času hypotézou měřitelnou touto jednotkou, je obrácení časové osy ekvivalentní nevrácení této orientované jednotky, což ukládá nevrácení jakékoli použitelné doby trvání jako orientované jednotky času, tedy bez obrácení času mezi jakýmikoli dvěma událostmi časového typu .
7. V této teorii je zakřivení geometrickým vyjádřením gravitace .
8. vesmír Gödel je příkladem teorie kompatibilní s obecnou relativitou a kde vlastnosti speciální teorie relativity jsou platné pouze lokálně: například rozdíl mezi minulostí a budoucností.
9. Zachování těchto orientací jako důvodu tohoto výběru je uvedeno v kapitole 1, § 1.3 (en) Geometrie Minkowski Spacetime od Gregoryho L. Nabera, Springer-Verlag ( ISBN  3540978488 ) , 1992.
10. Důvodem je skutečnost, že tato matice je diagonalizovatelná a že její diagonální tvar musí odpovídat matici metrické ekvivalentní matici Minkowského .
11. Realismus referenčního rámce lze chápat jako: existuje pozorovatel, kterému jedna souřadnice dává naměřený čas a tři prostor, přičemž platné orientace jsou již ve speciální relativitě.
12. které tvoří tzv. Metrický tenzor a které odrážejí zakřivení časoprostoru
13. Lev Landau a Evgueni Lifchits , Teoretická fyzika [ detail vydání ], Svazek 2 „Teorie pole“, §82 až §84
14. Příklad nerealistického referenčního rámce se získá nahrazením časové souřadnice souřadnicí následující po geodetice lehkého typu.

Podívejte se také

• Metrický tenzor
• Čistý čas
• Vlak paradox
• Paradox dvojčat