Interval (matematika)
V matematice je interval (z latinského intervenallum ) etymologicky množina složená ze dvou hodnot. Tato první představa se poté vyvinula, až vyústila v následující definice.
Intervaly ℝ
Inventář
Zpočátku skutečný interval se nazývá se sada z množství oddělených dvou reálných čísel tvořících dolní mez a horní mez . Interval obsahuje všechna reálná čísla mezi těmito dvěma limity.
Tato definice seskupuje intervaly následujících typů (s a a b skutečné a a < b ):
-
{X∈R∣na<X<b}=]na,b[{\ displaystyle \ {x \ v \ mathbb {R} \ uprostřed a <x <b \} = \;] a, b [}( otevřené a neuzavřené )
-
{X∈R∣na≤X≤b}=[na,b]{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a \ leq x \ leq b \} = [a, b]} (zavřeno a neotevřeno)
-
{X∈R∣na<X≤b}=]na,b]{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a <x \ leq b \} = \;] a, b]} (pootevřená vlevo, polouzavřená vpravo)
-
{X∈R∣na≤X<b}=[na,b[{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a \ leq x <b \} = [a, b [} (polouzavřená vlevo, pootevřená vpravo)
Intervaly prvního typu se nazývají otevřené intervaly ; druhé uzavřené intervaly a poslední dva pootevřené intervaly .
Jiná notace (anglického původu, ale také velmi rozšířená) používá pro (polo) otevřené intervaly místo závorky závorky: výše uvedené intervaly se pak zaznamenají
(na,b),[na,b](na,b],[na,b).{\ displaystyle (a, b), \ qquad [a, b] \ qquad (a, b], \ qquad [a, b).}Tyto dva zápisy jsou popsány v normě ISO 31 (pro matematiku:
ISO 31-11 (en) ). K těmto intervalům byly přidány množiny reálných hodnot menší než hodnota nebo větší než hodnota. Proto přidáme intervaly tohoto typu:
-
{X∈R∣X<na}=]-∞,na[=(-∞,na){\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <a \ right \} = \;] {- \ infty}, a [\; = (- \ infty, a)} (otevřené a neuzavřené)
-
{X∈R∣X≤na}=]-∞,na]=(-∞,na]{\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ leq a \ right \} = \;] {- \ infty}, a] = (- \ infty, a]} (zavřeno a neotevřeno)
-
{X∈R∣X>na}=]na,+∞[=(na,+∞){\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> a \ right \} = \;] a, + \ infty [\; = (a, + \ infty)} (otevřené a neuzavřené)
-
{X∈R∣X≥na}=[na,+∞[=[na,+∞){\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq a \ right \} = [a, + \ infty [\; = [a, + \ infty)} (zavřeno a neotevřeno)
K nimž byly přidány intervaly:
- prázdná množina ∅ (pro otevření a zavření);
- se jednočetných { } = [ , ] (uzavřené a není přístupný);
- množina reálných čísel (otevřených i uzavřených).R=]-∞,+∞[=(-∞,+∞){\ displaystyle \ mathbb {R} = \;] {- \ infty}, + \ infty [\; = (- \ infty, + \ infty)}
Obecná definice
Interval ℝ je konvexní část ℝ, tj. Množina I reálných čísel splňující následující vlastnost:
∀(X,y)∈Já2, (X≤y⇒[X,y]⊂Já){\ displaystyle \ forall (x, y) \ v I ^ {2}, \ (x \ leq y \ Rightarrow [x, y] \ podmnožina I)}jinými slovy :
∀(X,y)∈Já2, ∀z∈R, (X≤z≤y⇒z∈Já) .{\ displaystyle \ forall (x, y) \ v I ^ {2}, \ \ forall z \ in \ mathbb {R}, \ (x \ leq z \ leq y \ Rightarrow z \ v I) \.}Unie a křižovatka
Průnik intervalů ℝ je vždy interval. Například,
- [-3,5[∩]-∞,2]=[-3,2]{\ displaystyle [-3,5 [\; \ cap \;] {- \ infty}, 2] = [- 3,2]}
- [-3,5[∩[2,+∞[=[2,5[{\ displaystyle [-3,5 [\; \ cap \; [2, + \ infty [\; = [2,5 [}
- [3,5[∩]-∞,2]=∅{\ displaystyle [3,5 [\; \ cap \;] {- \ infty}, 2] = \ varnothing}
Union of intervalech ℝ není vždy interval. Bude to interval, pokud získaná sada zůstane konvexní (intuitivně, pokud není žádná „díra“). V případě spojení dvou intervalů stačí, aby průnik těchto intervalů nebyl prázdný, aby jejich spojení bylo konvexní. Například,
- ]-∞,2]∪[-3,5[=]-∞,5[{\ displaystyle] {- \ infty}, 2] \; \ pohár [-3,5 [\; = \;] {- \ infty}, 5 [}
- [-3,5[∪[2,+∞[=[-3,+∞[{\ displaystyle [-3,5 [\; \ pohár \; [2, + \ infty [\; = [- 3, + \ infty [}
-
[3,5[∪]-∞,2]=]-∞,2]∪[3,5[{\ displaystyle [3,5 [\; \ pohár \;] {- \ infty}, 2] = \;] {- \ infty}, 2] \ pohár [3,5 [} (Poznámka: dvě meze intervalu jsou přednostně zaznamenány vzestupně.)
Toto spojení netvoří interval, protože mezi 2 a 3 je mezera.
Konektivita a kompaktnost
Spojené části ℝ (pro obvyklou topologii) jsou přesně intervaly.
Uzavřené intervaly ohraničené, tj. Obsahující jejich limity, se nazývají segmenty . Toto jsou jediné skutečné kompaktní intervaly . Tento výsledek je zvláštním případem Borel-Lebesgueovy věty .
Rozklad otvorů ℝ
Jakékoli otevření ℝ je spočetné sjednocení otevřených intervalů dva až dva disjunktní: jeho připojené komponenty .
Intervaly jsou nejzajímavější částí ℝ, když mluvíme o kontinuitě a diferencovatelnosti .
Skutečný interval se říká, že ne triviální , pokud je neprázdný a nesnížila do bodu.
Potom najdeme (mimo jiné) pro skutečné funkce reálné proměnné vlastnosti jako:
- Obraz spojitou funkcí intervalu ℝ je intervalem ℝ ( věta mezilehlých hodnot ).
- Diferencovatelná a identicky nulová derivační funkce v intervalu je v tomto intervalu konstantní.
- Diferencovatelná funkce roste (v širším slova smyslu) v netriviálním intervalu právě tehdy, když její derivace zůstává v tomto intervalu pozitivní (v širším slova smyslu).
Poznámka : Funkce f : ℝ * → ℝ definovaná f ( x ) = x / | x | je diferencovatelné na ℝ * a jeho derivace je identicky nulová; ale f není konstantní. Důvodem je, že ℝ * = ℝ \ {0} není interval.
Zobecnění
V jakékoli zcela uspořádané množině ( S , ≤) můžeme definovat intervaly, stejně jako v ℝ, jako konvexní množiny (ve smyslu výše uvedené obecné definice). Najdeme mezi nimi následující typy (ale nejsou jediné):
-
{z∈S∣na<z<b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a <z <b \ right \}}` ` ,{z∈S∣na≤z≤b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a \ leq z \ leq b \ right \}}{z∈S∣na<z≤b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a <z \ leq b \ right \}}{z∈S∣na≤z<b}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid a \ leq z <b \ right \}}
-
{z∈S∣z<na}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z <a \ right \}}` ` ,{z∈S∣z≤na}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z \ leq a \ right \}}{z∈S∣z>na}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z> a \ right \}}{z∈S∣z≥na}{\ displaystyle \ left \ {z \ in S \ mid z \ geq a \ right \}}
-
∅{\ displaystyle \ varnothing}, S{\ displaystyle \ quad S}
První čtyři notace zobecňují otevřený interval, uzavřený interval, napůl otevřený interval vlevo a napůl otevřený interval vpravo. Pátá notace je speciální případ otevřené úvodní sekce ; další tři jsou uzavřené počáteční úsek je otevřený úsek konec a uzavřený konec sekce určuje , v tomto pořadí.
Je tedy docela možné definovat v ℤ intervalová relativní celá čísla mezi –5 a 3, ale bylo by nebezpečné zapisovat je [–5, 3] bez předchozího upozornění kvůli riziku záměny se zápisem intervalů. ℝ. Někdy používáme notaci s bílými závorkami ⟦– 5, 3⟧ a někdy notaci s dvojitými závorkami (široce používanou v pravděpodobnosti).
Průsečík intervalů je stále interval.
Poznámky a odkazy
-
Viz například Nawfal El Hage Hassan, Obecná topologie a standardizované prostory: Opravené kurzy a cvičení , Dunod ,2018, 2 nd ed. ( 1 st ed. 2011) ( číst on-line ) , str. 10 a 246, nebo toto opravené cvičení z lekce „Obecná topologie“ na Wikiversity .
-
Další podrobnosti viz § Monotónnost a znak derivace článku o monotónních funkcích .
-
D. Guinin a B. Joppin, Algebra a geometrie MPSI , Bréal, 2003
( ISBN 9782749502182 ) , definice 27 s. 176 .
-
Toto je jen zvláštní případ, protože mohou existovat otevřené počáteční úseky, jejichž a není horní mez - to je zejména případ Dedekindových řezů, které definují reálné číslo a nemusí nutně mít horní mez v ℚ .
-
Analogická : koncová část nemusí mít nutně dolní mez.
-
J.-M. Arnaudiès a H. Fraysse, Matematika-1 kurz algebry , Dunod, 1987
( ISBN 2040164502 ) , s. 52 .
Související článek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">