Vícerozměrný normální zákon

Vícerozměrné normální rozdělení
Nastavení střední ( reálný vektor ) variančně-kovarianční matice ( jednoznačná pozitivní reálná matice )
Podpěra, podpora
Hustota pravděpodobnosti
Naděje
Medián
Móda
Rozptyl
Asymetrie 0
Entropie
Funkce generující momenty
Charakteristická funkce

Říkáme vícerozměrný normální zákon , nebo vícerozměrný normální nebo vícerozměrný zákon nebo Gaussovo právo s několika proměnnými , zákon pravděpodobnosti, který je vícerozměrným zobecněním normálního zákona .

Zatímco klasický normální zákon je parametrizován skalárním μ odpovídajícím jeho střední hodnotě a druhým skalárním σ 2 odpovídajícím jeho rozptylu, multinormální zákon je parametrizován vektorem představujícím jeho střed a kladnou semitečnou maticí, která je jeho maticí rozptylu -rovariance . Definujeme to jeho charakteristickou funkcí , pro vektor ,

V nedegenerovaném případě, kde Σ je kladně definitivní , tedy invertibilní , vícerozměrný normální zákon připouští následující hustotu pravděpodobnosti :

všímat si | X | determinant X ,

Tento zákon je obvykle známý analogicky s jednorozměrným normálním zákonem.

Nedegenerovaný zákon

Tato část se zabývá konstrukcí vícerozměrného normálního rozdělení v nedegenerovaném případě, kde je variančně-kovarianční matice Σ kladně definitivní.

Připomenutí jednorozměrného normálního zákona

Centrální limitní věta odhaluje sníženou centrovaný Gaussian proměnnou U (nulovou střední hodnotou, rozdílnost jednotky):

Jdeme na obecnou Gaussovu proměnnou změnou proměnné

což vede k

Hustotu tohoto zákona charakterizuje exponenciál zahrnující exponent druhého stupně.

Jednotkové právo s několika proměnnými

Vzhledem k N nezávislých náhodných proměnných se stejným redukovaným centrovaným Gaussovým zákonem se zapíše jejich společná hustota pravděpodobnosti:

Je to zákon, který je základem zákona χ² .

Může být syntetizován v maticových vzorcích. Nejprve definujeme náhodný vektor U, který má N proměnných jako komponenty, a stavový vektor u, který má své digitální hodnoty jako komponenty.

Můžeme spojit se stavovým vektorem střední vektor, který má pro komponenty prostředky komponent, to znamená v tomto případě nulový vektor:

Kovarianční matice má diagonální prvky (odchylky), které se rovnají 1, zatímco ne-diagonální prvky (kovariance v užším slova smyslu) jsou nulové: je to jednotková matice. Lze jej napsat pomocí transpozice:

Nakonec je zapsána hustota pravděpodobnosti:

Obecný zákon s několika proměnnými

Získává se změnou afinní proměnné

Problém je omezena na případ matice je čtvercová (stejný počet výstupních proměnných) a pravidelný. Operátor očekávání vektoru, který je lineární, získáme střední vektor

a kovarianční matice

Hustota pravděpodobnosti je zapsána

Různé poznámky

přičemž t jk jsou koeficienty inverzní kovarianční matice.

Podmíněné distribuce

Pokud , a jsou rozděleny, jak je popsáno níže

s rozměry kde s rozměry

a

potom rozdělení podmíněně na je vícerozměrné normální rozdělení kde

a je zapsána matice variance-kovarianční matice

Tato matice je Schurova doplněk z oblasti .

Všimněte si, že věděl, že je rovna změní rozptyl , a že stejně tak překvapením, že průměrná také změněn. To je třeba ve srovnání se situací, v níž nevíme , přičemž v tomto případě má pro distribuci . To vyplývá ze stavu, který není triviální!

Matice se nazývá matice regresního koeficientu .

Vlastnosti

Simulace

Abychom simulovali multinormální zákon, jehož parametry jsou známé nebo odhadnuté, tj. A , snažíme se generovat umělý vzorek nezávislých vektorů .

Pokud C není diagonální , není možné postupně vytvářet n proměnných X i , protože tato metoda by nerespektovala kovariance.

Přístup spíše spočívá ve vyjádření vektoru X jako lineární kombinace nezávislých skalárních proměnných formy

kde B je čtvercová matice splňující omezení

Vlastnost kovariance vskutku ukazuje, že toto omezení zajišťuje, že kovariance je X respektována .

Po určení B , potom generovat simulace z Y i pro (pomocí výše uvedeného vztahu) nezávislých verzí vektoru X .

Existuje několik možností pro výběr B  :

kde O je ortogonální matice, jejíž sloupce jsou vlastní vektory C , a D je diagonální matice složená z vlastních čísel C , všech kladných nebo nulových. Musíte si jen vybrat .

Poznámky:

  1. Ačkoli jsou tyto přístupy teoreticky ekvivalentní, druhý je numericky výhodnější, protože vykazuje lepší stabilitu, když je stav kovarianční matice „špatný“.
  2. Generátor pseudonáhodných čísel nejčastěji smyčkuje hodnoty omezené řady (stejné výsledky najdeme po dosažení konce řady). S tímto aspektem buďte opatrní, pokud jde o generování velkého počtu simulací multinormálního vektoru velké velikosti n : po vyčerpání série již nebude zaručena nezávislost.

Aplikace

Vícerozměrný normální zákon se používá zejména při zpracování lékařských snímků. Proto se například často používá při zobrazování difuzního tenzoru . Tento snímek skutečně modeluje distribuci hlavních směrů difúze vody vícerozměrným normálním zákonem s nulovým průměrem. Tenzor v každém bodě obrazu tedy není nic jiného než kovarianční matice vícerozměrného normálního zákona.

Druhou aplikací vícerozměrné normální distribuce je stanovení intenzity MRI v mozku pacienta, které tvoří různé tkáňové třídy ( šedá hmota , bílá hmota , mozkomíšní mok ). Tato technika je založena na použití algoritmu maximalizace očekávání, ve kterém je každá z tříd modelována vícerozměrným normálním zákonem, jehož dimenze se rovná počtu modalit použitých pro klasifikaci.

Poznámky a odkazy

  1. (in) DV Gokhale, NA Ahmed, BC Res, NJ Piscataway, „  Entropy Estimators for Expressions and their Multivariate Distribuce  “ , IEEE Transaction on Information Theory , sv.  35, n o  3,Květen 1989, str.  688–692
  2. Viz například (in) Michael Bensimhoun , „  N-Dimenzionální kumulativní funkce a další užitečná fakta o Gaussianech a normální hustotě  “ [PDF] ,2006

Související články

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">